Bài tập 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln x}{x}$ trên $\left[ 1;e \right]$ là A. $e.$ B. 1. C. $\frac{1}{e}.$ D. 0. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y'=\frac{\ln x-1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=e$
Lại có: $y\left[ 1 \right]=0;y\left[ e \right]=\frac{1}{e}\Rightarrow $ Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln x}{x}$ trên $\left[ 1;e \right]$ là 0. Chọn D.
Bài tập 2: Giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y=x{{e}^{-2{{x}^{2}}}}$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ bằng: A. $M=2{{e}^{-3}}.$ B. $M={{e}^{-2}}.$ C. $M=\frac{1}{2}{{e}^{-3}}.$ D. $M=\frac{1}{2\sqrt{e}}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y'={{e}^{-2{{x}^{2}}}}-4{{x}^{2}}.{{e}^{-2{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow {{e}^{-2{{x}^{2}}}}\left[ 1-4{{x}^{2}} \right]$
Với $x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.$ Ta có: $y\left[ 0 \right]=0;y\left[ \frac{1}{2} \right]=\frac{1}{2\sqrt{e}};y\left[ 1 \right]=\frac{1}{{{e}^{2}}}$
Do đó $M=\frac{1}{2\sqrt{e}}.$ Chọn D.
Bài tập 3: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{2}}-2\ln x$ trên đoạn $\left[ \frac{1}{e};e \right]$ là: A. $T={{e}^{2}}-1.$ B. $T={{e}^{2}}-\frac{1}{{{e}^{2}}}.$ C. $T=2+\frac{1}{{{e}^{2}}}.$ D. $T=3+\frac{1}{{{e}^{2}}}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y'=2x-\frac{2}{x}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\xrightarrow{x\in \left[ \frac{1}{e};e \right]}x=1$
Lại có: $y\left[ \frac{1}{e} \right]=\frac{1}{{{e}^{2}}}+2;y\left[ 1 \right]=1;y\left[ e \right]={{e}^{2}}-2$
Do đó $\underset{\left[ \frac{1}{e};e \right]}{\mathop{Max}}\,y={{e}^{2}}-2;\underset{\left[ \frac{1}{e};e \right]}{\mathop{Min}}\,y=1\Rightarrow T={{e}^{2}}-1.$ Chọn A.
Bài tập 4: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=x{{e}^{x}}-2{{e}^{x}}$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ là: A. $T={{e}^{2}}-1.$ B. $T={{e}^{3}}-{{e}^{2}}.$ C. $T={{e}^{3}}-e.$ D. $T={{e}^{3}}-2.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y'=x{{e}^{x}}+{{e}^{x}}-2{{e}^{x}}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=1.$
Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$
Lại có: $y\left[ 0 \right]=-2;y\left[ 1 \right]=-e;y\left[ 3 \right]={{e}^{3}}.$ Do đó $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-e;\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }}\,y={{e}^{3}}$
Vậy $T={{e}^{3}}-e.$ Chọn C.
Bài tập 5: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y={{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$ là: A. $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{3}{4};\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=2$ B. $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{3}{4};\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=0.$ C. $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-1;\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=1.$ D. $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-1;\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=0.$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y={{2}^{2x}}-{{2.2}^{x}}.$ Đặt $t={{2}^{x}}\Rightarrow t\in \left[ {{2}^{-1}};{{2}^{1}} \right]=\left[ \frac{1}{2};2 \right]$
Xét hàm số $f\left[ t \right]={{t}^{2}}-2t$ trên đoạn $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ ta có: $f'\left[ t \right]=2t-2=0\Leftrightarrow t=1$
Hàm số $f\left[ t \right]$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ \frac{1}{2};2 \right].$
Lại có $f\left[ \frac{1}{2} \right]=\frac{-3}{4};f\left[ 1 \right]=-1;f\left[ 2 \right]=0.$ Do đó $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-1;\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=0.$ Chọn D.
Bài tập 6: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x\ln x$ trên đoạn $\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}};e \right]$ là: A. $T=e.$ B. $T=e-\frac{2}{{{e}^{2}}}.$ C. $T=\frac{-1}{e}-\frac{2}{{{e}^{2}}}.$ D. $T=e-\frac{1}{e}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y'=\ln x+1=0\Leftrightarrow x={{e}^{-1}}=\frac{1}{e}.$ Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn $\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}};e \right].$
Mặt khác $y\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}} \right]=\frac{-2}{{{e}^{2}}};y\left[ \frac{1}{e} \right]=\frac{-1}{e};y\left[ e \right]=e.$ Do đó $\underset{\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}};e \right]}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{1}{e};\underset{\left[ \frac{1}{{{e}^{2}}};e \right]}{\mathop{\max }}\,y=e$
Do đó $T=e-\frac{1}{e}.$ Chọn D.
Bài tập 7: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{\ln x}{x}$ trên đoạn $\left[ \frac{1}{e};{{e}^{2}} \right]$ là: A. $T=\frac{1}{e}.$ B. $T=\frac{1}{e}-e.$ C. $T=\frac{-1}{e}+\frac{2}{{{e}^{2}}}.$ D. $T=e-\frac{1}{e}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $y'=\frac{1-\ln x}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=e.$ Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn $\left[ \frac{1}{e};{{e}^{2}} \right].$
Lại có $y\left[ \frac{1}{e} \right]=-e;y\left[ e \right]=\frac{1}{e};y\left[ {{e}^{2}} \right]=\frac{2}{{{e}^{2}}}.$ Do đó $\underset{\left[ \frac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\min }}\,y=-e;\underset{\left[ \frac{1}{e};{{e}^{2}} \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{1}{e}$
Do đó $T=\frac{1}{e}-e.$ Chọn B.
Bài tập 8: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left[ x \right]={{e}^{-{{x}^{2}}+2x}}-{{x}^{3}}+3x$ trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ là: A. $2e-2$ và $-1.$ B. $e+2$ và $-1.$ C. $e+2$ và $1.$ D. $2e-2$ và $1.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $f'\left[ x \right]={{e}^{-{{x}^{2}}+2x}}.\left[ -2x+2 \right]-3{{x}^{2}}+3=\left[ 1-x \right]\left[ 2{{e}^{-{{x}^{2}}+2x}}+x+1 \right]$
Xét $x\in \left[ 0;2 \right]$ thì $f'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow x=1$
Mặt khác $f\left[ 0 \right]=1;f\left[ 1 \right]=e+2;f\left[ 2 \right]=-1$ suy ra $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left[ x \right]=e+2$ và $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left[ x \right]=-1.$ Chọn B.
Bài tập 9: Một chất điểm chuyển động có phương trình vận tốc là $v\left[ t \right]=e+{{e}^{{{t}^{2}}-2t}}$ $\left[ m/s \right]$ [$t:$ giây là thời gian chuyển động]. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, vận tốc nhỏ nhất của chất điểm là bao nhiêu? A. $v=e+1\left[ m/s \right].$ B. $v=e+\frac{1}{{{e}^{2}}}\left[ m/s \right].$ C. $v=e+\frac{1}{e}\left[ m/s \right].$ D. $v=e+\frac{1}{{{e}^{4}}}\left[ m/s \right].$ |
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số $v\left[ t \right]=e+{{e}^{{{t}^{2}}-2t}}\left[ m/s \right]$ với $t\in \left[ 0;10 \right]$
Ta có: $v'\left[ t \right]=\left[ 2t-2 \right]{{e}^{{{t}^{2}}-2t}}=0\Leftrightarrow t=1$
Khi đó $v\left[ 0 \right]=e+1;v\left[ 1 \right]=e+\frac{1}{e};v\left[ 10 \right]=e+{{e}^{80}}\Rightarrow {{v}_{\min }}=e+\frac{1}{e}.$ Chọn C.
Bài tập 10: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f\left[ x \right]={{e}^{2x}}-3{{e}^{x}}-1$ trên đoạn $\left[ 0;\ln 3 \right]$ là: A. $\frac{-17}{4}.$ B. $\frac{-11}{4}.$ C. $-5.$ D. $-3.$ . |
Lời giải chi tiết:
Đặt $t={{e}^{x}},$ với $x\in \left[ 0;\ln 3 \right]\Rightarrow t\in \left[ 1;3 \right]$
Xét hàm số $f\left[ t \right]={{t}^{2}}-3t-1$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ ta có: $f'\left[ t \right]=2t-3=0\Leftrightarrow t=\frac{3}{2}$
Mặt khác $f\left[ 1 \right]=-3;f\left[ \frac{3}{2} \right]=\frac{-13}{4};f\left[ 3 \right]=-1\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left[ t \right]=-1 \\ & \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left[ t \right]=\frac{-13}{4} \\ \end{align} \right.\Rightarrow T=\frac{-17}{4}.$ Chọn A.
Bài tập 11: Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left[ x \right]={{3}^{2{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{{{\cos }^{2}}x}}.$ Tính giá trị biểu thức $P=M+{{\left[ \frac{2m}{9} \right]}^{3}}.$ A. $P=\frac{10}{3}.$ B. $P=1.$ C. $P=\frac{35}{3}.$ D. $P=\frac{32}{3}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có $f\left[ x \right]={{3}^{2{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{{{\cos }^{2}}x}}={{3}^{2{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{1-{{\sin }^{2}}x}}=3={{\left[ 3{{\sin }^{2}}x \right]}^{2}}+\frac{3}{{{3}^{{{\sin }^{2}}x}}}$
Đặt $t={{3}^{{{\sin }^{2}}x}}$ do $0\le {{\sin }^{2}}x\le 1\Rightarrow 1\le {{3}^{{{\sin }^{2}}x}}\le 3\Rightarrow t\in \left[ 1;3 \right]$ khi đó ${{\left[ {{3}^{{{\sin }^{2}}x}} \right]}^{2}}+\frac{3}{{{3}^{{{\sin }^{2}}x}}}={{t}^{2}}+\frac{3}{t}$
Xét hàm số $g\left[ t \right]={{t}^{2}}+\frac{3}{t}$ với $t\in \left[ 1;3 \right].$ Ta có $g'\left[ t \right]=2t-\frac{3}{{{t}^{2}}};g'\left[ t \right]=0\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$
Ta có $f\left[ 1 \right]=4;f\left[ 3 \right]=10;f\left[ \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \right]=\sqrt[3]{\frac{243}{4}}\Rightarrow M=10;m=\sqrt[3]{\frac{243}{4}}\Rightarrow P=\frac{32}{3}.$ Chọn D.