Những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao
|
Show
Trong chương trình trung học cơ sở, học sinh được học các biểu thức được gọi là đa thức ở chương trình Toán 8. Trong đó chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao và cơ bản có những nét riêng biệt. Trước hết chúng ta đi và phần cơ bản.
Đa thức là biểu thức có chứa nhiều hạng tử, là tập hợp của nhiều đơn thức. Ví dụ: 2x2 + 3x -5, 4x + 1,… Đa thức liên quan đến nhiều dạng toán quan trọng như: giải phương trình bậc hai, bậc cao,… Phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản bao gồm có 3 phương pháp:
Đây 3 cách cơ bản để có thể đưa một đa thức thành tích của các biểu thức.  Các phương pháp phân tích nâng caoVới các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao, học sinh sẽ được học nhiều phương pháp mới. Và dĩ nhiên yêu cầu vận dụng của những phương pháp này cũng cao hơn nhiều. Có thể bạn quan tâm: Đề thi học sinh giỏi Toán 8 có đáp án Thứ nhất là phương pháp tách hạng tử. Tức là tách đa thức thành tích của hai biểu thức đơn giản hơn. Bằng cách tách các hạng tử phù hợp để tạo thành nhân tử chung. Thứ hai là phương pháp thêm bớt. Đó là tìm một biểu thức thích hợp và thêm bớt vào bài toán. Có thể thêm bớt để tạo thành bình phương. Một cách khác là thêm bớt để tạo thành nhân tử chung. Ngoài ra còn có phương pháp hệ số bất định và phương pháp đổi biến. Để biết rõ hơn về các phương pháp này, cũng như làm các bài tập vận dụng tương ứng các bạn hãy tải bộ tài liệu của chúng tôi về nhé. Bài tập phân tích đa thức sử dụng phương pháp cơ bảnVí dụ 1: Phân tích những đa thức sau: a) 15a2b2 – 12a3b + 3ab2 b) 2x(y-z) + 5y(z-y) c) xm+3 + xm (x3 + 1) Lời giải: a) 15a2b2 – 12a3b + 3ab2 = 3ab(5ab – 4a2 +3b) b) 2x(y-z) + 5y(z-y) = 2x(y-z) – 5y(y-z) = (y-z)(2x-5y) c) xm+3 + xm (x3 + 1) = xm. x3 + xm (x3 + 1) = xm (x3 + x3 + 1) = xm (2x3 + 1) Ví dụ 2: Phân tích những đa thức sau: a) 25x2 – 9 b) 8 – 27a3b6 c) 36x4 – 12x2y + y2 Lời giải: a) 25x2 – 9 = (5x)2 – 32 = (5x -3)(5x + 3) b) 8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2-3ab2)(4 – 6ab2 + 9a2b4) c) 36x4 – 12x2y + y2 = (6x2)2 – 2.6x2.y + y2 = (6x2 – y)2 Trên đây là 2 ví dụ về phân tích đa thức thành các tích thông qua các phương pháp như đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức, … Có thể nói đây là phần chuyên đề cơ bản cho rất nhiều kiến thức sau nay như giải phương trình, phương trình đường thẳng, … Có thể bạn quan tâm: Toán thực tế lớp 8 chọn lọc có đáp án Những lưu ý khi làm bài phân tích đa thứcNhư chúng tôi đã nói, đây là chuyên đề rất quan trọng trong chương trình Toán 8. Do đó, học sinh cần phải cẩn thận khi làm bài. Đặc biệt, các bạn hãy cố gắng tránh mắc những sai lầm sau đây:
Tải tài liệu miễn phí ở đây Sưu tầm: Trần Thị Nhung
(1) CHUYÊN ĐỀPHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ NÂNG CAO– PHẦN III/ LÍ THUYẾT: 1/ Các phương pháp đã học lớp 8: (Đặt nhân tử chung, Hằng đẳng thức, Nhóm hạng tử) 2/ Phương pháp tách hạng tử: a/ Phân tích đa thức ax2 + bx + c ta tách bx thành b 1x + b2x sao cho b1b2 = ac. + Tìm tích ac +Phân tích ac ra tích 2 số nguyên b1, b2 bất kỳ + Chọn cặp thừa số sao cho: b1 + b2 = ac. Ví dụ: Phân tích 3x2 – 8x + 4 có a = 3; b = -8; c = 4 ac = 12 = 1.12 = 3.4 = 2.6 = (-1).(-12) = (-3).(-4) = (-2).(-6) ta chọn cặp số -2 và -6 vì (-2) + (-6) = (-8) Nên: 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Lưu ý: Nếu a = 1 thì x2 + bx + c = (x + b 1)(x + b2) với b1 + b2 = b và b1.b2 = c b/ Tách hạng tử để xuất hiện hiệu của 2 bình phương: Ví dụ: 4x2 – 4x – 3 = 4x2 – 4x + 1 – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 1 – 2)(2x – 1 + 2) = (2x – 3)(2x + 1) c/ Đa thức từ bậc 3 trở lên ta thường sử dung theo cách tìm nghiệm của đa thức : “a gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0” và khi a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chứa thừa số x – a; tức là ta tách các hạng tử sao cho cho có thừa số chung x – a. + Nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hạng tử tự do (hạng tử không chứa x) + Trường hợp đặc biệt nếu f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + ax + a * có tổng các hệ số: an + an-n + … + a = 0 thì x = 1 là nghiệm của f(x) * Tổng hệ số cùa các số hạng bậc chẵn bằng tổng hệ số của các số hạng bậc lẻ thì x = -1 là nghiệm của f(x). (2) Ta thấy f(3) = 0 nên x = 3 là nghiệp của đa thức đã cho. Hay đa thức trên chứa thừ số x – 3. Do đó ta có cách tách như sau: 4x3 – 13x2 + 9x – 18 = 4x3 – 12x2 – x2 + 3x + 6x – 18 = 4x2(x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3) = (x – 3)(4x2 – x + 6) 3/ Phương pháp thêm bớt cùng một số hạng: a/ Thêm bớt để xuất hiện hiệu của 2 bình phương: Ví dụ: x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 36x2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 – 6x +9)(2x2 + 6x + 9) b/ Thên bớt cùng một số hạng đề xuất hiện thừa số chung: Ví dụ: x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 + 1)(x – 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[ x(x3 + 1)(x – 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1) * Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+2 + x3n+1 + 1 luôn chứa thừa số x2 + x + 1 4/ Phương pháp đổi biến: Ví dụ: Phân tích: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt y = x2 +10x + 12 thì biểu thức đã cho trở thành : (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 122 + 128 = y2 – 16 = (y – 4)(y + 4) = (x2 +10x + 12 – 4)( x2 +10x + 12 + 4) = (x2 +10x + 8)( x2 +10x + 16) = (x + 2)(x + 8) (x2 +10x + 8) 5/ Phương pháp hệ số bất định: Sử dụng khi không tìm được nghiệm ngun hoặc nghiệm hữu tỉ Ví dụ: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 (1) (3) Đồng nhất thức với (1) ta được hệ điều kiện: =−=+=++−=+314126bdbdaddbacca Xét bd = 3 với b,d Z từ đó ta chọn b = 3 => d = 1; hệ điều kiện trở thành: −=+=−=+14386caacca => 2c = -14 –(-6) = -8; Do đó c = -4; a = -2. Vậy đa thức đã cho là: (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) II/ BÀI TẬP: Phân tích thành nhân tử: 1/ a/ a3 + 4a2 – 7a – 10 b/ x3 – 6x2 + 11x – 6 c/ x3 + x2 – x + 2 d/ x3 + 5x2 + 8x + 4 e/ x3 – 9x2 + 6x + 16 f/ x4 – 4x2 – 5 2/ a/ 6x2 – 11x + 3 b/ 2x2 – 5xy – 3y2 c/ 2x2 + 3x – 27 d/ 2x2 – 5xy + 3y2 e/ x3 + 2x – 3 f/ x3 – 7x + 6 g/ x2 + 8x – 20 h/ x3 – x2 – 4 3/ (4) b/ x2 + 13x + 36 c/ x2 – 8x + 15 d/ t2 – 9x + 20 e/ x2 + 9x + 8 f/ y2 + 11y + 28 g/ b2 + 5b + 4 h/ 2t + 99 – t2 i/ m2 – 2m – 15 4/ a/ 3x2 – 10x – 8 b/ 2x2 – 7x – 4 c/ 3x2 – x – 4 d/ 5x2 + x – 18 e/ 3x2 – 4x – 15 f/ 6x2 + 23x + 7 5/ a/ (x2 – 1 + x)(x2 – 1 + 3x) + x2 b/ (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1 c/ (x2 – 4x)2 + (x – 2)2 – 10 d/ (2x2 + 3x – 1) – 5(2x2 + 3x + 3) + 24 e/ (x2 + x) – 2(x2 + x) – 15 f/ (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) – 12 g/ x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 h/ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) – 24 6/ a/ a3 + 9a2 + 11a – 21 b/ x3 – 6x2 – x + 30 c/ 9x3 – 15x2 – 32x -12 (5) e/ 2x4 - x3 – 9x2 + 13x - 5 7/ a/ 4x4 – 5x2 + 1 b/ a4 + 4 c/ a4 + a2 + 1 d/ a8 + a4 + 1 e/ x5 + x4 + 1 f/ x4 + 2x3 + 1 g/ x7 + x5 + 1 h/ 2x4 – x2 -1 8/ a/ ab(a + b) – bc(b + c) + ca(c + a) + abc b/ a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc c/ (a – x)y3 – (a – y)x3 + (x – y)a3 d/ x(x2 –z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) e/ (x + y + z)3 – x3 – v3 – z3 f/ xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 9/ CMR: A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với n nguyên dương. 10/ CMR tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương. 11/ Tìm các số nguyên a, b, c sao cho: (x + a)(x – 4) – 7 = (x + b)(x + c) 12/ Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho x3 + ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử được (x + a)(x + b)(x + c) 13/ Cho đa thức P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13 x + 6 a/ Phân tích P(x) thành nhân tử b/ CMR: P(x) chia hết cho 6 với mọi x Z 14/ Cho đa thức P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 - 9x + 6 (6) b/ Tìm giá trị của x để P(x) = 0 15/ Cho a + b + c = 1 và a2 + b2 + c2 = 1 a/ Nếu czb yax = = ; CMR xy + yz + zc = 0 b/ Nếu a3 + b3 + c3 = 1 Tìm giá trị của a, b, c. Gợi ý: a/ áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau và HĐT b/ Ap dụng kết quả câu 8e 16/ Cho 3 số phân biệt a,b, c. CMR: A = a4(b – c) + b4(c –a) + c4(a –b) ln khác 0 Gợi ý: Phân tích A = ½(a – b)(a – c)(b – c)[(a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2] nên khác 0 17/ Phân tích thành nhân tử: A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4 CMR nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì A > 0 Gợi ý: A = ( a + b + c)(a + b – c)( c + a – b)(c – a + b) chứng minh A>0 |
