Đề bài
Hình chóp đều \[S.ABC\] có cạnh đáy \[a = 12cm\], chiều cao \[h = 8cm.\] Hãy tính diện tích xung quanh của hình chóp đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn.
\[{S_{xq}} = pd\]
Trong đó: \[p\]: nửa chu vi đáy
\[d\]: trung đoạn của hình chóp đều
- Định lí Pytago trong tam giác vuông: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
Gọi \[SO\] là đường cao của hình chóp \[S.ABC\] [\[O\] là trọng tâm của tam giác \[ABC]\]
Kẻ \[AO\] kéo dài cắt \[BC\] tại \[I\]. Suy ra \[I\] là trung điểm của \[BC.\]
Ta có \[AI BC\] [tính chất tam giác đều]
\[BI = IC = \displaystyle {1 \over 2}BC=6\,[cm]\]
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[AIB\], ta có:
\[A{B^2} = B{I^2} + A{I^2}\]
\[ \Rightarrow A{I^2} = A{B^2} - B{I^2} \]
\[ \RightarrowA{I^2}= {12^2} - {6^2} = 108 \]
\[ \RightarrowAI = \sqrt {108} \,[cm] \]
Vì \[O\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\] nên ta có: \[OI = \displaystyle{1 \over 3}AI = {1 \over 3}\sqrt {108} \;[cm]\]
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[SOI\], ta có:
\[\displaystyle S{I^2} = S{O^2} + O{I^2} = {8^2} + {1 \over 9}.108\]\[\, = 76\]
\[ \Rightarrow SI = \sqrt {76} \;[cm] \]
Diện tích xung quanh của hình chóp là:
\[{S_{xq}} = pd ={\dfrac{1}{2}.{12.3} } .\sqrt {76} \]\[\,= 18\sqrt {76}\;[c{m^2}]\].