Biện luận số nghiệm của phương trình theo m
|
Đăng bởi Ngày 07/10/2015 11343 lượt xem Facebook: Một dạng toán tương giao đồ thị hàm số quan trọng mà ta thường gặp là bài toán biến luận số nghiệm của phương trình theo tham số bằng phương pháp đồ thị. Bài toán mà ta thường gặp như sau:
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình $g\left( x, m \right) = 0$ (*) với m là tham số. Ở đây ta sẽ giải câu b) bằng cách dựa và đồ thị (C) đã được vẽ ở câu a). Ta làm như sau:
Bước 1. Biến đổi phương trình $g\left( x \right) = 0$ về dạng $f\left( x \right) = h\left( m \right)$ với $f\left( x \right)$ là hàm số ta đã vẽ đồ thị và h(m) không chứa x. Bước 2. Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: $y = h\left( m \right)$ (Đường thẳng d: $y = h\left( m \right)$ đi qua điểm $\left( {0,h\left( m \right)} \right)$ và song song hoặc trùng với trục Ox). Bước 3. Dựa vào đồ thị (C) để biện luận giá trị của m, số giao điểm và suy ra số nghiệm phương trình. Xem thêm: Bài toán tương giao đồ thị hàm số Ta xét một số ví dụ sau: Ví dụ 1. Cho hàm số $y = 2{x^3} – 3{x^2} + 1$ có đồ thị (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b. Biện luận theo m số nghiệm phương trình $2{x^3} – 3{x^2} – m – 1 = 0$ (*) Giải a. Dành cho bạn đọc. Đồ thị (C) b. Ta có: $2{x^3} – 3{x^2} – m – 1 = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} – 3{x^2} + 1 = m+2$ Vậy số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: $y = m+2$
Ví dụ 2. Cho hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} + 3$ có đồ thị (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Tìm k để phương trình $- {x^4} + 4{x^2} – 3 – m = 0$ (*) có 4 nghiệm phân biệt. Giải a. Dành cho bạn đọc. Đồ thị (C) b. Ta có: ${x^4} – 4{x^2} + 3 = – m$ Số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: $y = -m$. Vậy để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thì d và (C) phải cắt nhau tại 4 điểm. $ \Rightarrow – 1 < – m < 3 \Leftrightarrow – 3 < m < 1$ Vậy với – 3 < m < 1 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt. Một số bài tập nâng cao tham khảo: Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x – 4$. Tìm m để phương trình $2{\left| x \right|^3} – 9{x^2} + 12\left| x \right| = m$ có sáu nghiệm phân biệt. Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 4$. Tìm m để phương trình ${\left| {x – 1} \right|^3} – 3\left| {x – 1} \right| – m = 0$ có bốn nghiệm phân biệt. Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} + 3$. Tìm m để phương trình $\left| {\frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + \frac{3}{4}} \right| = m$ có đúng tám nghiệm phân biệt.
Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về: 1. Fanpage: Toán phổ thông 2. Email: Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn! 08:02:3814/07/2021 Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m là dạng toán yêu cầu tính tổng quát cao, các em phải biện luận theo nhiều trường hợp khác nhau của tham số để từ đó có thể kết luận nghiệm của hê. Bài viết này sẽ hướng dẫn các bước giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m, qua đó giúp các em dễ dàng giải được các dạng toán này. * Các bước giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn theo tham số m - Để giải biện luận hệ phương trình theo tham số m ta thực hiện 3 bước như sau: • Bước 1: Đựa hệ phương trình về phương trình dạng bậc nhất dạng ax + b = 0. (sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,...) • Bước 2: Xét phương trình bậc nhất: ax + b = 0, (với a, b là hằng số) (1). - TH1: Nếu a ≠ 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = -b/a. từ đó tìm được y. - TH2: Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm. - TH3: Nếu a = 0, b = 0 thì phương trình (1) có vô số nghiệm. • Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình. * Bài tập giải và biện luận hệ phương trình có lời giải * Bài tập 1: Cho hệ phương trình: Giải và biện luận hệ phương trình trên theo tham số m. > Lời giải: - Từ pt(2) ⇒ y = 2m - mx thế vào pt(1) ta có: x + m(2m - mx)= m + 1 ⇔ x - m2x + 2m2 = m + 1 ⇔ 2m2 - m - 1 = m2x - x ⇔ (m2 - 1)x = 2m2 - m - 1 (3) + TH1: Nếu m2 - 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ -1 hoặc m ≠ 1 thì phương trình (3) có nghiệm duy nhất:
+ TH2: Nếu m2 - 1 = 0 ⇒ m = -1 hoặc m = 1. Với m = -1 thì pt(3) trở thành: 0x = 2 + 1 - 1 = 2 ⇒ pt(3) vô nghiệm ⇒ hệ pt vô nghiệm. Với m = 1 thì pt(3) trở thành: 0x = 2 - 1 - 1 = 0 đúng với mọi x ⇒ pt(3) có vô số nghiệm ⇒ hệ pt có vô số nghiệm. - Kết luận: Với m ≠ -1 hoặc m ≠ 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất Với m = -1 hệ phương trình vô nghiệm Với m = 1 hệ phương trình có vô số nghiệm * Bài tập 2: Cho hệ phương trình: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m. > Lời giải: - Từ pt(1) ta suy ra: y = 2x - m - 5 thế vào pt(2) ta được: (m - 1)x - m(2x - m - 5) = 3m - 1 ⇔ (m - 1)x - 2mx + m2 + 5m = 3m - 1 ⇔ m2 + 5m - 3m + 1 = 2mx - (m - 1)x ⇔ (m + 1)x = m2 + 2m + 1 ⇔ (m + 1)x = (m + 1)2. (3) + TH1: với m + 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ -1 thì pt(3) có nghiệm duy nhất: x = m + 1 ⇒ y = 2(m + 1) - m - 5 = m - 3. + TH2: với m + 1 = 0 ⇒ m = -1 thì pt(3) trở thành: 0x = 0 nên pt(3) có vô số nghiệm ⇒ hệ pt có vô số nghiệm. - Kết luận: Với m ≠ -1 thì hệ pt có nghiệm duy nhất (x;y) = (m + 1; m - 3) Với m = -1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm. * Bài tập 3: Cho hệ phương trình: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.
Trên đây là bài viết về cách giải và biện luận hệ phương trình có chứa tham số m. KhoiA hy vọng qua bài viết các em đã nắm vững được các bước giải dạng toán này và có thể vận dụng giải các bài toán tương tự một cách dễ dàng hơn. |
