- LG a
- LG b
Cho hình bình hành \[ABCD\]. Gọi \[O\] là một điểm bất kì trên đường chéo \[AC\]. Qua \[O\] kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt \[AB\] và \[DC\] lần lượt tại \[M\] và \[N\], cắt \[AD\] và \[BC\] lần lượt tại \[E\] và \[F\]. Chứng minh rằng:
LG a
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \];
Phương pháp giải:
Chuyển vế và thực hiện phép trừ các véc tơ.
Lời giải chi tiết:
\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \]; \[\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} \]
Vì \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \] nên ta có \[\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} \]
Vậy \[\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} \].
LG b
\[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {FN} \].
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
Tứ giác \[AMOE\] là hình bình hành nên ta có \[\overrightarrow {ME} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MO} \][1]
Tứ giác \[OFCN\] là hình bình hành nên ta có \[\overrightarrow {FN} = \overrightarrow {FO} + \overrightarrow {FC} \][2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {FN} \]
\[= \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {FO} + \overrightarrow {FC} \]
\[=[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {FO} ] + [\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {FC} ]\]
\[\begin{array}{l}
= \left[ {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BM} } \right] + \left[ {\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FC} } \right]\\
= \left[ {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MA} } \right] + \left[ {\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FC} } \right]
\end{array}\]
[Vì \[\overrightarrow {FO} = \overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {BF} \]]
\[ = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \]
Vậy \[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {FN} \]