Trong không gian $Oxyz$, tìm phương trình tham số trục $Oz$?
Trong không gian $Oxyz$, điểm nào sau đây thuộc trục $Oy$?
Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \[d:\,\,\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 4}}{1} = \dfrac{{z - 5}}{{ - 2}}\] và các điểm \[A\left[ {3 + m;\,\,4 + m;\,\,5 - 2m} \right]\], \[B\left[ {4 - n;\,\,5 - n;\,\,3 + 2n} \right]\] với \[m,\,\,n\] là các số thực. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đã gửi 25-12-2016 - 21:59
Viết phương trình mặt phẳng $[P]$ đi qua $M[4;3;4]$ và song song đường thẳng $\Delta: \dfrac{x-6}{-3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-2}{2}$, đồng thời tiếp xúc mặt cầu $[S]: [x-1]^2+[y-2]^2+[z-3]^2=9$
GS phương trình mặt phẳng là: $ax+by+cz+d=0$
[P] đi qua M nên ta có: $4a+3b+4c+d=0$ [1]
[P] có $\vec n$ là: $\vec n=[a;b;c]$ mà $[P] \\ \Delta \rightarrow \vec n.\vec u=0 \rightarrow -3a+2b+2c=0$
$\rightarrow c=\dfrac{3a-2b}{2}$
Thê $c$ vào $[1]$ ta có: $d=2b-10a$
Ta có: $[S]$ có tâm $I[1;2;3]$ và $R=3$
Mà mp tiếp xúc mặt cầu nên: $d[I,[S]]=R$
$\rightarrow 3=\dfrac{|a+2b+\dfrac{3}{2}[3a-2b]+2b-10|}{\sqrt{a^2+b^2+[\dfrac{3a-2b}{2}]^2}}$
Đến đây chuyển vế bình phương, bạn sẽ đưa pt về dạng đẳng cấp đôi với $a,b$ và tìm ra quan hệ của chúng rồi chọn $a,b$ thích hợp
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 25-12-2016 - 22:00
Cách 1:
1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là: n→ [A;B;C]
2. Do mặt phẳng [α] // [P] nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng [α] là n→ [A;B;C].
3. Phương trình mặt phẳng [α]:
A[x -xo ] +B[y -yo ] +C[z -zo] =0
Cách 2:
1. Mặt phẳng [α] // [P] nên phương trình mặt phẳng [α] có dạng:
Ax +By +Cz +D'=0 [*] với D'≠D
2. Vì mặt phẳng [α] đi qua điểm M [xo ;yo ;zo ] nên thay tọa độ điểm
M [xo ;yo ;zo ] vào [*] tìm đươc D’
Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [0; 1; 2] và song song với mặt phẳng [Q]: 2x – 4y + 2 = 0.
Hướng dẫn:
Mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q] nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng [Q] là n→ [2; -4;0]
Mặt phẳng [P] đi qua điểm M[0; 1; 2] và có vecto pháp tuyến n→ [2; -4;0] nên có phương trình là:
2[x -0] -4[y -1] +0 . [z -2] =0
⇔2x -4y +4 =0
⇔x -2y +2 =0
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [-1; 2; -3] và song song với mặt phẳng [Oxy]
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng [Oxy] là: z=0
Do mặt phẳng [P] song song song với mặt phẳng [Oxy] nên mặt phẳng [P] có dạng: z +c =0 [z≠0]
Do mặt phẳng [P] đi qua điểm M [-1; 2; -3] nên ta có: -3 +c = 0 ⇔ c =3
Vậy phương trình mặt phẳng [P] là: z +3 =0
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [0; -1; 3] và song song với mặt phẳng [Q]: 2x+3y-z+5=0
Hướng dẫn:
Do mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q] nên mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→ [2; 3;-1]
Phương trình mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→ [2; 3;-1] và đi qua điểm M [0; -1; 3] là:
2[x -0] +3[y +1] -1[z -3]=0
⇔ 2x +3y -z =0
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A [5; 1; 3], B[1; 2; 6], C[5; 0; 4], D[4; 0; 6]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng [ABC]
Hướng dẫn:
AB→=[-4;1;3]; AC→=[0; -1;1]
⇒ [AB→ , AC→ ]=[4;4;4]
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ABC] ta có:
+ Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→
+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng [ P] nên ta có:
n→ .u→ = 0 => Phương trình ẩn t
=> t=...=> tọa độ điểm M
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A[ 1; 2; -1 ] và đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm
+ Gọi giao điểm của hai đường thẳng d và Δ là B .
Do B thuộc d nên B[ 3+ t; 3+ 3t; 2t]=>
+ Mặt phẳng [ Q] có vectơ pháp tuyến
+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng [ Q] nên :
=>>
+ Đường thẳng Δ đi qua A[ 1; 2; -1] và nhận vecto
Chọn A.
Ví dụ 2. Cho hai điểm A[ 1;1;0] và B[ 2; -1; 2]. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M[1;0;0] cắt đường thẳng AB và song song với mặt phẳng [P]: 2x+ y+ z- 1= 0.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng AB: đi qua A[ 1; 1;0]; nhận vecto
=> Phương trình AB:
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và AB là H[1+ t; 1-2t;2t]
+ đường thẳng d nhận vecto
.
+ Mặt phẳng [P] nhận vecto
+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] nên
+ Đường thẳng d đi qua M[ 1; 0;0] và nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn D.
Ví dụ 3. Cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
+ Ta có: [AB] ⃗[ -3;0;-2]; [BC] ⃗[3; -1;3]
Mặt phẳng [ABC] nhận vecto
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M[ 1-t; 2t; 2+ t]
Đường thẳng Δ nhận vecto
+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [ABC] nên: n→ .OM→=0
⇔ -2[1- t] + 3.2t + 3.[ 2+ t] = 0 ⇔ - 2+ 2t+ 6t+ 6+ 3t = 0
⇔ 11t+ 4= 0 ⇔ t= [- 4]/11
+ đường thẳng OM: qua O nhận vecto
=> Phương trình OM:
Chọn B.
Ví dụ 4. Cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là A[ 1+2t; - 2+ t;1- t].
+ Đường thẳng Δ nhận vecto
Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng [P] nên: [MA→ .n→=0 ⇔ 2[ 3+ 2t] – 3[ - 3+ t] + 0[ - 2- t] = 0 ⇔ 6+ 4t+ 9 – 3t = 0 ⇔ t= -15
+ Đường thẳng Δ: đi qua M[ -2; 1; 3] và nhận vecto
Chọn A.
Ví dụ 5. Cho mặt phẳng [P] chứa đường thẳng
A. [ - 4; 2; -6]
B. [1; 2; - 1]
C. [ 0; 2; - 2]
D. [6; 2; 4]
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương
+ Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương
=> Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
+ Gọi giao điểm của d và Δ là H[ 3- t; 2; 1- t ]
Đường thẳng Δ nhận vecto
+ Do đường thẳng Δ song song với [P] nên:n→ .MH→=0 ⇔ 4[3- t]+ 3. 3 – 1[ -t] = 0 ⇔ 12- 4t +9 + t= 0 ⇔ 21- 3t= 0 ⇔t= 7
=> Giao điểm của đường thẳng d và Δ là H[ - 4; 2; - 6]
Chọn A.
Ví dụ 6. Cho điểm A[ -2; 1; 3] và mặt phẳng [P]: 2x+2y+ z+ 10= 0. Viết phương trình đường thẳng d qua M[ -1; -1; 0] cắt đường thẳng OA và song song với [P]?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng OA: qua O[0; 0;0] và nhận vecto
=> Phương trình OA:
+ Gọi giao điểm của đường thẳng OA và d là H[ -2t; t; 3t]
Đường thẳng d nhận vecto
+ Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
+ Do đường thẳng d song song với [P] nên: MH→ .n→=0 ⇔ 2[ 1- 2t] +2[ t+1] +1.3t= 0 ⇔ 2- 4t+2t+ 2+ 3t = 0 ⇔ t +4= 0 ⇔ t= -4
+ Đường thẳng d nhận vecto
=> Phương trình d:
Chọn C