Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Trong không gian \[Oxyz\] cho hai đường thẳng d1và d2có phương trình
\[{d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = t\\
z = - t
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = 2t'\\
y = - 1 + t'\\
z = t'
\end{array} \right.\]
LG a
Chứng minh rằng hai đường thẳng d1và d2chéo nhau.
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng \[{d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + t{a_1}\\y = {y_0} + t{a_2}\\z = {z_0} + t{a_3}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0}' + t'{a_1}'\\y = {y_0}' + t'{a_2}'\\z = {z_0}' + t'{a_3}'\end{array} \right.\]
chéo nhau khi và chỉ khi \[\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} \] không cùng phương [Với \[\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} \] lần lượt là VTCP của \[d_1;d_2\]] và hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + t{a_1} = {x_0}' + t'{a_1}'\\{y_0} + t{a_2} = {y_0}' + t'{a_2}'\\{z_0} + t{a_3} = {z_0}' + t'{a_3}'\end{array} \right.\] vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
[d1] đi qua điểm \[M[1; 0; 0]\] và có VTCP \[\overrightarrow {a_1} = [-1; 1; -1]\]
[d2] đi qua điểm \[M'[0; -1; 0]\] và có VTCP \[\overrightarrow {a_2} = [2; 1; 1]\]
Dễ thấy \[\overrightarrow {a_1} \]và \[\overrightarrow {a_2} \]không cùng phương nên d1và d2có thể chéo nhau hoặc cắt nhau. Xét giao của d1và d2: \[\left\{ \begin{array}{l}1 - t = 2t'\\t = - 1 + t'\\- t = t'\end{array} \right.\].
Hệ phương trình trên vô nghiệm, do đó d1và d2không cắt nhau.
Vậy d1và d2chéo nhau.
LG b
Viết phương trình mặt phẳng \[[α]\] chứa d1và song song với d2.
Phương pháp giải:
Mặt phẳng \[[α]\] chứa [d1] và song song với d2thì \[[α]\] qua điểm bất kì thuộc \[d_1\] và có vectơ pháp tuyến\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} } \right]\], với\[{\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} }\] lần lượt là VTCP của \[d_1;d_2\]
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \[[α]\] chứa [d1] và song song với d2thì \[[α]\] qua điểm \[M_1[1; 0; 0]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= [2; -1; -3]\]
Phương trình mặt phẳng \[[α]\] có dạng:
\[2[x - 1] - [y - 0] - 3[z - 0] = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 3z - 2 = 0\]