1. Bất phương trình mũ cơ bản
\[a^x> b\] [hoặc \[{a^x} < b;\;{a^x} \le b;\;{\kern 1pt} {a^x} \ge b]\], trong đó \[a,b\] là hai số đã cho, \[a> 0, a\ne 1.\]
Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Lôgarit hóa bất phương trình [mà cả hai vế đều dương] theo cơ số lớn hơn 1[ nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình] ta được bất phương trình tương đương [trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận ngay về tập nghiêm]:
- Nếu \[b > 0\] và \[a > 1\] thì
\[\begin{array}{l}{a^x} > b \Leftrightarrow {\log _a}{a^x} > {\log _a}b \Leftrightarrow x > {\log _a}b;\\{a^x} \ge b \Leftrightarrow x \ge {\log _a}b\\{a^x} < b \Leftrightarrow x < {\log _a}b;\\{a^x} \le b \Leftrightarrow x \le {\log _a}b
\end{array}\]
- Nếu \[b>0\] và \[0 < a b \Leftrightarrow {\log _a}{a^x} < {\log _a}b \Leftrightarrow x < {\log _a}b;\\{a^x} \ge b \Leftrightarrow x \le {\log _a}b\\{a^x} < b \Leftrightarrow x > {\log _a}b;\\{a^x} \le b \Leftrightarrow x \ge {\log _a}b
\end{array}\]
- Nếu \[b ≤ 0\] thì các bất phương trình \[{a^x} > b,\;\;{a^x} \ge b\] đều đúng với mọi \[x\] [tập nghiện là \[\mathbb R]\]
- Nếu \[b ≤ 0\] thì các bất phương trình \[{a^x} < b,\;\;{a^x} \le b\] đều vô nghiệm
2. Bất phương trình lôgarit cơ bản dạng \[{\log _a}x > b\] [hoặc \[{\log _a}x < b;\;{\log _a}x \ge b;\;{\log _a}x \le b\]]
trong đó \[a,b\] là hai số đã cho,\[ a>0, a \ne 1\]
Ta giải bất phương trình loogarit cơ bản bằng cách mũ hóa sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Mũ hóa bất phương trình theo cơ số lớn hơn 1 [nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình] ta được bất phương trình tương đương.
- Nếu \[a > 1\] thì
\[\log_{a}x > b ⇔ a^{\log_{a}x} > a^b⇔ x > a^b;\]
\[\log_{a}x ≥ b ⇔ x ≥ a^b\]
\[\log_{a}x b ⇔ a^{\log_{a}x} < a^b ⇔ 0 < x < a^b;\]
\[\log_{a}x ≥ b ⇔ 0 < x ≤ a^b\]
\[\log_{a}x < b ⇔ x > a^b\]
\[ \log_{a}x ≤ b ⇔ x ≥ a^b\]
3. Chú ý: Các bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản nêu trên trong trường hợp \[b =a^α\] [ đối với bất phương trình mũ cơ bản] và \[b =\log_{a}α\] [ trường hợp bất phương trình lôgarit cơ bản] thì có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải, không cần lôgarit hóa hay mũ hóa. Chẳng hạn:
Nếu \[a > 1\] thì \[{a^x} > {a^\alpha} \Leftrightarrow x > \alpha;\]
Nếu \[0 < a < 1\] thì \[{\log _a}x > {\log _a}\alpha \Leftrightarrow 0 < x < \alpha ;...\]
Loigiaihay.com
– Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f[x] = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0.
* Ví dụ: Hãy cho biết đâu là tam thức bậc hai.
a] f[x] = x2 – 3x + 2
b] f[x] = x2 – 4
c] f[x] = x2[x-2]
° Đáp án: a] và b] là tam thức bậc 2.
1. Dấu của tam thức bậc hai
Nhận xét:
* Định lý: Cho f[x] = ax2 + bx + c, Δ = b2 – 4ac.
– Nếu Δ0 thì f[x] luôn cùng dấu với hệ số a khi x x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1,x2 [với x1 0 [hoặc ≥ 0; < 0; ≤ 0]
– Bất phương trình bậc 2 ẩn x là bất phương trình có dạng ax2 + bx + c < 0 [hoặc ax2 + bx + c ≤ 0; ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c ≥ 0], trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a≠0.
* Ví dụ: x2 – 2 >0; 2x2 +3x – 5 0 [1] [trong đó P[x], Q[x] là những nhị thức bậc nhất.]
∙ Cách giải: Lập bxd của P[x].Q[x]. Từ đó suy ra tập nghiệm của [1].
3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.
4. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
∙ Tương tự như giải pt chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta hay sử dụng định nghĩa và tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Bài tập giải bất phương trình lớp 10
Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 một ẩn
° Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc 2
* Ví dụ 1 [Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10]: Xét dấu các tam thức bậc hai:
a] 5x2 – 3x + 1
b] -2x2 + 3x + 5
c] x2 + 12x + 36
d] [2x – 3][x + 5]
Lời giải ví dụ 1 [Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10]:
a] 5x2 – 3x + 1
– Xét tam thức f[x] = 5x2 – 3x + 1
– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 9 – 20 = –11 < 0 nên f[x] cùng dấu với hệ số a.
– Mà a = 5 > 0 ⇒ f[x] > 0 với ∀ x ∈ R.
b] -2x2 + 3x + 5
– Xét tam thức f[x] = –2x2 + 3x + 5
– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 9 + 40 = 49 > 0.
– Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = –1; x2 = 5/2, hệ số a = –2 < 0
– Ta có bảng xét dấu:
f[x] > 0 khi x ∈ [–1; 5/2]- Từ bảng xét dấu ta có:
f[x] = 0 khi x = –1 ; x = 5/2
f[x] < 0 khi x ∈ [–∞; –1] ∪ [5/2; +∞]
c] x2 + 12x + 36
– Xét tam thức f[x] = x2 + 12x + 36
– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 144 – 144 = 0.
– Tam thức có nghiệm kép x = –6, hệ số a = 1 > 0.
– Ta có bảng xét dấu:
– Từ bảng xét dấu ta có:
f[x] > 0 với ∀x ≠ –6
f[x] = 0 khi x = –6
d] [2x – 3][x + 5]
– Xét tam thức f[x] = 2x2 + 7x – 15
– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 49 + 120 = 169 > 0.
– Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2; x2 = –5, hệ số a = 2 > 0.
– Ta có bảng xét dấu:
– Từ bảng xét dấu ta có:
f[x] > 0 khi x ∈ [–∞; –5] ∪ [3/2; +∞]
f[x] = 0 khi x = –5 ; x = 3/2
f[x] < 0 khi x ∈ [–5; 3/2]
* Ví dụ 2 [Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10]: Lập bảng xét dấu của biểu thức
a] f[x] = [3x2 – 10x + 3][4x – 5]
b] f[x] = [3x2 – 4x][2x2 – x – 1]
c] f[x] = [4x2 – 1][–8x2 + x – 3][2x + 9]
d] f[x] = [[3x2 – x][3 – x2]]/[4x2 + x – 3]
° Lời giải ví dụ 2 [Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10]:
a] f[x] = [3x2 – 10x + 3][4x – 5]
– Tam thức 3x2 – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x < 1/3 hoặc x > 3 và mang dấu – nếu 1/3 < x < 3.
– Nhị thức 4x – 5 có nghiệm x = 5/4.
– Ta có bảng xét dấu:
– Từ bảng xét dấu ta có:
f[x] > 0 khi x ∈ [1/3; 5/4] ∪ x ∈ [3; +∞]
f[x] = 0 khi x ∈ S = {1/3; 5/4; 3}
f[x] < 0 khi x ∈ [–∞; 1/3] ∪ [5/4; 3]
b] f[x] = [3x2 – 4x][2x2 – x – 1]
– Tam thức 3x2 – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.
⇒ 3x2 – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3.
+ Tam thức 2x2 – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0
⇒ 2x2 – x – 1 mang dấu + khi x < –1/2 hoặc x > 1 và mang dấu – khi –1/2 < x < 1.
– Ta có bảng xét dấu:
– Từ bảng xét dấu ta có:
f[x] > 0 ⇔ x ∈ [–∞; –1/2] ∪ [0; 1] ∪ [4/3; +∞]
f[x] = 0 ⇔ x ∈ S = {–1/2; 0; 1; 4/3}
f[x] < 0 ⇔ x ∈ [–1/2; 0] ∪ [1; 4/3]
c] f[x] = [4x2 – 1][–8x2 + x – 3][2x + 9]
– Tam thức 4x2 – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0
⇒ 4x2 – 1 mang dấu + nếu x < –1/2 hoặc x > 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 < x < 1/2
– Tam thức –8x2 + x – 3 có Δ = –47 < 0, hệ số a = –8 < 0 nên luôn luôn âm.
– Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = –9/2.
– Ta có bảng xét dấu:
– Từ bảng xét dấu ta có:
f[x] > 0 khi x ∈ [–∞; –9/2] ∪ [–1/2; 1/2]
f[x] = 0 khi x ∈ S = {–9/2; –1/2; 1/2}
f[x] < 0 khi x ∈ [–9/2; –1/2] ∪ [1/2; +∞]
d] f[x] = [[3x2 – x][3 – x2]]/[4x2 + x – 3]
– Tam thức 3x2 – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.
⇒ 3x2 – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3.
– Tam thức 3 – x2 có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 < 0
⇒ 3 – x2 mang dấu – khi x < –√3 hoặc x > √3 và mang dấu + khi –√3 < x < √3.
– Tam thức 4x2 + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.
⇒ 4x2 + x – 3 mang dấu + khi x < –1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi –1 < x < 3/4.
– Ta có bảng xét dấu:
– Từ bảng xét dấu ta có:
f[x] > 0 ⇔ x ∈ [–√3; –1] ∪ [0; 1/3] ∪ [3/4; √3]
f[x] = 0 ⇔ x ∈ S = {±√3; 0; 1/3}
f[x] < 0 ⇔ x ∈ [–∞; –√3] ∪ [–1; 0] ∪ [1/3; 3/4] ∪ [√3; +∞]
f[x] không xác định khi x = -1 và x = 3/4.
Dạng 2: Giải các bất phương trình bậc 2 một ẩn
* Ví dụ 1 [Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10]: Giải các bất phương trình sau
a] 4x2 – x + 1 < 0
b] -3x2 + x + 4 ≥ 0
d] x2 – x – 6 ≤ 0
° Lời giải ví dụ 1 [bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10]:
a] 4x2 – x + 1 < 0
– Xét tam thức f[x] = 4x2 – x + 1
– Ta có: Δ = -15 < 0; a = 4 > 0 nên f[x] > 0 ∀x ∈ R
⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm.
b] -3x2 + x + 4 ≥ 0
– Xét tam thức f[x] = -3x2 + x + 4
– Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.
⇒ f[x] ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3. [Trong trái dấu a, ngoài cùng dấu với a]
⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-1; 4/3]
– Điều kiện xác định: x2 – 4 ≠ 0 và 3x2 + x – 4 ≠ 0
⇔ x ≠ ±2 và x ≠ 1; x ≠ 4/3.
– Chuyển vế và quy đồng mẫu chung ta được:
– Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8
– Tam thức x2 – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0
⇒ x2 – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi -2 < x < 2.
– Tam thức 3x2 + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0.
⇒ 3x2 + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1 mang dấu – khi -4/3 < x < 1.
– Ta có bảng xét dấu như sau:
– Từ bảng xét dấu ta có:
[*] < 0 ⇔ x ∈ [–∞; –8] ∪ [-2; -4/3] ∪ [1; 2]
d] x2 – x – 6 ≤ 0
– Xét tam thức f[x] = x2 – x – 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0
⇒ f[x] ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.
⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-2; 3].
° Dạng 3: Xác định tham số m thỏa điều kiện phương trình
* Ví dụ 1 [Bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10]: Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm
a] [m – 2]x2 + 2[2m – 3]x + 5m – 6 = 0
b] [3 – m]x2 – 2[m + 3]x + m + 2 = 0
° Lời giải ví dụ 1 [bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10]:
a] [m – 2]x2 + 2[2m – 3]x + 5m – 6 = 0 [*]
• Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình [*] trở thành:
2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình [*] có một nghiệm
⇒ m = 2 không phải là giá trị cần tìm.
• Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:
Δ’ = b’2 – ac = [2m – 3]2 – [m – 2][5m – 6]
= 4m2 – 12m + 9 – 5m2 + 6m + 10m – 12
= -m2 + 4m – 3 = [-m + 3][m – 1]
– Ta thấy [*] vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ [-m + 3][m – 1] < 0 ⇔ m ∈ [-∞; 1] ∪ [3; +∞]
– Vậy với m ∈ [-∞; 1] ∪ [3; +∞] thì phương trình vô nghiệm.
b] [3 – m]x2 – 2[m + 3]x + m + 2 = 0 [*]
• Nếu 3 – m = 0 ⇔ m = 3 khi đó [*] trở thành -6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6
⇒ m = 3 không phải là giá trị cần tìm.
• Nếu 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:
Δ’ = b’ – ac = [m + 3]2 – [3 – m][m + 2]
= m2 + 6m + 9 – 3m – 6 + m2 + 2m
= 2m2 + 5m + 3 = [m + 1][2m + 3]
– Ta thấy [*] vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ [m + 1][2m + 3] < 0 ⇔ m ∈ [-3/2; -1]
– Vậy với m ∈ [-3/2; -1] thì phương trình vô nghiệm.
Bài 53 [trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao]: Giải các bất phương trình
a] -5x2 + 4x + 12 < 0
b] 16x2 + 40x +25 < 0
c] 3x2 – 4x+4 ≥ 0
d] x2 – x – 6 ≤ 0
Lời giải:
b] Tam thức 16x2 +40x + 25 có:
∆’ = 202 – 16.25 = 0 và hệ số a = 16 > 0
Do đó; 16x2 +40x + 25 ≥ 0; ∀ x ∈ R
Suy ra, bất phương trình 16x2 +40x + 25 < 0 vô nghiệm
Vậy S = ∅
c] Tam thức 3x2 – 4x +4 có ∆’ = [-2]2 – 4.3 = -10 < 0
Hệ số a= 3 > 0
Do đó, 3x2 – 4x +4 ≥ 0; ∀ x ∈ R
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = R.
d] Tam thức x2 – x – 6 có hai nghiệm là 3 và – 2
Hệ số a = 1 > 0 do đó, x2 – x – 6 khi và chỉ khi -2 ≤ x ≤ 3
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = [ – 2; 3].
Lời giải:
a] Tập nghiệm T=[-∞;-6/5]∪[2;+∞]
b] Bất phương trình vô nghiệm vì Δ‘ 0
c] Tập nghiệm là R vì 3x2-4x+4 có Δ‘ 0
d] Tập nghiệm T=[-2;3]
Bài 56 [trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao]: Giải các bất phương trình :
Lời giải:
Bài 55 [trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao]: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm.
a] [m-5] x2-4mx+m-2=0
b] [m+1] x2+2[m-1]x+2m-3=0
Lời giải:
a]
+] khi m – 5 = 0 ⇒ m=5 phương trình trở thành:
-20x + 3 = 0⇒x = 3/20
+] khi m – 5 ≠ 0⇒m ≠ 5, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
Δ’ =[-2m]2– [m – 2][ m – 5]≥0
⇒4m2-[m2-5m-2m+10]≥0⇒4m2-m2+7m-10≥0
Do đó, m = – 1 thỏa mãn đầu bài.
+ Trường hợp 2: Nếu m ≠ -1 , để phương trình đã cho có m nghiệm khi và chỉ khi:
Bài 54 [trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao]: Giải các bất phương trình sau:
Lập bảng xét dấu:
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
S = [-∞; 1] ∪ [7; + ∞]
b] Ta có:
* Lại có: -x2+ 4x -3 = 0 ⇔ x = 1; x= 3
Và x2 – 3x – 10 = 0 ⇔ x= 5; x=-2
+ Ta có bảng xét dấu:
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
S = [-∞; -2] ∪ [1;3] ∪ [5; +∞]
c] Ta có: 2x +1 = 0 ⇔ x=-1/2
x2 + x – 30 = 0 ⇔ x = 5 và x = -6
Ta có bảng xét dấu:
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
1. Bài tập về Bất Phương Trình:
Bài 1/ BPT bậc nhất
1.1. Giải các bất phương trình sau: