Phương pháp giải bài tập ánh xạ tuyến tính
|
ĐẠI SỐ CƠ BẢN Show
(ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC) Bài 17. Giải bài tập về ánh xạ tuyến tính PGS TS Mỵ Vinh Quang Đại Học Sư Phạm Hồ Chí Minh Ngày 10 tháng 3 năm 2006
Trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích, để hiểu rõ hơn về ánh xạ tuyến tính , bài viết này TTnguyen sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập về ánh xạ tuyến tính thường gặp trong quá trình học. Chúc các bạn học tập tốt! 1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tínhV→W từ không gian vecto V đến không gian vecto W gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thoả mãn 2 tính chất sau: + f(x,y)=f(x)+f(y) +f(kx)=kf(x) ∀ x, y∈V, ∀ k∈ R Ví dụ: Cho R2→R3, Xét xem ánh xạ f có phải là ánh xạ tuyến tính hay không f(x,y)=(x+y, 0, 2x+2y) Giải Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2) – f(x+y)=(x1 + x2, y1 + y2) =(x1 + x2 + y1 + y2,0, 2x1 + 2x2 + 2y1 + 2y2) = (x1+y1, 0, 2x1 + 2y1 )+(x2,+y2 , 0, 2x2 +y2 ) = f(x)+f(y) -f (kx) = f (kx 1 , ky 1 ) = (kx 1 + ky 1 , 0, 2kx 1 + 2ky 1 ) = k (x 1 + y 1, 0, 2x 1 + 2y 1 ) = kf (x) Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính 2. Ma trận của ánh xạ tuyến tínhV là không gian vecto với cơ sở S W là không gian vecto với cơ sở T Ma trận của f theo cơ sở S -> T là ma trận gồm các cột là các toạ độ f(s) theo cơ sở T
Ví dụ: Viết ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R4 f (a, b, c) = (a + b + c, b, bc, a + c) Giải Có thể viết lại thành dạng cột:  Ví dụ: Tìm ma trận của f theo cơ sở S-T : R3→R2 f (a, b, c) = (b + c, 2a-c) S = {u 1 (1,0,1), u 2 (4,3,3), u 3 (1,2,1)} T = {(2,2), (1,7)} Giải Tìm ảnh f(s): f (u 1 ) = f (1,0,1) = (1,1) f (u 2 ) = f (4,3,3) = (6,5) f (u 3 ) = (1,2,1) = (3,1) Tìm toạ độ [f(s)]T Vậy ma trận S – T là: Bài tập ánh xạ tuyến tính1.Ánh xạ f: R2 → R2 có phải là tuyến tính không?f (x, y) = (x, y + 1) Giải Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2) – f (x + y) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 + 1) = (x 1 , y 1 +1) + (x 2 , y 2 ) ≠ f (x) + f (y) Vậy ánh xạ đã cho không phải là ánh xạ tuyến tính 2.Ánh xạ f: R2 → R2 có phải là tuyến tính không?f (x, y) = (y, y) Giải Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=(x1;y1) và y=(x2,y2) – f (x + y) = (y 1 + y 2 , y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2 , y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 1 ) + (y 2 , y 2 ) = f (x) + f (y) -f (kx) = f (kx 1 , ky 1 ) = (ky 1 , ky 1 ) = k (y 1, y 1 ) = kf (x) Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính 3.Viết ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R3f (a, b, c) = (a + 2b + c, a + 5b, c) Giải Xem lại ví dụ ở ma trận của ánh xạ tuyến tính ta được ma trận chính tắc là: 4.Viết ma trận chính tắc của ánh xạ f sau:+ f (a, b) = (b, -a, a + 3b, a – b) + f (a, b, c, d) = (d, a, c, b, bc) 5.Tìm ma trận của f theo cơ sở S-T : R2→R3f (a, b) = (a + 2b, -a, 0) S = {u 1 (1, 3), u 2 (-2, 4)} T = {(1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0)} Giải Tìm ảnh f(s): f (u 1 ) = f (1,3) = (7, -1 ,0) f (u 2 ) = f (-2, 4) = (6, 2, 0) Tìm toạ độ [f(s)]T Vậy ma trận S – T là: 6.Xét ánh xạ f: R2 -> R37.Cho ánh xạ f: P3(x) -> P2(x), p(x) -> p'(x)Tải File bài tập có đáp án tại đây: https://bit.ly/3OJXo61 |
