Viết phương trình đường thẳng đi qua a, vuông góc với d1 và cắt d2
A. Phương pháp giải Cách 1: - Viết PT mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d1 - Tìm giao điểm B = (P) (d2) - Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B Cách 2: - Viết PT mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d1 - Viết PT mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa đường thẳng d2 - Đường thẳng d cần tìm là d = (P) (Q) B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( 1; - 1; 3) và hai đường thẳng A. B. C. D. Hướng dẫn giải + Gọi ( P) là mặt phẳng qua A vuông góc với đương thẳng d1. Đường thẳng d1có vecto chỉ phương là ( 1; 4; -2) nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: => Phương trình mặt phẳng (P) là: 1( x-1) + 4( y+1) 2( z- 3) =0 .Hay x+ 4y 2z + 9= 0 +Gọi giao điểm của đường thẳng d2và mặt phẳng ( P) là điểm B Do B thuộc d2nên tọa độ B( 2+ t; - 1- t; 1+ t) . Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (P) ta được : 2+ t + 4( - 1- t) 2( 1+ t) + 9= 0 2+ t- 4 4t- 2- 2t + 9= 0 - 5t+ 5= 0 t= 1 => B( 3; -2; 2) + Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AB: Đi qua A(1; -1;3) nhận vecto => Phương trình chính tắc của đường thẳng AB: Chọn C. Ví dụ 2:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng A. B. C. D. Hướng dẫn giải + Gọi giao điểm của của d và d2là B. Do B thuộc d2nên tọa độ B( t; 1+ 2t; t) => + Đường thẳng d1có vectơ chỉ phương + Do đường thẳng d vuông góc với d1nên=>= 0 2( t-1) + 2( 2t- 1) + 1(t+ 2) = 0 2t 2 + 4t 2+ t+ 2= 0 7t- 2= 0 nên t= 2/7 + Đường thẳng d đi qua điểm A ( 1; 2; - 2) và có vectơ chỉ phương Vậy phương trình của d là: Chọn A. Ví dụ 3:Cho hai đường thẳng: A. B. C. D. Tất cả sai Hướng dẫn giải - Gọi mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1có vectơ pháp tuyến là Phương trình mặt phẳng (P) là: 2.(x 1) 1 . (y 2) + 1. (z 3) = 0 hay 2x y + z 3 = 0 -Gọi giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng d2là B B thuộc d2nên tọa độ B( 1- t; 1+ 2t; - 1+ t) Thay tọa độ ( B) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 2( 1- t) ( 1+ 2t) + ( - 1+ t) 3= 0 2- 2t- 1- 2t- 1+ t- 3= 0 -3t 3= 0 nên t= -1 Suy ra: B (2; -1; -2) - Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B Vectơ chỉ phương của d là: Vậy phương trình đường thẳng d là: Chọn C. Ví dụ 4:Cho hai đường thẳng: A. B. C. D. Hướng dẫn giải - Goi mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1có vectơ pháp tuyến là - Một điểm thuộc d2là : M (0; 0; 2) ; Mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa đường thẳng d2có vectơ pháp tuyến là: => - Đường thẳng cần tìm d = (P)(Q) Vectơ chỉ phương của d là => Vậy phương trình đường thẳng d là: Chọn B. Ví dụ 5:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm N(1; 1; -2) vuông góc với đường thẳng A. B. C. D. Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi Ta có, Khi đó: Do Suy ra một vecto chỉ phương của đường thẳng là: Phương trình của d đương thẳng d: Chọn C . Ví dụ 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(1; 2; 3) và B( 3; 0; 1). Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng d đi qua M vuông góc với trục tung và cắt đường thẳng A. B. C. D. Đáp án khác Hướng dẫn giải + Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M(2; 1; 2) + Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là: H( 2; 1+ t; 2t)=> Ta có vecto chỉ phương của trục tung là: Do + Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng MH: đi qua M( 2; 1; 2) và vecto chỉ phương => Phương trình đường thẳng d: Chọn A. Ví dụ 7:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng A. ( 1; 2; 1) B. ( 1; -2; -2) C. (1; -1; -2) D.( 1; 1;-2) Hướng dẫn giải + Gọi mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d1có vectơ pháp tuyến là - Một điểm thuộc d2là : N (1; 1; 2); Mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng d2có vectơ pháp tuyến là: - Đường thẳng cần tìm d = (P)(Q) Vectơ chỉ phương của d là Chọn D Ví dụ 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng A. 3 B. 5 C. 7 D. - 1 Hướng dẫn giải + Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là: H( 2+ 3t; 1- t; 2t)=> Ta có vecto chỉ phương của trục hoành là:, Khi đó: Do + Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AH: đi qua A(-1; -1;2) và vecto chỉ phương => Phương trình đường thẳng d: Suy ra: a= -1; b=2 và c= 4 nên a+ b+ c= 5 Chọn B. Ví dụ 9.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng A: B. C. D. Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi giao điểm của đường thẳng d với hai đường thẳng d1; d2lần lượt là A và B. + Điểm A d1nên tọa độ A( 2a; 1- a; - 2+ a) Điểm B d2nên tọa độ B( - 1+ 2b; 1+ b; 3) => + Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến + Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P) nên hai vectoAB vànpcùng phương có một số k thỏa mãn + Đường thẳng d đi qua điểm A( 2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương Vậy phương trình của d là: Chọn A. |