Cách tính tổng dãy số trên máy tính Casio 580
TÍNH NHANH
nhanh tuyÖt ®Ønh THEO TỔNG XÍCH MA
VD1:Tính giá trị của các biểu thức sau: a, A = 1+2+3+...+49+50.
Nhận xét: Ta thấy tổng trên là tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50, có quy luật là số sau lớn hơn số liền trước 1 đơn vị. Ta phải lập một quy trình cho máy để sau một số lần ấn dấu ta thu được kết quả của biểu thức.
1 → A
2 → B
A + B → A
B + 1 → B
Gán 1 vào ô nhớ A. (A là biến chứa).
Gán 2 vào ô nhớ B. (B là biến chạy).
Dòng lệnh 1
Dòng lệnh 2
...
Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu đến khi
B + 1 → B có giá trị là 50 thì ấnvà đọc kq :(1 275)
c¸ch 2 nhanh tuyÖt ®Ønh; A=1+2+3+...+49+50 == 1275
B = ?
Nhận xét: Ta thấy tổng trên là tổng các phân số với tử số không đổi, mẫu là các số tự nhiên tăng dần từ 1 đến 50. Ta cũng phải lập một quy trình cho máy để sau một số lần ấn dấu ta thu được kết quả của biểu thức.
1 → A
2 → B
A + → A
B + 1 → B
Gán 1 vào ô nhớ A
Gán 2 vào ô nhớ B
Dòng lệnh 1
Dòng lệnh 2
...
Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu đến khi
B + 1 → B có giá trị là 50 thì ấn và đọc kết quả.
(KQ: 4,499205338)
c¸ch 2 nhanh tuyÖt ®Ønh; B== = 4,499205338.
C = ?
Nhận xét: Ta thấy biểu thức trên là một dãy các phép toán + và - xen kẽ các phân số với tử số không đổi, mẫu là các căn bậc hai của các số tự nhiên tăng dần từ 1 đến 50. Nếu mẫu là CBH của STN lẻ thì dấu là +, còn mẫu là CBH của STN chẵn thì dấu là -. Ta cũng phải lập một quy trình cho máy để sau một số lần ấn dấu ta thu được kết quả của biểu thức.
Cách lập tương tự như VD2, song ta phải chú ý đến dấu của từng số hạng.
1 → A
2 → B
A + (-1)B+1 → A
B + 1 → B
Gán 1 vào ô nhớ A
Gán 2 vào ô nhớ B
Dòng lệnh 1
Dòng lệnh 2
...
Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu đến khi
B + 1 → B có giá trị là 50 thì ấn và đọc kết quả.
(KQ:0,534541474)
c¸ch 2 nhanh tuyÖt ®Ønh;
C== = 0,534541474
ÁP DỤNG
S1 = 1349396080 (®¹t 3 ®iÓm)
S2 = 40 (®¹t 2 ®iÓm)
Bµi 9. ( 5 ®iÓm) TÝnh c¸c tæng sau:
a) S1= 2.4 + 4.6 + ...+ 2006.2008
®¸p S1 ==1349396080
b) S2 =
®¸p S1 ==40
¸P DôNG
Bài 1: ( 5 điểm) Tính giá trị các biểu thức:
a) Lời giải
A =+ +...++
=++...+
=
= 43,83302
Vậy: A 43,83302 (3 điểm)
c¸ch 2 nhanh tuyÖt ®Ønh;
®¸p
A =43,83302
Bµi 10:(5 ®iÓm) a,Tính S = chính xác đến 4 chữ số thập phân.
Sử dụng máy tính Casio 570 MS,
Gán số 1 cho các biến X,B,C.
Viết vào màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1: A = 1û X : B = B + A : C = CB
rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 10, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ s thập phân của S là: 1871,4353
b) Tính :
Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số 1 cho các biến X,B,C.
Viết vào màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1: A = 1û : B = B + A : C = CB
rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 9, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ so thập phân của F là: ............
Bài 7: Tìm x biết:
Lập quy trình ấn liên tục trên fx – 570MS, 570ES.
381978 : 382007 = 0.999924085
Ấn tiếp phím x-1 x 3 – 8 và ấn 9 lần dấu =. Ta được:
. Tiếp tục ấn Ans x-1 – 1 =
Kết quả : x = -1,11963298 hoặc
Bài 6. (4 điểm)
Tính chính xác giá trị của biểu thức số:
P = 3 + 33 + 333 + ... + 33.....33
13 chữ số 3
§¸P P=
Bài 6(5 điểm)Tìm các số tự nhiên n thoả mãn:
Bài 6(5đ)
Ta có VT== 2đ
Do đó bđt đã cho
1đ Suy ra ĐK cần: (n+3)3> hay n>178,71, n nguyên nên n 1đ
ĐK đủ: thử lại :có 180.181.182 thoả mãn. Lại có khi n tăng thì tăng.
Vậy các số tự nhiên thoả mãn là n , 1đ
Bài 7(5 điểm)Tìm các số tự nhiên n thoả mãn:
Bài 7(5đ)Yêu cầu của bài toán tương đương với 1đ
Với n=0 thì (*) đúng
Vì nên khi n tăng thì giảm; suy ra VT(*) là hàm giảm theo n 1đ
Dùng máy tính: với A ? 0 và = liên tiếp
Ta được thì (*) đúng; thì (*) sai 1đ
nên với mọi n thì (*) sai(do nhận xét trên) 1đ
Vậy đáp số n tự nhiên& n 1đ
Bài 8(5 điểm)Cho dãy số thoả mãn
Tính
Bài 8(5đ) Tính U20 ;
Dùng máy tính: 1đ
X=X+1:D=C-9B+4A:Y=Y+D:
X=X+1:A=D-9C+4B:Y=Y+A:
X=X+1:B=A-9D+4C:Y=Y+B:
X=X+1:C=B-9A+4D:Y=Y+C
calc X ? 3 ; Y ? 0,6 và ấn = liên tiếp ta có ; 2đ
Tương tự có P10 =24859928,14
Bài 10(5 điểm)Tìm các số tự nhiên n thoả mãn:
Bài 10(5đ)Ta có 1đ
2đ
Chứng minh được cần đủ là n 2đ
Baøi 1 : Tính A =
Baøi 6 : Tìm x vaø laøm troøn ñeán 4 chöõ soá thaäp phaân .
Baøi 5 : a) Tính S =
BÀI 8/ Tính:
Câu 2 (5 điểm): Tính giá trị các biểu thức:
a) C = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 2008.2010.
b) D = (có 30 dấu căn).
Kết quả
a) C = 1.353.432.160 (2,5đ)
b) D » 1,7579 (2,5đ)
b) TÝnh B = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 339.
KÕt qu¶
B =
= 6078832729528464400 (2,5®)
(tính trên máy kết hợp trên giấy 3486784401.3486784401)
C©u 2 ( 6 ®iÓm) ( ChØ ghi kÕt qu¶ )
a) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc C = 1+ đáp=.....
b) Cho D = ( víi nN ). T×m n nhá nhÊt ®Ó D > 4.
c) Cho 12+ 22+32+42+ +n2 = 1136275 (víi nN ). T×m n ?
3
PHẦN II : TỔNG SAI PHÂN HỮU HẠN
Nguyên tắc chung để giải bài toán tổng sai phân hữu hạn : nên xét số hạng tổng quát và tìm cách phân tích chúng cho hợp lý để triệt tiêu hoặc đơn giản . Trong một số trường hợp , ta có thể dùng chức năng tính tổng của dòng máy CASIO fx 570 ES , tuy nhiên thời gian xử lý của máy khá lâu .
Dạng 1 :
Các số hạng của tổng có dạng phân số , trong đó mẫu là các tích có qui luật và tử là hằng số
Cách giải chung : Xét số hạng tổng quát và tìm cách phân tích chúng hợp lý để triệt tiêu
Tính các tổng sau
a)
b)
c)
d)
e)
Dạng 2:Tổng của các tích có qui luật .Tính các tổng sau :
a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 ++999.1000
b) 1.3 + 3.5 + 5.7 + 7.9 +.+ 99.101
c) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +..+ 997.998.999
d) 2.4.6 + 4.6.8 + 6.8.10 + .. + 96.98.100
e) 1.4 + 4.7 + 7.10 + + 301 .304
f) 2.4.6.8 + 4.6.8.10 + 6.8.10.12 +.+ 100 . 102 .104 . 106
Phương pháp:Biến đổi số hạng tổng quát uk về dạng uk = ak– ak-1
Ví dụ : Tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +..+ n(n+1)(n+2)
Uk = k(k +1)(k+2) còn ak =
S = u1 + u2 + + un = (a1 – a0) + (a2 – a1) + +(an- an-1) = an – a0
=
Dạng 3: Tổng bình phương , lập phương các số tự nhiên liên tiếp :
Tính các tổng sau
A = 12 + 22 + 32 ++ n2 Công thức : A =
B = 13 + 23 + 33 + +n3 Công thức : B =
Trên đây là các dạng bài tập kinh điển về tổng sai phân hữu hạn thường gặp . Thực tế khi đi thi có rất nhiều bài tập rất khó đòi hỏi phải tư duy có chiều sâu và độ nhạy bén thông qua quá trình rèn luyện và tiếp thu các kiến thức cơ bản về tổng hữu hạn
Bài 1: Tính các tổng sau : (bài tập luyện thi vòng quốc gia năm 2010)
A = 2 + 12 + 36 + 80 + 150 + .. + 1343100
B = 1 + 9 + 25 + . + 4004001
C = 1 + 27 + 125 + . + 1030301
D = 12 + 42 + 72 + + 87025
E = 22 + 52 + 82 + . + 355216
Hướng dẫn A : Tổng của bính phường và lập phương các số tự nhiên liên tiếp
B : Tổng bình phương của các số tự nhiên lẻ liên tiếp tính bởi công thức
C : Tổng lập phương của các số tự nhiên lẻ liên tiếp tính bởi công thức n2(2n2 – 1)
D : Số hạng tổng quát dạng un = (3 n- 2)2 , dùng công thức D =
E : Số hạng tổng quát dạng un = (3 n- 1)2 , dùng công thức E =
Bài 2 : Tính tổng
Đây là bài tập thường xuyên được rèn luyện trong các năm vừa qua thường số cuối cùng cho đến năm hiện tại , một điều may mắn là trong kỳ thi QG ngày 19/3/2010 của em Nguyễn Mạnh Cầm , bài này được cho lại và đúng tới số .
Hướng dẫn : Tính
Bài 3: Tính tổng (đề thi QG lần 10 )
13 Công thức tổng quát tính tổng các dãy số
1/ Cấp số cộng (dãy số cách đều) : Trong đó :
= số hạng đầu tiên; = số hạng thứ n; công sai ( khoảng cách) an - a (n-1) = d
là Tổng n số hạng
2/ Dãy số tự nhiên 1, 2, 3 ,4, 5........,n = 1+2+3+..+ n =
3/ Dãy số lẻ 1, 3 5, 7.. .... 2n-1 => = 1+3+5 + ... + ( 2n -1) = n2
4/ Tổng các bình phương của n số tự nhiên
= 12 + 2 2 + ..... + n 2 =
5/ Tổng các lập phương của n số tự nhiên = 13+ 23 + ..... + n3 =
6/ Tổng các lũy thưa 5 của n số tự nhiên
= 15 +25+ ....+n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n - 1 )
7/ Cấp số nhân: Trong đó :
= số hạng đầu tiên; = số hạng thứ ( n+1); Công bội an /a (n-1) = r
là tổng của dãy từ k=0 đến k=n
8/ Dãy số là các căp số tự nhiên nhân dồn 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1)
Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1) =
9/ Dãy số là các nghịch đảo của căp số tự nhiên nhân dồn
Sn = ( n > 1 ) = 1- với ( n > 1 )
10/ Dãy số là các nghịch đảo của căp số tự nhiên nhân dồn
Sn = =
11/ Dãy số có các tử là số lẻ, mẫu là bình phương cặp số tự nhiên nhân dồn
Sn = =1 -
12/ Dãy số đặc biệt 1 Sn = 1+ p1 + p 2 + p3 + ..... + pn = với ( p1)
13/ Dãy số đặc biệt 2 Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn = với ( p 1)
Câu 2 (6 điểm). Tìm :
a) Chữ số tận cùng của số 29999 b) Chữ số hàng chục của số 29999
Câu 3 (6 điểm). Cho biểu thức: P(x) =
a) Tính giá trị của P(); P() b) Tìm x biết P(x) =
Câu 4 (6 điểm):
a) Đặt S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1). Tính S(100) và S(2009).
b) Đặt P(n) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n+2).Tính P(100) và P(2009).
Câu 5 (5 điểm)Biết rằng (2 + x + 2x3)15 = a0 +a1x + a2x2 + a3x3 + . + a45x45.
Tính S1 = a1 +a2 +a3 + + a45 ; S2 = a0 +a2 +a4 + + a44
Câu 2: Có
Do đó Vậy cả a) và b) đều có đáp số là 8
Câu 3: Rút gọn được P(x)= ;
Tìm x để P(x) =
Câu 4:Có
Nên=
P(100)=26527650; P(2009)=
Ta có Và 149748.2012= 3011731776;2030.2012.= 4084360000000
Cộng tay lại ta có: P(2009)= 4087371731776
Câu 5Đặt P(x)= đa thức đã choCó S1 = P(1) = ; có ;515625.5 = 2578125
6130.5.= 30515000000 Cộng lại ta có S1 = 30517578125
; S2 =
Bài 2(5 điểm)Cho dãy các số thực thoả mãn
Tìm
Bài 8(5 điểm)
Giả sử Tính
GIAI
Bài 8(5đ)Đặt
Khi đó = f(1)=9910 1đ
= 2đ
Viết kết quả từng phép toán thành dòng và cộng lại ta có 1đ
S = 90438207500880449001 1đ
Bài 5(5 điểm)Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) (với x nhỏ nhất, có 3 chữ số) thoả mãn:
Bài 5(5đ)
Ta coi pt đã cho là pt với ẩn y rút y theo x
Khi đó . Vì x>0,y>0 nên 2đ
Dùng máy tính với công thức:
Calc X? 99 = liên tiếp (vì x tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số) 2đ
Ta được nghiệm cần tìm: 1đ
Bài 3(5 điểm)Giải hệ phương trình:
Bài 3 (5 đ) Đk:
Ta chứng minh nếu hệ có nghiệm thì x=y, thật vậy nếu có nghiệm mà x>y thì
-y>-x do đó từ 2 phương trình suy ra
(Vô lý)
Tương tự cũng vậy khi có nghiệm mà x |