Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đường vuông góc chung của AB và CD là đường thẳng nối trung điểm của AB và CD. Điều ngược lại có đúng không ?
Lời giải chi tiết
a. Vì AC = BD, AD = BC nên tam giác ACD bằng tam giác BDC, từ đó hai trung tuyến tương ứng AJ và BJ bằng nhau [ở đó J là trung điểm của CD]. Gọi I là trung điểm của AB thì ta có JI AB.
Tương tự như trên ta cũng có JI CD. Vậy JI là đường vuông góc chung của AB và CD.
b. Điều ngược lại của kết luận nêu ra trong bài toán cũng đúng, tức là nếu IJ AB, IJ CD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì AC = BD; AD = BC.
Thật vậy, vì IJ AB, I là trung điểm của AB nên AJ = BJ. Mặt khác :
\[\eqalign{ & A{C^2} + A{D^2} = 2A{J^2} + {{C{D^2}} \over 2} \cr & B{C^2} + B{D^2} = 2B{J^2} + {{C{D^2}} \over 2} \cr} \]
Từ đó ta có : \[A{C^2} + A{D^2} = B{C^2} + B{D^2}\] [1]
Tương tự như trên ta cũng có :
\[C{B^2} + C{A^2} = D{B^2} + D{A^2}\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] ta suy ra \[A{D^2} - B{C^2} = B{C^2} - D{A^2},\] tức là DA = BC và từ [1] ta cũng có AC = BD.