Shortlink: //wp.me/P8gtr-OU
I. Các khái niệm chung:
1. Định nghĩa:
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng:
[1]
trong đó: xác định trên [a;b]
– : phương trình tuyến tính thuần nhất [đồng bậc] liên kết với pt [1]
– : phương trình tuyến tính không thuần nhất.
2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm:
Nếu các hàm số liên tục trên khoảng [a;b] thì với mọi và với mọi giá trị phương trình [1] có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện đầu:
[3]
3. Cấu trúc nghiệm tổng quát của pt tuyến tính không thuần nhất:
3.1 Định lý 1:
Nếu y1, y2 là hai nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 2 [pttt thuần nhất]:
[2]
thì tổ hợp tuyến tính của 2 nghiệm: cũng là nghiệm.
Chứng minh: kết quả của định lý này dễ dàng được kiểm chứng. Bạn hãy kiểm tra nhé.
3.2 Định nghĩa 1:
Hai nghiệm y1, y2 của pttt thuần nhất cấp 2 được gọi là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của pt [2] trên [a,b] nếu . Ngược lại, 2 nghiệm y1, y2 được gọi là 2 nghiệm phụ thuộc tuyến tính.
3.3 Định nghĩa 2 [Định thức Wronski]
Cho hai hàm số có đạo hàm trong khoảng [a;b]. Khi đó định thức:
được gọi là định thức Wronski của các hàm
3.4 Định lý 2:
Nếu hai hàm số y1[x], y2[x] phụ thuộc tuyến tính và có đạo hàm trong khoảng [a;b] thì định thức Wronski
Chứng minh:
Giả sử tồn tại sao cho và:
[*]
Lấy đạo hàm ta được:
[**]
Thế vào [*], [**] ta được hệ phương trình:
Hệ phương trình trên là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nên có duy nhất nghiệm tầm thường:
Do đó: y1[x], y2[x] là độc lập tuyến tính [!] [mâu thuẫn với giả thiết]
Vậy ♦
3.5 Định lý 3:
Nếu định thức Wronski của hai nghiệm y1, y2 [của ptvp tuyến tính thuần nhất cấp 2 ] khác không tại 1 giá trị trên đoạn [a;b], trên đó p[x], q[x] liên tục, thì
Chứng minh:
Do y1, y2 là 2 nghiệm của phương trình [2], nên:
[3.5.1]
[3.5.2]
Ta cần chứng minh:
Lấy pt [3.5.2] nhân với y1 rồi trừ đi pt [3.5.1] sau khi đã nhân y2. Ta có:
[3.5.3]
Mặt khác, ta có:
Do đó, từ [3.5.3] ta có:
[phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1]
Suy ra:
Hay: [3.5.4] [Hàm Liouville]
Không mất tính tổng quát, ta có thể viết [3.5.4] dưới dạng:
[3.5.5]
Thế vào [3.5.5] ta có:
Vậy:
Vì nên: ♦
3.6 Định lý 4 [cấu trúc nghiệm của ptvp thuần nhất cấp 2]:
Cho là 2 nghiệm độc lập tuyến tính trong [a;b] của phương trình thuần nhất cấp 2 [2]. Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình [2] có dạng:
Chứng minh:
Hiển nhiên là nghiệm của pt[2] với mọi hằng số C1, C2 [theo kết quả của định lý 1]
Ngược lại, giả sử là nghiệm của bài toán [2] với điều kiện [3]. Ta cần chứng minh rằng, khi đó tồn tại duy nhất 1 cặp số sao cho:
[3.6.1]
thỏa mãn
Ta xét hệ phương trình:
[3.6.2]
Vì 2 nghiệm y1, y2 là 2 nghiệm độc lập tuyến tính nên
Do đó, hệ phương trình [3.6.2] có ma trận hệ số:
Vậy phương trình [3.6.2] có nghiệm duy nhất:
Nghĩa là: là nghiệm của phương trình [2] thỏa mãn điều kiện [3]
Nhận xét: từ kết quả trên, muốn tìm nghiệm tổng quát của phương trình [2], ta chỉ cần tìm 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của nó, rồi lấy tổ hợp tuyến tính của chúng
3.7 Định lý 5 [cấu trúc nghiệm của ptvp tuyến tính cấp 2 không thuần nhất]:
Nếu là nghiệm tổng quát của phương trình [2] và là 1 nghiệm riêng của phương trình [1] thì là 1 nghiệm tổng quát của phương trình [1]
Chứng minh: Hoàn toàn tương tự như chứng minh trên.
Nhận xét: Để giải phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp 2, ta chỉ cần tìm được 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của ptvp tuyến tính thuần nhất và 1 nghiệm riêng y* của phương trình không thuần nhất. Khi đó: là nghiệm tổng quát của phương trình [1].
3.8 Nguyên lý chồng chất nghiệm [superpostion principle]:
Giả sử:
– là 1 nghiệm riêng của phương trình
– là 1 nghiệm riêng của phương trình
Khi đó: sẽ là 1 nghiệm riêng của phương trình :
[kết quả này bạn dễ dàng kiểm chứng]