Phương trình bậc 2 là gì?
Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0. Với
x là ẩn sốa, b, c là những số đã biết sao cho : a ≠ 0 a, b, c là những thông số của phương trình và hoàn toàn có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với thông số của x [ theo phương trình trên thì a là thông số bậc hai, b là thông số bậc một, c là hằng số hay số hạng tự do ] .
Xem Thêm Trùm giang hồ Dung Hà và cuộc ngã giá bất thành với đặc nhiệm H88
Phương pháp giải phương trình bậc 2
Giải phương trình bậc 2 : ax2 + bx + c = 0 theo biệt thức delta [ Δ ]
Định lý Vi-ét
Công thức Vi-ét về quan hệ giữa những nghiệm của đa thức với những thông số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, được phát biểu như sau :
Một số trường hợp đặc biệt
Nếu phương trình bậc 2 có :
Cách tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2
Cách tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2
Giảng viên Trường Trung học đại trà phổ thông TP HCM san sẻ : Xuất phát từ định lý Vi-ét, tất cả chúng ta có những dạng toán tính nhẩm như sau :
Dạng 1: A = 1, B = Tổng, C = Tích
Nếu phương trình có dạng x2 – [ u + v ] x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm u và v .
Nếu phương trình có dạng x2 + [ u + v ] x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm – u và – v .
Tóm lại:
x2 – [ u + v ] x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v [ 1 ] x2 + [ u + v ] x + uv = 0 => x1 = – u, x2 = – v
Như vậy, với dạng này tất cả chúng ta cần triển khai 2 phép nhẩm : “ Phân tích thông số c thành tích và b thành tổng ”. Trong hai phép nhẩm đó, tất cả chúng ta nên nhẩm thông số c trước rồi phối hợp với b để tìm ra hai số thỏa mãn nhu cầu tích bằng c và tổng bằng b .
Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau: Tích của hai nghiệm bằng c, mà tổng lại bằng b.
Xem thêm : Phương Trình Ion Rút Gọn Là Gì, Nghĩa Của Từ Phương Trình Ion Trong Tiếng Việt
Ví dụ phương trình:
Xem thêm: Bệnh hiểm nghèo là gì? Danh mục bệnh hiểm nghèo mới nhất?
x2 – 5 x + 6 = 0
Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2×3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.
x2 – 7 x + 10 = 0
Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2×5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 5.
Dạng 2: A + B + C = 0 và A – B + C = 0
x2 – [ u + v ] x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v [ 1 ] Nếu thay v = 1 vào [ 1 ] thì tất cả chúng ta sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc a + b + c = 0, với a = 1, b = – [ u + 1 ], c = u. Nếu thay v = – 1 vào [ 1 ] thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm a – b + c = 0, với a = 1, b = – [ u-1 ], c = – u .
Do loại này đã quá quen thuộc và thường gặp, nên bài viết không xét những ví dụ cho trường hợp này mà tập trung chuyên sâu vào Dạng 1 và Dạng 3 .
Dạng 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
Nếu u ≠ 0 và v = 1 / u thì phương trình [ 1 ] có dạng :
Khi đó : Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau x = u, x = 1 / u. Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán. Ví dụ phương trình : 2 × 2 – 5 x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 2, x = 1/23 × 2 – 10 x + 3 = 0 có hai nghiệm x = 3, x = 1/3
Một số ví dụ vận dụng cách tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2
Một số ví dụ vận dụng
Dựa vào đó, các bạn hãy áp dụng và thử giải các bài tập sau đây nhé:
Xem Thêm dự định trong tiếng Tiếng Anh - Tiếng Việt-Tiếng Anh | Glosbe
2×2 + 6x + 5 = 0x2 – 4x + 4 = 02×2 + 7x – 3 = 0.
Xem thêm : Cách Tính Tiền Chậm Nộp Tiền Thuê Đất, Cách Tính Tiền Sử Dụng Đất Chậm Nộp
Khi mới làm quen với tính nhẩm, hoàn toàn có thể tất cả chúng ta sẽ gặp một chút ít khó khăn vất vả, nhưng đừng cho nên vì thế mà ngại khó và bỏ cuộc. Hãy tưởng tượng thành quả mà giải pháp tính nhẩm đem lại cho tất cả chúng ta là “ không đếm được ” so với những “ trở ngại đếm được ” mà bạn đang phải đương đầu. Chúng ta sẽ có thêm động lực tiến lên .
Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình
Điều hướng bài viết
Source: //hoibuonchuyen.com
Category: Hỏi Đáp
Reader Interactions
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ \displaystyle ax_{{}}^{2}+bx+c=0$ [a ≠ 0]
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai$ \displaystyle ax_{{}}^{2}+bx+c=0$ [a ≠ 0]
Đối với phương trình $ \displaystyle ax_{{}}^{2}+bx+c=0$ [a ≠ 0] và biểu thức $ \displaystyle \Delta =b_{{}}^{2}-4ac$:
– Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$ \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ và$ \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$
– Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $ \displaystyle {{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a}$
– Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình $ \displaystyle ax_{{}}^{2}+bx+c=0$ [a ≠ 0] có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Do đó $ \displaystyle \Delta =b_{{}}^{2}-4ac$ > 0. Vì thế phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Đồ thị của hàm số y = ax^2 [a ≠ 0]
Hàm số y = ax^2 [a ≠ 0]
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số
VietJack
Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.
. Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai [ điều kiện về nghiệm ]:
- Có hai nghiệm đều dương là : ≥ 0 , P > 0 , S > 0
[ Hai nghiệm phân biệt đều dương : > 0 , P > 0 , S > 0 ]
- Có hai nghiệm đều âm : ≥ 0 , P > 0 , S < 0
[ Hai nghiệm phân biệt đều âm : > 0 , P > 0 , S < 0 ]
- Có hai nghiệm trái dấu là: P < 0 [ hay a và c trái dấu]
- Có hai nghiệm cùng dấu là : ≥ 0 , P > 0
- [Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là : > 0 , P > 0] . Để biết cùng dấu gì thì xét S
- Có hai nghiệm phân biệt đối nhau là > 0 , S = 0
[ Hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau]
Bạn đang xem nội dung tài liệu Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [a khác 0], để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [ a ¹ 0] A TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Công thức nghiệm: ax2 + bx + c = 0 [ a ¹ 0] D = b2 – 4ac D> 0 D= 0 < 0 D< 0 Vô nghiệm 2. Công thức nghiệm thu gọn: [ khi b = 2b’ ] ax2 + bx + c = 0 [ a ¹ 0] D’ = b’2 – ac D’ < 0 D’= 0 D’ > 0 < 0 Vô nghiệm 3. Nếu x = n là nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [ a ¹ 0] thì : an2 + bn + c = 0 4. Hệ thức Viet và ứng dụng: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 [ a ¹ 0] có: - Hai nghiệm x1 , x2 thì S = x1 + x2 = P = x1.x2 = - Một nghiệm x = 1 thí a + b + c = 0 , ngược lại a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 = - Một nghiệm x = -1 thí a - b + c = 0 , ngược lại a - b + c = 0 thì x1 = -1; x2 = - 5. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu u + v = S , u.v = P thì u và v là hai nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0 [ Đ K: S2 -4P ≥ 0 ] 6. Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai [ điều kiện về nghiệm ]: - Có hai nghiệm đều dương là : D ≥ 0 , P > 0 , S > 0 [ Hai nghiệm phân biệt đều dương : D > 0 , P > 0 , S > 0 ] - Có hai nghiệm đều âm : D ≥ 0 , P > 0 , S < 0 [ Hai nghiệm phân biệt đều âm : D > 0 , P > 0 , S < 0 ] Có hai nghiệm trái dấu là: P < 0 [ hay a và c trái dấu] Có hai nghiệm cùng dấu là : D ≥ 0 , P > 0 [Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là : D > 0 , P > 0] . Để biết cùng dấu gì thì xét S Có hai nghiệm phân biệt đối nhau là D > 0 , S = 0 [ Hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau] B. BÀI TẬP: Bài 1: Giải các phương trình: a/ 2x2 + 3x -2 = 0 b/ x2 – 4x – 12 = 0 c/ 9x2 – 30x + 25 = 0 d/ x2 – 4x – 2 = 0 Hướng dẫn hs: dùng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải Bài 2: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau: a/ x2 – 9x + 20= 0 b/ x2 +9x + 20 = 0 c/ 3x2 +2x – 5 = 0 d/ 3x2 – 2x – 5 = 0 Hướng dẫn học sinh : Câu a, b dùng tổng tích [ lưu ý học sinh tính D để xác định phương trình có nghiệm trước khi sử dụng S , P] Câu c: dùng a + b + c = 0 Câu d: dúng a – b + c = 0 Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn x: 2x2 – mx + 3 = 0 [ 1] [ m là tham số] Giải phương trình [ 1 ] khi m = 7. Xác định giá trị của m để phương trình [ 1 ] có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại. Xác định giá trị của m để phương trình [ 1 ] có một nghiệm bằng – 1. Tìm nghiệm còn lại. Giải Khi m = 7 thì phương trình [ 1 ] trở thành: 2x2 – 7x + 3 = 0 D = b2 – 4ac = [ -7]2 - 4.3.2 = 25 > 0 x1 = x2 = 2x2 – mx + 3 = 0 [ 1 ] Phương trình [ 1 ] có nghiệm x1 = 1 khi a+b+c = o tức là 2 + [ -m ] +3 = 0 Þ m = 5 Nghiệm còn lại; x2 = 2x2 – mx + 3 = 0 [1] Phương trình [ 1 ] có nghiệm x1 = -1 khi a – b +c = o tức là 2 - [ -m ] +3 = 0 Þ m =- 5 Nghiệm còn lại; x2 = Bài 4:Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 8x + m = 0 Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn một trong các điều kiện sau: x1 – x2 = 2 x1 = 3x2 2x1 +3 x2 = 26 Giải D = b2 – 4ac = [ -8 ]2 – 4m = 64 – 4m Để phương trình có nghiệm x1 , x2 thì D ≥ 0 tức là 64 – 4m ≥ 0 Û m 16 Ta có: x1 + x2 = = 8 [ 1] x1.x2 = = m [ 2 ] Mà x1 – x2 = 2 [ 3] Từ [1] và [3] ta được : Thay vào [ 2] ta được: 5.3 = m Þ m = 15 [ thỏa] Vậy m = 15 thì phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa x1 – x2 = 2 Câu b, c hướng dẫn tương tự. Bài 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 +2 [m +1] x + m2 = 0 [1] a/ Giải phương trình khi m = 4 b/ Tìm giá trị của m để phương trình [ 1] có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm phân biệt đó có một nghiệm bằng – 2 . Giải Khi m = 4 ta được: x2 + 10x + 16 = 0 D’ = b’2 – ac = 52 – 16 = 9 > 0 x1 = x2 = D’ = b’2 – ac = [ m + 1 ]2 – m2 = 2m + 1 Phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt khi D’ > 0 Þ 2m + 1 > 0 Þ m > Phương trình có một nghiệm bằng – 2 nên ta có: [ -2]2 + 2[m+1]. [-2] + m2 = 0 [ thỏa] Vậy: với m = 0 hoặc m = 4 thì phương trình [ 1] có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm phân biệt đó có một nghiệm bằng – 2 [ Hướng dẫn thêm cách giải bằng hệ thức Viet] Bài 6: Cho phương trình bậc hai: x2 -2 [ m+ 1]x + m – 4 = 0 [ 1] Chứng minh rằng phương trình [1] luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm m để phương trình [1] có hai nghiệm trái dấu Chứng minh rằng biểu thức M = x1[1 –x2] + x2 [1 –x1] không phụ thuộc vào m. Giải D’ = [- [m+1] ] 2 – [ m - 4 ] = m2 + 2m +1 – m + 4 = m2 + m + 5 =[m + ]2 + > 0 với mọi m Vậy phương trình [ 1] luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi P < 0 Þ m – 4 < 0 Þ m < 4 [ Hướng dẫn cách a và c trái dấu ] Ta có x1 + x2 = 2[ m + 1] ; x1.x2 = m – 4 M = x1[1 –x2] + x2 [1 –x1] = x`1 – x1x2 + x2 – x1x2 = x1+x2 – 2x1x2 = 2[m+1] – 2[m – 4 ] = 2m+ 2 – 2m + 8 = 10 Vậy biểu thức M không phụ thuộc vào m Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + mx + 2m – 4 = 0 [1] Chứng minh rằng phương trình [1] luôn có nghiệm. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm cùng dấu gì? Giải D = b2 – 4ac = m2 – 4[2m – 4] = m2 – 8m + 16 = [m – 4]2 ≥ 0 với mọi m Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m b.Do D≥ 0 nên phương trình [ 1] có hai nghiệm cùng dấu khi P > 0 Þ 2m -4 > 0 Þ m > 2 Ta có S = x1 + x2 = - m Mà m > 2 Þ - m < - 2 Þ S < 0 Vậy với m > 2 thì phương trình [ 1] có hai nghiệm cùng dấu và khi đó hai nghiệm cùng dấu âm. C. BÀI TẬP TỰ RÈN: Bài 1: Cho phương trình bậc hai ẩn x: 3x2 -7x + 2k = 0 [k là tham số] Tìm k để phương trình: Có nghiệm kép Vô nghiệm Bài 2: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 3x + 1 - m2= 0 [m là tham số] [1] Chứng minh rằng phương trình phương trình [1] luôn có hai nghiệm phân biệt. Giải phương trình với m = Bài 3: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng – 5 và tích của chúng bằng – 24 . Bài 4: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + [m + 1] x + m = 0 [m là tham số] [1] Tìm m để phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt. Tìm một hệ thức giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m. [ độc lập với m ] Bài 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 2[ m – 3]x + m2 –- 4 = 0 [m là tham số] [1] Tìm m để phương trình [1] có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. Tìm m để phương trình [1] có một nghiệm bằng – 3 . Khi đó tính nghiệm còn lại. Bài 6: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 2 [m – 3 ] x – m – 1 = 0 [m là tham số] [1] a.Chứng minh rằng phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b.Tìm m để phương trình [1] có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 +x22 – x1x2 Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + 2 [m – 1 ] x + m – 3 = 0 [1] a. Giải phương trình khi m = 4 b.Chứng minh rằng phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm giá trị biểu thức của A = x12 +x22 . Bài 8: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 2 mx + m –- 4 = 0 [m là tham số] [1] a.Tìm m để phương trình [1] có hai nghiệm đều dương. b.Tìm m để phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt đối nhau. Xác định hai nghiệm đó. c. Tìm giá trị của m để A = 4x1x2 – [x1 + x2]2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 9: Cho phương trình bậc hai ẩn x: 2x2 - 6x + m = 0 [1] Với giá trị nào của m thì phương trình: a.Có hai nghiệm đều dương b. có hai nghiệm x1,x2 sao cho Bài 10: Cho phương trình bậc hai ẩn x: mx2 – 2[m+2]x + m = 0 [1] Xác định m để phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt đều âm.
File đính kèm:
- Phương trình bậc hai.doc