Đồ thị hàm số và đồ thị hàm số có bao nhiêu giao điểm
|
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.Morbi adipiscing gravdio, sit amet suscipit risus ultrices eu.Fusce viverra neque at purus laoreet consequa.Vivamus vulputate posuere nisl quis consequat.
Mã câu hỏi: 274651 Loại bài: Bài tập Chủ đề : Môn học: Toán Học Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài CÂU HỎI KHÁC
Đã gửi 08-09-2012 - 19:26
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ I – Lý thuyết: $$f(x) = g(x), \ \ \ (*)$$ Từ đó suy ra số giao điểm của hai đồ thị đã cho bằng số nghiệm của phương trình $(*)$. 3) Định lý Bézout và lược đồ Horner: Đa thức bậc $n$ là biểu thức có dạng $f(x) = a_nx^n + a_{n – 1}x^{n – 1} + ... + a_1x + a_0.$ Số $x_0$ được gọi là nghiệm của đa thức $f(x)$ nếu $f(x_0) = 0.$Định lý Bézout: Nếu $x_0$ là một nghiệm của $f(x)$ thì tồn tại đa thức $g(x)$ sao cho: $$f(x) = (x – x_0).g(x)$$ Lược đồ Horner dùng để chia đa thức $f(x)$ cho đa thức $x-\alpha$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{} & a_n & a_{n-1} & … & a_1 & a_0 \\ \hline \alpha & b_n=a_n & b_{n – 1} = a_n \alpha + a_{n – 1} & … & b_1 & b_0\\ \hline \end{array}$$ Khi đó: $$f(x) = (x – \alpha)(a_nx^{n – 1} + ... + b_1) + b_0.$$ Đặc biệt, khi $\alpha$ là nghiệm của $f(x)$ thì $b_0=0$ 4) Tam thức bậc hai: $f(x) = ax^2 + bx + c (a \neq 0).$ b) Nhận xét: * $f(x)$ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $ac < 0$ * $f(x)$ có hai nghiệm dương khi và chỉ khi $$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ - \frac{b}{a} > 0\\ \frac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$$ * $f(x)$ có hai nghiệm âm khi và chỉ khi: $$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ - \frac{b}{a} < 0\\ \frac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$$ * $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt cùng lớn hơn $\alpha$ khi và chỉ khi: $$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ x_1+x_2 > 2\alpha\\ (x_1-\alpha)(x_2-\alpha) > 0 \end{array} \right.$$ * $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn $\alpha$ khi và chỉ khi: $$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ x_1+x_2 < 2\alpha\\ (x_1-\alpha)(x_2-\alpha) > 0 \end{array} \right.$$ * $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt, $x_1 < \alphaBài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 01:23
Đã gửi 08-09-2012 - 19:46
II – Các dạng toán thường gặp Trong đề thi ĐH một số năm gần đây, thường có câu phụ của bài toán khảo sát, yêu cầu tìm điều kiện của tham số để đồ thị và 1 đường thẳng cắt nhau thỏa mãn một số tính chất nhất định. Đối với các bài toán ấy, cách làm chung là ta xét phương trình $(*)$, biến đổi nó về dạng bậc hai và sử dụng định lý Viète. Ta hãy bắt đầu với 1 ví dụ đơn giản Ví dụ 1.1. Xác định $m$ để đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số $y = (x – 1)(x^2 + mx + m)$ cắt trục $Ox$ tại 3 điểm phân biệt. Giải Hoành độ giao điểm của đồ thị $\left ( C \right )$ và trục $Ox$ là nghiệm của phương trình :$$(x – 1)(x^2 + mx + m) = 0$$\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + mx + m = 0 \ \ \ \ (1.1)\end{array} \right.\]. Đồ thị $\left ( C \right )$ và trục $Ox$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1.1)$ có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều này tương đương với: $$\left\{ \begin{array}{l}1 + m + m \neq 0\\m^2 - 4m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \neq - \frac{1}{2}\\ \left [ \begin{array}{l} m < 0 \\ m > 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}-\frac{1}{2} \neq m < 0 \\ m > 4\end{array} \right.$$Ví dụ 1.2. Cho hàm số $y = 2x^3 – 3x^2 – 1$ có đồ thị $\left ( C \right )$. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A(0;-1)$ và có hệ số góc bằng $k$. Tìm $k$ để $d$ cắt $\left ( C \right )$ tại 3 điểm phân biệt. Giải b) Đường thẳng $d$ có phương trình: $y = kx – 1$. Hoành độ giao điểm của $\left ( C \right )$ và $d$ là nghiệm của phương trình: $$2x^3 – 3x^2 – 1 = kx – 1$$$$\Leftrightarrow x(2x^2 – 3x – k) = 0 \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x = 0\\2{x^2} - 3x - k = 0 \ \ \ \ (1.2) \end{array} \right.$$ $\left ( C \right )$ và $d$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1.2)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này tương đương với: $$\left\{ \begin{array}{l}k \neq 0\\9 + 8k > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow -\frac{9}{8} < k \neq 0$$. Ví dụ 1.3. Cho hàm số $y = x^3 – (2m + 3)x^2 + (2m^2 – m + 9)x – 2m^2 + 3m – 7$ ($m$ là tham số) có đồ thị là $(C_m)$. Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ không nhỏ hơn 1. Phân tích:Ngoài việc tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm, ta còn cần tìm điều kiện để ba nghiệm không vượt quá 1. Dễ thấy, $x=1$ là một nghiệm của phương trình đó. Để hai nghiệm $x_1,x_2$ cùng lớn hơn 1 thì $x_1+x_2>2$ và $(x_1-1).(x_2-1)>0$Giải Hoành độ giao điểm của đồ thị $(C_m)$ và trục hoành là nghiệm của phương trình:$$x^3 – (2m + 3)x^2 + (2m^2 – m + 9)x – 2m^2 + 3m – 7 = 0$$$$\Leftrightarrow (x-1)\left [ x^2-2(m+1)x+ 2m^2-3m+7 \right ]=0$$$$\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}x=1\\ x^2-2(m+1)x+ 2m^2-3m+7=0, \ \ \ \ (1.3)\end{matrix}\right.$$Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình $(1.3)$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1. Điều này tương đương với:$$\left\{\begin{matrix}\Delta '&>0\\x_1+x_2&>2 \\(x_1-1).(x_2-1) &>0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-m^2+5m-6&>0\\2(m+1)&>2 \\ 2m^2-5m+6&>0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2Giải Hoành độ giao điểm của $\left ( C \right )$ và trục $Ox$ là nghiệm của phương trình:$$x^3 – 3mx^2 + 3(2m – 1)x = 0$$$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 3mx + 3(2m - 1) = 0 \ \ \ \ (1.4) \end{array} \right.$$.Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi xảy ra 1 trong 2 trường hợp sau:TH1 : phương trình $(1.4)$ có hai nghiệm khác 0 và hai nghiệm đó đối nhau. Điều này tương đương với:$$\left\{ \begin{array}{l}3m = 0\\2m - 1 \neq 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0$$TH2: phương trình $(1.4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ khác 0 và $x_1 = 2x_2.$ Điều này tương đương với:$$\left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12(2m - 1) > 0\\2m - 1 \neq 0\\{x_1} + {x_2} = 3{x_2}\end{array} \right.$$$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12(2m - 1) > 0\\2m - 1 \neq 0\\3m = 3{x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12(2m - 1) > 0\\2m - 1 \ne 0\\ - 2{m^2} + 6m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{2}$$.KL: $m = 0$ hoặc $m = \frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{2}$.Ví dụ 1.5. Cho $K(1;3), \left ( C \right )$ là đồ thị của hàm số $y = x^3 + 2mx^2 + (m + 3)x + 4$ và đường thẳng $d: y = x + 4$. Tìm $m$ để $d$ cắt $\left ( C \right )$ tại 3 điểm phân biệt $A(0;4), B, C$ sao cho $\Delta KBC$ có diện tích bằng $8\sqrt 2 $. Phân tích:Ta biết rằng $S_{\Delta KBC} = \frac{1}{2}.BC.d_{K,BC}$. Mà $d_{K,BC}$ dễ dàng tính được. Từ đó ta tính được độ dài $BC$. Độ dài này hoàn toàn phụ thuộc vào hoành độ của $B,C$ (cũng chính là 2 nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm). Ta dễ dàng liên hệ với định lý Viète.Giải Hoành độ giao điểm của $d$ và $\left ( C \right )$ là nghiệm của phương trình:$$x^3 + 2mx^2 + (m + 3)x + 4 = x + 4$$$$ \Leftrightarrow x(x^2 + 2mx + m + 2) = 0 \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0 \ \ \ \ (1.5)\end{array} \right.$$Điều kiện cần và đủ để $\left ( C \right )$ và $d$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt là phương trình $(1.5)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này tương đương với:$$\left \{ \begin{array}{l}m + 2 \neq 0\\m^2 - m - 2 > 0\end{array} \right. (1.5')$$Với điều kiện $(1.5')$, ta có hai giao điểm $B(x_B; x_B + 4)$ và $C(x_C; x_C + 4)$. Gọi $KH$ là đường cao của tam giác $KBC$. Khi đó:$$KH = d_{(K, BC)} = \frac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \sqrt{2}$$Từ đó, ta có:$$BC = \frac{2S_{\Delta KBC}}{KH} = 16$$$$BC = 16 \Leftrightarrow \sqrt2 |x_B – x_C | = 16 \Leftrightarrow (x_B – x_C)^2 = 128 \Leftrightarrow m^2 – m – 34 \Leftrightarrow m = \frac{1 \pm \sqrt {137}}{2}$$.KL: nghiệm của bài toán là: $m = \frac{{1 \pm \sqrt {137}}}{2}$Ví dụ 1.6. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y=x^{3}-3(m+1)x^{2}+3mx-m+1=0$ cắt $Ox$ tại $3$ điểm phân biệt trong đó có ít nhất $1$ điểm có hoành độ âm. Phân tích:Trực tiếp tìm điều kiện để 1 phương trình có 3 nghiệm phân biệt, có ít nhất 1 nghiệm âm e là hơi khó. Ta sẽ tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm không âm. Khi đó, yêu cầu của bài toán chính là phần bù của điều kiện vừa tìm.Do hệ số của $x^3$ dương nên ta có 2 trường hợp sau: Giải Yêu cầu của bài toán tương đương với Tìm $m$ phương trình$$x^{3}-3(m+1)x^{2}+3mx-m+1=0 \ \ \ \ (1.6)$$có $3$ nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất $1$ nghiệm âm.Ta có:$$y'=3x^2-6(m+1)x+3m; y = \frac{1}{3}y'(x-m-1)-2(m^2+m+1)x+m^2+1$$$y'$ là tam thức bậc hai có:$$\Delta = 9(m^2+m+1)>0$$Vậy phương trình $y'=0$ luôn có hai nghiệm $x_1;x_2$Điều kiện cần và đủ để phương trình $(1.6)$ có 3 nghiệm phân biệt là$$y(x_1).y(x_2) < 0 \Leftrightarrow (m+1)(m^3-m^2-m-3) > 0 \ \ \ (1.6a)$$Với điều kiện $(1.6a)$, phương trình $(1.6)$ có 3 nghiệm không âm khi và chỉ khi:\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y(0) \leq 0}\\{{x_1}.{x_2} > 0}\\{{x_1} + {x_2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- m + 1 \leq 0\\m > 0\\2\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \geq 1\\m > 0\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \geq 1\]Vậy yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi:$$\left\{\begin{matrix} m &< 1\\ (1.6a) \end{matrix}\right. \ \ \ (1.6b)$$Xét hàm số $g(m) = m^3-m^2-m-3$, bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số:$$\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hlinem & -\infty & \; & - \dfrac{1}{3} & \; & \; & 1 &\; &\; +\infty\\\hlineg'\left( m \right) & \; & + & 0 & - & \; & 0 \; & + &\; \\\hline& \;& \; & \; - \frac{{76}}{{27}} & \; & \; & \; & \; & \; +\infty \\g\left( m \right) & \; & \nearrow& \; & \searrow & \; & \; & \nearrow & \; \\& -\infty\; & \; & \; & \; & \; & -4 & \; \\\hline\end{array}$$ta có:$$g(m) < 0, \forall m \leq 1$$Từ đó, ta có$$(1.6b) \Leftrightarrow -1 < m < 1$$Ví dụ 1.7. Cho đường thẳng $(d):y=x+m$ và đồ thị $(G):y=\frac{2x+1}{x-1}$ a) CMR: Với mọi $m$,$(d)$ luôn cắt $(G)$ tại 2 điểm phân biệt $E,F$.Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn $EF$ khi $m$ thay đổib) Xác định $m$ để đoạn $EF$ ngắn nhấtPhân tích:a) Ta chỉ cần chứng minh phương trình hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt là xongb) Ta sẽ biểu diễn độ dài $EF$ qua $m$. Muốn vậy, cần dùng định lý Vi-etGiảia) Hoành độ giao điểm (nếu có) của $(G)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình:$$\dfrac{2x+1}{x-1} = x+m,\,\,\,\, (1.7a)$$$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \neq 1\\x^2+(m-3)x-m-1=0,\,\,\, (1.7b)\end{matrix}\right.$$Ta có:$$\Delta = m^2-2m+10>0$$Nên phương trình $(2)$ có 2 nghiệm phân biệt. Dễ thấy $x=1$ không phải là nghiệm của $(1.7b)$. Từ đó, phương trình $(1.7a)$ có 2 nghiệm phân biệt. Vậy $(G)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt:$$E\left ( e;e+m \right ),F\left ( f;f+m \right )$$trong đó $e,f$ là các nghiệm của $(1.7b)$. Ta có:$$e+f=-m+3$$Trung điểm của $EF$ là: $H\left ( \frac{e+f}{2}; \frac{e+f}{2}+m \right )$ hay: $H\left ( \frac{3-m}{2}; \frac{m+3}{2}\right )$. Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng: $y=3-x$b) Ta có:$$EF=\sqrt{2(e-f)^2}=\sqrt{2(e+f)^2-8ef} = \sqrt{2(3-m)^2+8(m+1)}=\sqrt{2(m^2-2m+13}$$Vậy$$minEF=\sqrt{24} \Leftrightarrow m = 1$$
Đã gửi 08-09-2012 - 21:56
Bài tập tự luyện 1.2) Xác định $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – mx^2 + m – 1$ cắt trục $Ox$ tại 4 điểm phân biệt. (ĐA: $m \neq 2, m>1$) 1.3) D-2003. Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}}$ có đồ thị $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để $\left ( C \right )$ và đường thẳng $d: y=mx+2-2m$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. (ĐA: $m > 1$). 1.4) A-2003. Cho hàm số $y = \frac{{m{x^2} + x + m}}{{x - 1}}$ có đồ thị $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để $\left ( C \right )$ cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. (ĐA: $-\frac{1}{2} 1.5) A-2004. Cho hàm số $y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 3}}{{2(x - 1)}}$ có đồ thị $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để đường thẳng y = $m$ cắt $\left ( C \right )$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho $AB = 1$. (ĐA: $m = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$). 1.6) D-2008. Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 4$. 1.7) D-2009. Cho hàm số $y = x^4 – (3m + 2)x^2 + 3m$ có đồ thị là $(C_m)$. 1.9) Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}$ và hai đường thẳng $d_1: y = - x + m, d_2: y = x + 3$. Tìm $m$ để $\left ( C \right )$ cắt $d_1$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ đối xứng với nhau qua $d_2$. (ĐA: $m$ = 9). 1.10) Cho hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ có đồ thị $\left ( C \right )$. Chứng minh rằng đường thẳng $y = 3x + m$ luôn cắt $\left ( C \right )$ tại hai điểm phân biệt $A, B$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Tìm $m$ để $I$ thuộc đường thẳng $y=2x+3$. (ĐA: $m = 4$) 1.11) Tìm tất cả các đường thẳng đi qua $A(4;4)$ và cắt đồ thị hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 9x$ tại 3 điểm phân biệt. (ĐA: $y = kx – 4k + 4, 9 \neq k > 0$). 1.12) Tìm $a$ để đồ thị hàm số $y = x^3 – 3ax^2 + 4a^3$ cắt đường thẳng $y = x$ tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau. (ĐA: $a = 0, a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$). 1.13) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$, đường thẳng $y = 2x + m$ luôn cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt $M, N$. Tìm $m$ để $MN$ bé nhất. (ĐA: $m = 3$). 1.14) Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – (2m + 1)x^2 + 2m$ cắt trục $Ox$ tại bốn điểm phân biệt cách đều nhau. (ĐA: $m = \frac{9}{2}$ hoặc $m = \frac{1}{18}$) 1.15) Tìm $m$ để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt: $y = x^3 – 3m^2x + 2m$. (ĐA: $m = \pm 1$).1.16) Cho hàm số $y = x^4 + 2(2a + 1)x^2 – 3a$ có đồ thị là $\left ( C \right )$. Tìm $a$ để $\left ( C \right )$ cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành 3 đoạn thẳng bằng nhau. (ĐA: $a = -3$). 1.17) Cho hàm số $y=x^4-3x^2-2 $ có đồ thị là $\left( C \right)$. Tìm các giá trị của $m>0$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại $2$ điểm $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$. 1.18) Hàm số $y = x^4 – 4x^2 + m$ $\left ( C \right )$. Giả sử $\left ( C \right )$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Xác định $m$ sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left ( C \right )$ và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau.1.19) B-2010. Cho hàm số $y =\frac{{2x + 1}}{{x + 1}},\left ( C \right )$. Tìm $m$ để đường thẳng $y = -2x+m$ cắt đồ thị $\left ( C \right )$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng $\sqrt 3$ ($O$ là gốc tọa độ). 1.20) A – 2010. Cho hàm số $y = x^3 – 2x^2 + (1 – m)x + m$. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm sốb) Tìm $m$ để đồ thị $\left ( C \right )$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2, x_3$ sao cho $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 < 4$.1.21) Cho hàm số $y=x^{4}+2mx^{2}-m+1$,có đồ thị $\left ( C \right )$.Tìm $m$ để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ sao cho $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}\leq 20$ 1.22) Cho hàm số: $y=\frac{x+2}{2x+1}$. Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $d_{m}$: $y=mx+m-1$ cắt đồ thị tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị. 1.23) cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2}-3mx+3m$,có đồ thị $\left( C \right)$.Tìm $m$ để $\left( C \right)$ cắt đường thẳng $d:y=-3x-1$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ sao cho $x_1<1 1.24) Cho đường cong $\left( C \right): y= \frac{2x + 1}{x+1}$ . Tìm $m$ để đường thẳng $(d): y= -2x +m$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $A,B$ sao cho diện tích tam giác $AOB$ nhỏ nhất. 1.25) D-2011.Cho hàm số $\frac{2x+1}{x+1}$.
Đã gửi 09-09-2012 - 09:26
2. Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình: Dạng toán này ít gặp trọng đề thi ĐH, vì nó tương đối dễ. Dưới đây là một vài ví dụ. Ví dụ 2.1. Cho hàm số $y=x^3-3x$. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số. b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $x^3-x=m^3-3m \ \ \ \ (2.1)$.Giải a)Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình $(2.1)$ bằng số giao điểm của đồ thị $\left ( C \right )$ và đường thẳng $y=m^3-m$. Ta có các trường hợp sau: * TH1: $\left [ \begin{matrix}m^3-m2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}m < -2\\m > 2 \end{matrix}\right.$ Khi đó phương trình $(2.1)$ có đúng 1 nghiệm duy nhất. *TH2: $\left [ \begin{matrix}m^3-3m=-2\\m^3-3m=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}m=\pm 2\\m = \pm 1 \end{matrix}\right.$. Khi đó phương trình $(2.1)$ có 2 nghiệm phân biệt *TH3: $-2 Ví dụ 2.2. Cho hàm số $y=x^3+3x^2-4$. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số. b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $\left |x^3+3x^2-4 \right |=m \ \ \ \ (2.2)$. Giải a) Đồ thị:
Ví dụ 2.3. Cho hàm số $y=-x^3+ 3x^2-4x+2$. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số. b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $-|x|^3+ 3x^2-4|x|+2 = m \ \ \ \ (2.3)$. Giải a) Đồ thị
Câu hỏi: Để vẽ đồ thị hàm số $y=f(|x|)$ khi biết đồ thị $y=f(x)$, ta làm thế nào? Ví dụ 2.4. Cho hàm số $y=-x^3+3x^2+4$. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số. b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy vẽ đô thị $\left ( C' \right )$ của hàm số $|y|=-x^3+3x^2+4$. Giải a) Đồ thị:
Ví dụ 2.5. Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số. b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $\frac{|x-2|}{x+1} =m \ \ \ \ (2.5)$. Giải a) Đồ thị
* TH3: Nếu $2 \leq m < 1$ thì phương trình có 2 nghiệm
Đã gửi 09-09-2012 - 14:58
Bài tập tự luyện 2.2) B-2009. Cho hàm số $y=2x^4-4x^2$ a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Tìm $m$ để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: $$x^2|x^2-2|=m$$2.3) A-2002. Cho hàm số $y=-x^3+3mx^2+ 3(1-m^2)x+m^3-m^2$ a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với $m=1$ b) Tìm $k$ để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: $$-x^3+3x^2+k^3-3k^2=0$$2.4)Tìm $m$ để phương trình $(x^2+1)(x+\sqrt{3})|x-\sqrt{3}|=m$ có đúng 3 nghiệm. 2.5) Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: $x+1=m|2x-1|$ thoả mãn điều kiện $|x|>=1$ 2.6) Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: $|-|x|+2|=m|x|+m$ QUY ĐỊNH VỀ THẢO LUẬN
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 02:17
Đã gửi 21-09-2012 - 21:24
Cho em hỏi phần nhận xét so sánh nghiệm phương trình bậc 2 có được dùng trong kì thi địa học ko ah ? em thấy phần này hình như đã đc bỏ , ngoài ra chúng ta có thể xử lí bằng đạo hà em nghĩ là 1 cách hay hơn ( tất nhiên rườm rà phức tạp hơn
*** Hãy theo đuổi sự ưu tú - thành công sẽ theo đuổi bạn
Đã gửi 21-09-2012 - 21:45
Cảm ơn câu hỏi của em. Ta cần chú ý rằng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai đã bị bỏ khỏi SGK. Tuy nhiên ở đây, tôi đã cố gắng ko dùng định lý này mà diễn giải bằng cách khác. Ví dụ, nếu $x_1 < \alpha < x_2$ thì $(x_1 - \alpha)(x_2 - \alpha)<0$ (nếu sử dụng định lý đảo thì phải là $a.f(\alpha)<0$
Đã gửi 22-09-2012 - 01:35
Em chưa rõ về đoạn có dòng chữ xanh này, anh giúp em với.Nếu lấy biểu thức y theo y' ở dòng (chữ xanh) trên thế vào biểu thức $$y(x1)y(x2)$$ ở dưới thì vẫn còn x1,x2. Nhưng dòng (chữ xanh) dưới lại không có x(1),(x2), chỉ có m ?Anh giải thích hộ em đoạn này nhé.
Đã gửi 22-09-2012 - 18:24 $$y = \frac{1}{3}y'(x-m-1)-2(m^2+m+1)x+m^2+1$$Dòng này có được nhờ việc ta chia $y$ cho $y'$. Hi vọng là em còn nhớ cách chia đa thức $$y(x_1).y(x_2) < 0 \Leftrightarrow (m+1)(m^3-m^2-m-3) > 0 \ \ \ (1.6a)$$ Cái này có thể giải thích kĩ như sau:$$y(x_1).y(x_2) = \left [\frac{1}{3}y'(x_1)(x-m-1)-2(m^2+m+1)x_1+m^2+1 \right ].\left [\frac{1}{3}y'(x_2)(x-m-1)-2(m^2+m+1)x_2+m^2+1 \right ]=A$$Nhưng do $x_2,x_2$ là nghiệm của $y'=0$ nên $y'(x_1)=y'(x_2)=0$. do đó$A= \left [-2(m^2+m+1)x_1+m^2+1 \right ].\left [-2(m^2+m+1)x_2+m^2+1 \right ]$$=4(m^2+m+1)^2x_1x_2-2(m^2+m+1)(m^2+1)(x_1+x_2)+(m^2+1)^2$mà $y'=3x^2-6(m+1)x+3m$ nên Áp dụng định lý Vi-et, ta có:$$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 2(m+1); x_1.x_2 = \frac{c}{a}=m$$Do đó$A=4(m^2+m+1)^2m-2(m^2+m+1)(m^2+1)(m+1)+(m^2+1)^2$Đến đây, chắc là em hiểu rồi
Đã gửi 23-09-2012 - 21:08
cho em hỏi rõ hơn phần in đậm làm sao để tìm ra được như thế ạ
Đã gửi 23-09-2012 - 21:22
Bạn có thể hiểu như thế này.Ta tìm được tọa độ trung điểm $H$ của đoạn $EF$ là $H\left( {\frac{{3 - m}}{2};\frac{{m + 3}}{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{3 - m}}{2}\\{y_M} = \frac{{m + 3}}{2}\end{array} \right.$.Ta có: ${y_M} = \frac{{m + 3}}{2} = \frac{{6 - \left( {3 - m} \right)}}{2} = 3 - \frac{{3 - m}}{2} = 3 - {x_M}\,\,\,(*)$.Tọa độ của điểm $H$ thỏa mãn $(*)$ với mọi $m$ hay quỹ tích là đường thẳng $y = 3 - x$.
Đã gửi 28-09-2012 - 23:09
thầy ơi em thấy ở ví dụ 3 điều kiện để pt có 2 nghiệm: x1 + x2 > 2 và x1.x2 > 1 hình như có vấn đề thì phải. Thử đơn giản lấy 2 số 1/2 và 4 chẳng hạn. Tuy đáp ứng đ/k x1 + x2 > 2 và x1.x2 > 1 nhưng không thõa mãn pt có 3 ngiệm lớn hơn 1. Em nghĩ phải là thế này: $\bigtriangleup$' > 0 : a.f(1) > 0; -b/2a > 1
Đã gửi 29-09-2012 - 00:07 Cảm ơn nhận xét của bạn Mình đã sửa lại như trên
Đã gửi 17-10-2012 - 21:04 Cho hàm số y=$x^{3}-3x^{2}-9x+m (Cm) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cống Mong mọi người cho e ý kiến e mới học nên còn chưa hiếu lắm Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi talaai01: 17-10-2012 - 21:07
Đã gửi 17-10-2012 - 21:09
Em xem Ví dụ 1.4 ở trên Bài giảng nhé. Nếu có gì thắc mắc thì em cứ nêu ra. Chúc em học tốt.
Đã gửi 01-03-2013 - 12:44
Mình nghĩ, vấn đề là em ấy sợ quá nên không đụng vào dẫn đến là không biết làm thôi, còn còn về mặt lí thuyết mà nói thì cái gì có thể biểu diễn bằng hình ảnh thì bao giờ cũng trực quan và dễ hiểu hơnÝ kiến chủ quan của mình thế này, đầu tiên hãy tập cho em ấy vẽ đồ thị, bằng cách làm thật cẩn thận các bài toán khảo sát trong các đề thi ấy (vừa kết hợp ôn tập luôn) nhớ là phải làm thật cẩn thận, mỗi dạng đồ thị chỉ cần làm khoảng 3 bài thôiHàm số và đồ thị chẳng qua là hai cách thể hiện của cùng một vấn đề, cũng giống như việc đưa tin, cùng một tin nhưng đài phát thanh thì dùng lời nói, còn đài truyền hình thì dùng hình ảnh!Vì vậy giữa hàm số và đồ thị có mối liên hệ với nhau!Hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C_1)$Hàm số $y=g(x)$ có đồ thị $(C_2)$Xét phương trình hoành độ giao điểm $f(x)=g(x)\quad (1)$Số nghiệm của $(1)$ là số giao điểm của $(C_1)$ và $(C_2)$ và nghiệm của $(1)$ là hoành độ giao điểm và ngược lại !Tùy mức độ nhận thức của em mà giải thích hay cho em ghi nhớ điều này (vì mục đích học thi)Sau khi đã hiểu về các vấn đề trên lại cho em học đến các cách vẽ các đồ thị của hàm số: $y=|f(x)|$ và $y=f(|x|)$Mỗi dạng cũng luyện tập 3, 4 bài thì em sẽ hiểu và nhớ thôi! Cứ kiên trì thì sẽ không vấn đề gì cả
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi! Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath Website: Cungnhauhoctoan.com
Đã gửi 22-04-2014 - 23:17
cho hàm số $y=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x+\frac{8}{3}$ vấn đề đặt ra: Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ). giải chi tiết giùm em, tại đáp án có chổ khó hiểu nên cần bản chi tiết Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhoangqn: 22-04-2014 - 23:18
Đã gửi 15-07-2014 - 22:06
dạ cho em hỏi ở chỗ 1.7 $$EF=\sqrt{2(e-f)^2}=\sqrt{2(e+f)^2-8ef} = \sqrt{2(3-m)^2+8(m+1)}=\sqrt{2(m^2-2m+13}$$ Vậy b) thầy tính ntn mà ra minEF ạ em hơi chậm mong thầy giải thích rõ cho em hiểu ạ
Đã gửi 15-07-2014 - 23:50
Trong căn thức là một tam thức bậc hai có hệ số a dương nên giá trị nhỏ nhất của nó đạt tại đỉnh của parabol đó em
Đã gửi 05-09-2014 - 12:50
cho e hỏi sao không có kiến thức dạy cách giải là tìm A,B để tạo nên tam giác đều hay cân ạ |
