Đề bài
Cho hình chóp tam giác S.ABC có \[SA = SB = SC = AB = AC = a\]và \[BC = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \]và \[\overrightarrow {SC} \].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức \[\displaystyle \cos \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = {{\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} } \over {\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}\]
Lời giải chi tiết
Ta tính côsin của góc giữa hai vectơ \[\displaystyle \overrightarrow {SC} \]và \[\displaystyle \overrightarrow {AB} \]. Ta có
\[\displaystyle \eqalign{
& \cos \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = {{\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} } \over {\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} \cr
& = {{\left[ {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AB} } \over {{a^2}}} \cr& = {{\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} } \over {{a^2}}} \cr} \]
Theo giả thiết ta suy ra hình chóp có các tam giác đều là \[\displaystyle SAB, SAC\] và các tam giác vuông là \[\displaystyle ABC\] vuông tại \[\displaystyle A\]và \[\displaystyle SBC\] vuông tại \[\displaystyle S\].
Do đó \[\displaystyle \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} = a.a.\cos 120^\circ = - {{{a^2}} \over 2}\]và \[\displaystyle \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = 0\]
Vậy \[\displaystyle \cos \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = {{ - {{{a^2}} \over 2} + 0} \over {{a^2}}} = - {1 \over 2}\]
Hay \[\displaystyle \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = {120^0}\]
Vậy góc giữa hai vectơ \[\displaystyle \overrightarrow {AB} \]và \[\displaystyle \overrightarrow {SC} \]bằng 120°.