Phương pháp tìm tọa độ hình chiếu trong không gian
|
Vậy cách viết phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian Oxyz như thế nào? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây và cùng xem các bài tập và ví dụ minh họa để hiểu rõ nhé. Các em có thể xem lại nội dung Lý thuyết và các dạng bài tập Phương trình đường thẳng trong Oxyz nếu các em chưa nhớ rõ phần kiến thức này. ° Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz - Cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng (d). Hãy viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P). * Phương pháp - Bước 1: Viết phương trình mp(Q) chứa (d) và vuông góc với mp(P). - Bước 2: Hình chiếu cần tìm d'= (P)∩(Q) > Chú ý: Nếu d⊥(P) thì hình chiếu của d là điểm H=d∩(P) * Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:  * Lời giải: - Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng: m(x - 2z) + n(3x - 2y + z - 3) = 0 ⇔ (m + 3n)x - 2ny + (-2m + n)z - 3n = 0 - Vì Q ⊥ P ta có: 1.(m + 3n) - 2(-2n) + 1.(-2m + n) = 0 ⇔ m + 3n + 4n - 2m + n = 0 ⇔ -m + 8n = 0 ⇔ m = 8n - Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp (Q): 11x - 2y - 15z - 3 = 0 - Vì hình chiếu d’ của (d) trên mp(P) nên d' là giao tuyến của mp(P) và mp(Q). Phương trình của d’ sẽ là:
* Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d' trên (P) biết phương trình mặt phẳng (P): x - y + z - 1 = 0 và phương trình đường thẳng d' là: * Lời giải: - Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương - Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là: - Mặt phẳng (Q) chứa d' và vuông góc với (P) có:
Ta thấy N(1;2;-1) điểm thuộc d' cũng thuộc (Q) - Phương trình mặt phẳng (Q) là: 1.(x – 1) + 0.(y - 2) – 1.(z + 1) = 0 ⇔ x – z – 2 = 0 - Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q) Tọa độ của điểm M (x; y; z) thuộc d thỏa mãn: Chọn x = t, suy ra: Vậy phương trình đường thẳng (d) là:
>> xem ngay: Các dạng bài tập phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz Hy vọng với bài viết về cách viết phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian Oxyzở trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ. Chúc các em học tập tốt!
Tham số hóa điểm $H\in \Delta \Rightarrow \overrightarrow{AH}$. Do $AH\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{\αH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0$, giải phương trình tìm giá trị của tham số, từ đó suy ra tọa độ của điểm H. Chú ý: Nếu ${A}'$là điểm đối xứng của A qua đường thẳng $\Delta $ thì H là trung điểm của $\text{A{A}'}$. Từ công thức trung điểm suy ra tọa độ của điểm ${A}'$.
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), khi đó $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}$từ đó ta viết được phương trình đường thẳng d suy ra $H=d\cap \left( P \right)$. Chú ý: Nếu ${A}'$là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P) thì H là trung điểm của $\text{A{A}'}$. Bài tập tìm điểm trong tọa độ không gian có đáp án chi tiết
Lời giải chi tiết: Gọi $H\left( -1+2t;-2-t;2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( 2t-3;1-t;2t-1 \right)$ Cho $\overrightarrow{αH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Leftrightarrow \left( 2t-3;1-t;2t-1 \right).\left( 2;-1;2 \right)=0$ $\Leftrightarrow 2\left( 2t-3 \right)+\left( t-1 \right)+2\left( 2t-1 \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H=\left( 1;-3;2 \right).$
Lời giải chi tiết: PT mặt phẳng $\left( ABC \right):x+y+z-1=0$, phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với (ABC) có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{1}$ $\Rightarrow H=d\cap \left( ABC \right)$. Gọi $H\left( -2+t;1+t;-1+t \right)\in d$ Do $H\in \left( P \right)\Rightarrow -2+t+1+t-1+t-1=0\Leftrightarrow t=1$. Vậy $H\left( -1;2;0 \right)$.
Lời giải chi tiết: Gọi $H\left( -t;3+t;1+t \right)\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\left( -t-2;3+t;1+t \right);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -1;1;1 \right)$ Cho $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t+2+3+t+1+t=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow H\left( 2;1;-1 \right)$. Chọn C.
Lời giải chi tiết: Phương trình đường thẳng qua M vuông góc với $\left( \alpha \right)$là: $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-2}{1}$ $H=d\cap \left( \alpha \right)$, gọi $H\left( 1+t;4+t;2+t \right)\in d\Rightarrow 1+t+4+t+2+t-1=0\Leftrightarrow t=-2$ $\Rightarrow H\left( -1;2;0 \right)$. Chọn A.
Lời giải chi tiết: Phương trình đường thẳng qua M vuông góc với $\left( \alpha \right)$là: $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{-1}$ $H=d\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow H\left( 4;7;-2 \right)$ là trung điểm của $M{M}'\Rightarrow {M}'\left( 6;13;-4 \right)$. Chọn D.
Lời giải chi tiết: Gọi ${A}'$là điểm đối xứng quả A qua d. Gọi $H\left( 1+2t;-1-t;2t \right)$ ta có: $\overrightarrow{AH}=\left( 2t;1-t;2t+5 \right)$ Cho $\overrightarrow{\αH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=4t+t-1+4t+10=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow H\left( -1;0;-2 \right)\Rightarrow {A}'\left( -3;2;1 \right)$. Chọn C.
Lời giải chi tiết: Ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{{{u}_{BC}}}=\left( 1;1;1 \right)$ Phương trình đường thẳng BC là $BC:\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=-1+t \\ {} z=2+t \\ \end{array} \right.$. Gọi $H\left( t;-1+t;2+t \right)\in BC$ta có: $\overrightarrow{AH}=\left( t-2;t-4;t+3 \right);\overrightarrow{{{u}_{BC}}}=\left( 1;1;1 \right)=0$ $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{BC}}}=0\Leftrightarrow 3t-3=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H\left( 1;0;3 \right)$. Chọn B. |
