Đề bài
Cho tứ diện \[ABCD\]. Trên cạnh \[AB\] lấy một điểm \[M\]. Cho \[[α]\] là mặt phẳng qua \[M\], song song với hai đường thẳng \[AC\] và \[BD\]
a] Tìm giao tuyến của \[[α]\] với các mặt tứ diện
b] Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng \[[α]\] là hình gì?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng định lí 2:
Cho đường thẳng \[a\] song song với mặt phẳng \[\alpha\]. Nếu mặt phẳng \[\beta\] chứa\[a\] và cắt\[\alpha\] theo giao tuyến\[b\] thì\[b\] song song với \[a\].
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
+ \[[α] // AC\]
Giao tuyến của \[[α]\] và \[[ABC]\] là đường thẳng song song với \[AC.\]
Mà \[M [ABC] [α].\]
\[ [ABC] [α] = MN\] là đường thẳng qua \[M,\] song song với \[AC [N BC].\]
+ Tương tự \[[α] [ABD] = MQ\] là đường thẳng qua \[M\] song song với \[BD [Q AD].\]
+ \[[α] [BCD] = NP\] là đường thẳng qua \[N\] song song với \[BD [P CD].\]
+ \[[α] [ACD] = QP.\]
b]Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left[ \alpha \right] \cap \left[ {ABD} \right] = MQ\\
\left[ \alpha \right] \cap \left[ {ABC} \right] = MN\\
\left[ \alpha \right] \cap \left[ {ACD} \right] = PQ\\
\left[ \alpha \right] \cap \left[ {BCD} \right] = PN
\end{array} \right.\] nên thiết diện là tứ giác \[MNPQ.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left[ \alpha \right] \cap \left[ {ACD} \right] = PQ\\
AC//\left[ \alpha \right]\\
AC \subset \left[ {ACD} \right]
\end{array} \right. \Rightarrow PQ//AC\].
Mà \[MN//AC\] [câu a] nên \[MN//PQ.\]
Lại có: \[MQ//BD, NP//BD\] [câu a] nên \[MQ//NP.\]
Tứ giác \[MNPQ\] có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.