Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất [GTLN, Max] và giá trị nhỏ nhất [GTNN, Min] của biểu thức [biểu thức đại số chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối,...] qua một số bài tập minh họa cụ thể.
°Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số:
* Phương pháp: [đối với biểu thức 1 biến số]
- Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A2[x] + const ;[A biểu thức theo x, const = hằng số].
* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x2 + 2x - 3. Tìm GTNN của A.
° Lời giải:
- Ta có: A =x2+ 2x - 3 =x2+ 2x + 1 - 1 - 3 = [x + 1]2 - 4
- Vì [x +1]2 0 [x +1]2- 4 -4
A - 4 dấu bằng xảy ra, tức A = - 4 x + 1 = 0 x = -1
- Kết luận: Amin = -4 khi và chỉ khix = -1.
* Ví dụ 2:Cho biểu thức: A = -x2+ 6x - 5. Tìm GTLN của A.
° Lời giải:
- Ta có: A = -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -[x - 3]2 + 4 = 4 - [x - 3]2
- Vì [x - 3]2 0 -[x - 3]2 0 4 -[x - 3]2 4
A 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 x - 3 = 0 x = 3
- Kết luận: Amax= 4 khi và chỉ khix = 3.
* Ví dụ 3:Cho biểu thức:
- Tìm x để Amax; tính Amax =?
° Lời giải:
- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức [x2 + 2x + 5] đạt giá trị nhỏ nhất.
- Ta có:x2+ 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = [x + 1]2 + 4
- Vì[x + 1]2 0 nên [x + 1]2+ 4 4
dấu "=" xảy rakhi và chỉ khi x + 1 = 0 x = -1
Vậy
°Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:
* Phương pháp:[đối với biểu thức 1 biến số]
- Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:
hoặc
- Dấu "=" xảy ra khi A = 0.
* Ví dụ 1: TìmGTNN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta thấy:
Vì [x - 1]2 0 2[x - 1]2 0 2[x - 1]2 + 3 3
nêndấu "=" xảy ra khix - 1 = 0 x = 1
* Ví dụ 2:TìmGTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta có:
Vì[x - 1]2 0 -3[x - 1]2 0 -3[x - 1]2+ 5 5
nêndấu "=" xảy ra khix - 1 = 0 x = 1
* Ví dụ 3:TìmGTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta có:
nên giá trị nhỏ nhất của B làđạt được khi:
* Ví dụ 4:TìmGTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Điều kiện: x0
- Để A đạt giá trị lớn nhất thìđạt giá trị nhỏ nhất
- Ta có:
Lại có:
Dấu"=" xảy ra khi
- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.
°Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
* Phương pháp:[đối với biểu thức 1 biến số]
- Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối.
* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta có: |2x - 2| 0-|2x - 2| 0 5-|2x - 2| 5
Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 2x - 2 = 0 x = 1
Vậy Amax= 5 x = 1
* Ví dụ 2:Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3
° Lời giải:
- Ta có:|9 - x| 0 |9 - x| 0 |9 - x| - 3 -3
Dấu "=" xảy ra khi |9 - x| = 0 9 - x = 0 x = 9
Vậy Amin= -3 x = 9
Như vậy, các bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm [bình phương, trị tuyệt đối,...] và hằng số để tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy [Cosi] cho hai số a, b không âm:[Dấu "=" xảy ra khi a =b]hay áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: [dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b 0];,[dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b 0].
* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
° Lời giải:
- Vì a,b>0 nên
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy [còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM [Arithmetic Means - Geometric Means]].
Dấu "=" xảy ra khi
- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 a = b.
* Ví dụ 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
° Lời giải:
- Vì a > 1 nên a - 1 > 0 ta có:
[Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được]
Dấu "=" xảy ra khi
Đối chiếu điều kiện a > 1 nên chỉ nhận a = 2; loại a = 0.
- Kết luận: GTNN của M = 3 a = 2.
Video liên quan
Home - Video - Toán lớp 7 – Tìm GTLN – GTNN của biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối – Thầy Trần Ngọc Hà
Prev Article Next Article
Vinastudy – Hệ thống chuyên bồi dưỡng Toán từ lớp 4 đến lớp 12 – Học online qua video hàng ngày trên website Vinastudy.vn …
source
Xem ngay video Toán lớp 7 – Tìm GTLN – GTNN của biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối – Thầy Trần Ngọc Hà
Vinastudy – Hệ thống chuyên bồi dưỡng Toán từ lớp 4 đến lớp 12 – Học online qua video hàng ngày trên website Vinastudy.vn …
“Toán lớp 7 – Tìm GTLN – GTNN của biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối – Thầy Trần Ngọc Hà “, được lấy từ nguồn: //www.youtube.com/watch?v=oDvGyICTxPM
Tags của Toán lớp 7 – Tìm GTLN – GTNN của biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối – Thầy Trần Ngọc Hà: #Toán #lớp #Tìm #GTLN #GTNN #của #biểu #thức #có #chứa #giá #trị #tuyệt #đối #Thầy #Trần #Ngọc #Hà
Bài viết Toán lớp 7 – Tìm GTLN – GTNN của biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối – Thầy Trần Ngọc Hà có nội dung như sau: Vinastudy – Hệ thống chuyên bồi dưỡng Toán từ lớp 4 đến lớp 12 – Học online qua video hàng ngày trên website Vinastudy.vn …
Từ khóa của Toán lớp 7 – Tìm GTLN – GTNN của biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối – Thầy Trần Ngọc Hà: toán lớp 7
Thông tin khác của Toán lớp 7 – Tìm GTLN – GTNN của biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối – Thầy Trần Ngọc Hà:
Video này hiện tại có lượt view, ngày tạo video là 2021-06-24 09:17:07 , bạn muốn tải video này có thể truy cập đường link sau: //www.youtubepp.com/watch?v=oDvGyICTxPM , thẻ tag: #Toán #lớp #Tìm #GTLN #GTNN #của #biểu #thức #có #chứa #giá #trị #tuyệt #đối #Thầy #Trần #Ngọc #Hà
Cảm ơn bạn đã xem video: Toán lớp 7 – Tìm GTLN – GTNN của biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối – Thầy Trần Ngọc Hà.
Prev Article Next Article
Tóm tắt nội dung:
- Cung cấp, giới thiệu kiến thức về:Tìm GTLN - GTNN của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Giới thiệu các kĩ năng; phương pháp làm bài tập liên quan.
Lưu ý khi học bài giảng:
- Theo dõi kĩ video bài giảng; làm lại các ví dụ giáo viên đã cung cấp trong video.
- Làm các bài tập về nhà để nắm chắc kiến thức đã được học.
Chúc các em học tốt.
Bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức thường làm nhiều em cảm thấy khó khăn, và khó hơn nữa khi các biểu thức này lại chứa thêm dấu giá trị tuyệt đối.
Vậy cách giải dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối như thế nào? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua bài viết này.
I. Cách tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối
Bạn đang xem: Cách tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối – Toán 7 chuyên đề
– Tìm GTNN, GTLN của biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối thường có 2 dạng sau:
• Dạng 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0.
– Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a [với a là số đã biết] để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a
– Hoặc, ta biến đổi biểu thức A về dạng A ≤ b [với b là số đã biết] từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.
• Dạng 2: Các biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
Phương pháp: Sử dụng tính chất, với mọi x, y ∈ Q, ta có:
|x + y| ≤ |x| + |y|
|x – y| ≥ |x| – |y|
II. Vận dụng tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
* Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 2022| + 1
* Lời giải:
– Ta có: A = |2x + 2022| + 5
Vì |2x + 2022| ≥ 0, với mọi x
Suy ra |2x + 2022| + 5 ≥ 0 + 5, ∀ x
Do đó A ≥ 5, ∀ x
Vậy GTNN của A là , khi |2x + 2022| = 0,
nghĩa là: 2x + 2022 = 0 ⇒ x = -1011.
* Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 2022 – |5x + 15|
* Lời giải:
– Ta có: B = 2022 – |5x + 15|
Vì |5x + 15| ≥ 0, ∀x
⇒ -|5x + 15| ≤ 0, ∀x
⇒ -|5x + 15| + 2022 ≤ 2022, ∀x
⇒ 2022 – |5x + 15| ≤ 2022, ∀x
Suy ra B ≤ 2022, ∀x
Vậy GTLN của B là 2022, khi |5x + 15| = 0,
Tức là 5x + 15 = 0 ⇒ x = -3.
* Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = |x – 10| + |x – 2022|
* Lời giải:
– Ta có: C = |x – 10| + |x – 2022|
= |x – 10| + |-[x – 2022]| [vì |a| = |-a|]
= |x – 10| + |2022 – x|
Vì |x – 1| + |2022 – x| ≥ |x – 1 + 2022 – x| [theo tính chất ở phần lý thuyết]
Mà |x – 1 + 2022 – x| = |2022 – 1| = |2021| = 2021
Suy ra C ≥ 2021
Vậy GTNN của C là 2021.
* Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = |x + 2022| – |x – 2018|
* Lời giải:
– Ta có: D = |x + 2022| – |x – 2018| ≤ |x + 2022 – [x – 2018]| [áp dụng tính chất ở phần lý thuyết]
Vì |x + 2022 – [x – 2018]| = |x + 2022 – x + 2018| = |4040| = 4040
Suy ra D ≤ 4040
Vậy GTLN của D là 4040.
* Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 2|3x – 5| – 1
* Lời giải:
– Ta có: M = 2|3x – 5| – 1
|3x – 5| ≥ 0, ∀x
⇒ 2|3x – 5| ≥ 0, ∀x
Do đó 2|3x – 5| – 1 ≥ -1, ∀x
Vậy GTNN của M = -1 tại 3x – 5 = 0 ⇔ x = 5/3.
* Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của N = 7 + |3 – x|
* Hướng dẫn:
N đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7 tại x = 3.
* Bài tập 7: Tìm giá trị lớn nhất của K = 15 – 4|x – 3|
* Lời giải:
– Với mọi x ta có: |x – 3| ≥ 0
⇒ -4|x – 3| ≤ 0, ∀x
⇒ -4|x – 3| + 15 ≤ 15, ∀x
Vậy giá trị lớn nhất của K = 15 tại -4|x – 3| = 0 ⇔ x = 3.
* Bài tập 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức I = 9 – |3x – 2|
* Hướng dẫn:
I đạt giá trị lớn nhất bằng 9 tại x = 2/3.
* Bài tập 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |x + 5| + |x – 3| + 4
* Lời giải:
– Ta có: |x – 3| = |-[x – 3]| = |3 – x| [vì |a| = |-a|]
Khi đó P = |x + 5| + |3 – x| + 4
Mà |x + 5| + |3 – x| ≥ |x + 5 + 3 – x| = |8| = 8
Nên P = |x + 5| + |x – 3| + 4 = |x + 5| + |3 – x| + 4 ≥ 8 + 4 = 12
* Bài tập 10: Tìm giá trị của x và y để biểu thức
* Lời giải:
Ta có: |3x + 5| ≥ 0, ∀x; |4y + 3| ≥ 0, ∀y
⇒ |3x + 5| + |4y + 3| ≥ 0, ∀x, y
⇒|3x + 5| + |4y + 3| + 9 ≥ 0 + 9 = 9, ∀x, y
Suy ra: Q ≤ 20/3, ∀x, y
Dấu “=” xảy ra khi:
Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng 20/3 khi x = -5/3 và y = -3/4.
* Bài tập 11. Tìm GTNN của các biểu thức:
a] A = 2|5x – 3| – 1
b] B = 5|3 – 4x| – 2
c] C = 2x2 + 5|y – 3| – 7
* Bài tập 12: Tìm GTLN của các biểu thức:
a] A = 9 – |2x – 5|
b]
Hy vọng với bài viết Cách tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để THPT Sóc Trăngghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.
Đăng bởi: THPT Sóc Trăng
Chuyên mục: Giáo Dục
Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng [thptsoctrang.edu.vn]