Cách xác định nghiệm kép trên đồ thị

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Khảo sát hàm số và dạng đồ thị của các hàm số: bậc ba, trùng phương, nhất biến, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Khảo sát hàm số và dạng đồ thị của các hàm số: bậc ba, trùng phương, nhất biến: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ. SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số; Bước 2. Tính đạo hàm y = f'[x]; Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình f'[x] = 0; Bước 4. Tính giới hạn lim V lim V và tìm tiệm cận đứng, ngang [nếu có]; Bước 5. Lập bảng biến thiên; Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị [nếu có]; Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị [giao với trục Ox, Oy , các điểm đối xứng, …]; Bước 8. Vẽ đồ thị. CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP. HÀM SỐ BẬC BA V = ax + bx + cx + d [a + 0]. TRƯỜNG HỢP: Phương trình y = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Phương trình g = 0 có nghiệm kép. Phương trình y = 0 vô nghiệm. HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG. TRƯỜNG HỢP: Phương trình y = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Phương trình y = 0 có 1 nghiệm. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ. Bài toán 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x – 3x + 2. Tập xác định: D = R. Sự biến thiên: Chiều biến thiên: Trên các khoảng y > 0 nên hàm số đồng biến. Trên khoảng [0; 2] nên hàm số nghịch biến. Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y = 1. Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm A[1; 0] làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm I là nghiệm của phương trình. Bài toán 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y. Lời giải: Tập xác định: D = IR. Sự biến thiên: Chiều biến thiên: Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng [-2; +]. Cực trị: Hàm số không có cực trị. Các giới hạn tại vô cực. Đồ thị hàm số cắt Ox tại B[0; 1]. Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm A[1;0] làm tâm đối xứng.Hoành độ điểm là nghiệm của phương trình g” = 0 [Điểm uốn].

Bài toán 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y. Lời giải: Tập xác định: D = IR. Sự biến thiên: Chiều biến thiên: Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng [-2; +]. Cực trị: Hàm số không có cực trị. Các giới hạn tại vô cực. Vậy đồ thị hàm số qua O[0; 0]. Đồ thị hàm số cắt Oy tại B[1; 1]. Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm O[0; 0] làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm là nghiệm của phương trình g” =0 [Điểm uốn]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCTRẦN VĂN PÁOPHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM KÉPCHUN NGÀNH: TỐN SƠ CẤPMÃ SỐ: 60.46.40.01.13TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌCThái Ngun - 2013Số hóa bởi trung tâm học liệu//www.lrc.tnu.edu.vn/ Luận văn được hoàn thành tạiTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNNgười hướng dẫn khoa học: PGS.TS NÔNG QUỐC CHINHPhản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:Trường Đại học khoa học - ĐHTNNgày ... tháng ... năm 2013Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện Đại học Thái NgunSố hóa bởi trung tâm học liệu//www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục1 Nghiệm của đa thức - Nghiệm của phương trình1.1 Nghiệm của đa thức. . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Nghiệm bội và tính chất của nghiệm bội. . . . . .1.3 Công thức Viet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên. . . . . . . .1.5 Tính chặn nghiệm trên C . . . . . . . . . . . . . ...............................2 Phương pháp nghiệm kép2.1 Cơ sở của phương pháp nghiệm kép . . . . . . . . . . . . . .2.2 Nghiệm bội của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Nghiệm kép của phương trình và vấn đề đường cong tiếp xúctrục hoành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4 Bài tốn tiếp tuyến khi khơng dùng phương pháp nghiệm kép2.5 Bài tốn nghiệm kép viết phương trình tiếp tuyến . . . . . .2.6 Bài toán nghiệm kép xét sự tiếp xúc của hai đồ thị . . . . . .2.6.1 Nghiệm của đa thức bậc hai và bất đẳng thức . . . . .2.6.2 Nghiệm của đa thức bậc n và bất đẳng thức . . . . . .2.6.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................4445579. . . 9. . . 10với. . . 13. . . 15. . . 17. . . 19. . . 20. . . 20. . . 21Kết luận24Tài liệu tham khảo25Số hóa bởi trung tâm học liệu1//www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦUNghiệm của đa thức là một phần rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực củaToán hoc, chẳng hạn: Đại số, Giải tích, Hình học, Tốn rời rạc...vv. Trong chươngtrình tốn phổ thơng, phần đa thức và nghiệm của đa thức chủ yếu được đưavào bộ môn Đại số và Giải tích. Đặc biệt trong các kỳ thi đại học, học sinh giỏiquốc gia và quốc tế đều có những bài tốn liên quan đến nghiệm bội của đa thức.Chính vì vậy mà chuyên đề về nghiệm bội của đa thức rất thiết thực với nhữngai muốn tìm hiểu sâu về toán sơ cấp.Từ các kết quả đạt được trong phương pháp nghiệm bội của đa thức chúng tacó thể vận dụng giải một số bài tốn về hình học rất phức tạp, giải hệ phươngtrình và xây dựng một số kết quả về Tổ hợp, chứng minh bất đẳng thức. Khi xétđa thức ta thường quan tâm đến nghiệm, nghiệm bội của đa thức. Nội dung củaluận văn nhằm giải quyết hai vấn đề chính:Vấn đề 1: Chứng minh lại, một số kết quả cơ bản về nghiệm và nghiệm bội củaphương trình mà các kết quả ấy gắn liền với tên tuổi của những nhà toán học lỗilạc. Vận dụng các kết quả đạt được để giải quyết một số bài toán đã được đặt ra.Vấn đề 2: Đưa ra cơ sở của phương pháp nghiệm kép, vận dụng phương phápnghiệm kép giải: Bài toán tiếp xúc với trục hồnh; bài tốn tiếp xúc của hai đồthị; Bài tốn tiế tuyến; Bài tốn tiếp tuyến khi khơng dùng phương pháp nghiệmkép.Luận văn này được chia làm hai chương.Chương I: Nghiệm của đa thức.[1] Nội dung chương I trình bày một số khái niệm về vành đa thức, nghiệm củađa thức, nghiệm của phương trình.Chương II: Phương pháp nghiệm kép.[2] Nội dung chương II trình bày về cơ sở của phuwownbg pháp nghiệm kép,vận dụng phương pháp nghiệm kép giải các bài tốn: Bài tốn tiếp xúc với trụchồnh; bài toán tiếp xúc của hai đồ thị; Bài toán tiế tuyến; Bài tốn tiếp tuyếnkhi khơng dùng phương pháp nghiệm kép, bài toán nghiệm kép vận dụng giải bấtđẳng thức.Dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận vănkhơng tránh khỏi thiếu sót nhất định, em rất mong nhận được sự góp ý của cácthầy cơ giáo và các bạn.Số hóa bởi trung tâm học liệu2//www.lrc.tnu.edu.vn/ Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS NôngQuốc Chinh. Em xin được tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới thầy về sự giúp đỡnhiệt tình từ khi xây dựng đề cương, viết và hoàn thành luận văn. Tiếp theo emxin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc và góp ý để em hồnthiện luận văn của mình. Em xin được cảm ơn chân thành nhất tới Trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên, nơi em đã nhận được một học vấn sau đạihọc căn bản. Xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp đã cảm thơng, chia sẻ, ủng hộ vàgiúp đỡ trong thời gian em học cao học và viết luận văn. Lời cuối em xin chúcsức khỏe các thầy cô giáo và đồng nghiệp.Em xin chân thành cảm ơn!Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm 2013Người thực hiệnBàn Vàng PaoSố hóa bởi trung tâm học liệu3//www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1Nghiệm của đa thức - Nghiệm củaphương trình1.1Nghiệm của đa thức.Định nghĩa 1.1.1.Giả sử K là một trường số nào đó, A là trường con của K . Một phần tử α ∈ Kgọi là nghiệm của đa thức f [x] ∈ A[x] nếu và chỉ nếu f [α] = 0. Ta cũng nói α lànghiệm của phương trình đại số f [x] = 0. Nếu degf [x] = n gọi là phương trìnhđại số bậc n[n ≥ 1].Định lý 1.1.2 [Định lý Bezout].Cho vành đa thức A[x] , f [x] ∈ A[x] , α ∈ A. Dư trong phép chia f[x] cho x − α làf [α].Hệ quả 1.1.3.Phần tử α ∈ A là nghiệm của đa thức f [x] ∈ A[x], nếu và chỉ nếu f [x] chia hếtcho x − α trong A[x].f [α] = 0 ⇔ f [x] = [x − α].q[x].tức f [α]..[x − α].Định lý 1.1.4. Mọi đa thứcf [x] = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an ∈ A[x] , a0 = 0có thể viết dưới dạng f [x] = a0 [x − α1 ][x − α2 ]...[x − αn ] trong vành K[x]. Ởđây α1 , α2 , ..., αn là những nghiệm của đa thức f [x] trong trường mở rộng K củaA.1.2Nghiệm bội và tính chất của nghiệm bội.Định nghĩa 1.2.1.Giả sử k là một số tự nhiên khác 0. Một phần tử α ∈ A gọi là nghiệm bội cấp kSố hóa bởi trung tâm học liệu4//www.lrc.tnu.edu.vn/ của đa thức f [x] ∈ A[x] nếu và chỉ nếu f [x] chia hết cho [x − pα]k đồng thờikhông chia hết cho [x − α]k+1 .f [x] = [x − α]k q[x][q[α] = 0],k = 1 thì α gọi là nghiệm đơn.k = 2 thì α gọi là nghiệm kép.Định lý 1.2.2 [Định lí cơ bản của đại số cổ điển].Mọi đa thức f [x] với hệ số phức, deg f [x] ≥ 1 có đúng n nghiệm phức, kể cả sốbội của mỗi nghiệm.1.3Công thức Viet.Định lý 1.3.1. Cho f [x] = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an ∈ A[x] , a0 = 0 làmột đa thức bất kì và f [x] = a0 [x − α1 ][x − α2 ]...[x − αn ]. Ở đây, α1 , α2 , ..., αnlà những nghiệm của đa thức f [x]. Khi đó,a1α1 + α2 + ... + αn = −a0a2α1 α2 + α2 α3 + ... + αn−1 αn =a0.......................[1.1]k akαα...α+...+αα...α=[−1]12kn−k+1n−k+2na0.......................anα1 α2 ...αn = [−1]na01.1 Gọi là công thức Viet.1.4Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên.Với mọi f [x] ∈ Q[x] ln tìm được số ngun m = 0 để mf [x] = g[x],g[x] ∈ Z [x] [m-mẫu số chung các hệ số của f [x]].∀α ∈ Q , f [α] = 0 ⇔ g[α] = 0.Do đó, để xét nghiệm của đa thức trên Q, ta chỉ cần xét nghiệm của đa thức trênZ.Định lý 1.4.1. Nếu u và v là những số nguyên tố cùng nhau và nếu số hữu tỉuα = là nghiệm của đa thức với hệ số nguyênvp[x] = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an ,..thì a0 ..v và an ..u.Số hóa bởi trung tâm học liệu5//www.lrc.tnu.edu.vn/ Hệ quả 1.4.2.•Mọi nghiệm nguyên của đa thức với hệ số nguyên đều là ước của hạng tử tự do.•Mọi nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên có hệ số cao nhất bằng 1 đềulà nghiệm nguyên.Bài toánCho đa thức với hệ số nguyênf [x] = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an .Chứng minh rằng nếu α là 1 nghiệm nguyên của đa thứcn−1ϕ[x] = y n + a1 y n−1 + an−20 an−1 y + a0 an ,thìαcũng là nghiệm của đa thức đã cho.a0Định lý 1.4.3. Nếu số hữu tỉ α =u,v[[u, v] = 1] là nghiệm của đa thức vớihệ số nguyênp[x] = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0,.thì với mọi số nguyên m, số p[m]..[mv − u]. Trong trường hợp đặc biệt [u + v]là ước của p[−1] còn [u − v] là ước của p[1].Hệ quả 1.4.4. Nếu α = ±1 là nghiệm của của đa thứcf [x] = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + anthìf [1]f [−1]vàđều nguyên.1−α1+αBây giờ ta sẽ chỉ ra rằng, mọi đa thức bậc dương thuộc C[x] đều có nghiệm trongC. Đó chính là nội dung Định lý cơ bản của đại số. Người đầu tiên chứng minhĐịnh lý này là nhà toán học C. Gauss [1777-1855].Định nghĩa 1.4.5. Trường K được gọi là một trường đóng đại số nếu mọi đathức bậc dương thuộc K[x] đều có nghiệm trong K.Như vậy, trong K[x] mọi đa thức bậc dương đều phân tích được thành tích cácnhân tử tuyến tính khi K là một trường đóng đại số.Bổ đề 1.4.6. Mỗi đa thức bậc lẻ thuộc R[x] đều có ít nhất một nghiệm thực thuộcR.Bổ đề 1.4.7. Mỗi đa thức bậc hai thuộc C[x] đều có hai nghiệm thuộc C.Số hóa bởi trung tâm học liệu6//www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 1.4.8. [D’Alembert - Gauss, Định lý cơ bản của đại số] Mọi đathức bậc dương thuộc C[x] đều có ít nhất một nghiệm thuộc C.Hệ quả 1.4.9. Mọi đa thức thuộc C[x] với bậc n > 0 đều có n nghiệm trong Cvà các đa thức bất khả quy trong C[x] là các đa thức bậc nhất.Bổ đề 1.4.10. Cho f [x] ∈ R[x] \ R. f [x] là đa thức bất khả quy khi và chỉ khihoặc f [x] = ax + b với a = 0 hoặc f [x] = ax2 + bx + c với a = 0 và b2 − 4ac < 0.Định lý 1.4.11. Mỗi đa thức f [x] ∈ R[x] \ R đều có thể phân tích được một cáchduy nhất thành dạngf [x] = a[x − a1 ]n1 . . . [x − as ]ns [x2 + b1 x + c1 ]d1 . . . [x2 + br x + cr ]drvới các b2i − 4ci < 0 cho i = 1, . . . , r khi r1.Định lý 1.4.12. [Viét] Giả sử x1 , . . . , xn là n nghiệm của đa thức bậc n sauđây: f [x] = xn − δ1 xn−1 + δ2 xn−2 − · · · + [−1]n δn . Khi đó có các hệ thứcδ1 = x1 + x2 + · · · + xnδ2 = x1 x2 + x2 x3 + · · · + xn−1 xn...δn = x 1 x 2 . . . x n .Định lý 1.4.13. Giả sử f [x1 , x2 , . . . , xn ] ∈ R[x1 , x2 , . . . , xn ] là một đa thức đốixứng khác 0.Khi đó tồn tại một và chỉ một đa thức s[x1 , x2 , . . . , xn ] ∈ R[x1 , x2 , . . . , xn ] saocho f [x1 , x2 , . . . , xn ] = s[δ1 , δ2 , . . . , δn ].1.5Tính chặn nghiệm trên CBây giờ ta sẽ chỉ ra rằng, mọi đa thức bậc dương thuộc C[x] đều có nghiệm trongC. Đó chính là nội dung Định lý cơ bản của đại số. Người đầu tiên chứng minhđịnh lý này là nhà toán học C. Gauss [1777-1855].Định nghĩa 1.5.1. Trường K được gọi là một trường đóng đại số nếu mọi đathức bậc dương thuôc K[x] đều có nghiệm trong K.Như vậy, trong K[x] mọi đa thức bậc dương đều phân tích được thành tích cácnhân tử tuyến tính khi K là một trường đóng đại số.Bổ đề 1.5.2. Mỗi đa thức bậc lẻ thuộc R[x] đều có ít nhất một nghiệm thực thuộcR.Bổ đề 1.5.3. Mỗi đa thức bậc hai thuộc C[x] đều có hai nghiệm thuộc C.Số hóa bởi trung tâm học liệu7//www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 1.5.4. [D’Alembert - Gauss, Định lý cơ bản của đại số] Mọi đathức bậc dương thuộc C[x] đều có ít nhất một nghiệm thuộc C.Từ Định lý 1.5.4 suy ra kết quả sau đây về đa thức bất khả quy trong C[x]Hệ quả 1.5.5. Mọi đa thức thuộc C[x] với bậc n > 0 đều có n nghiệm trong Cvà các đa thức bất khả quy trong C[x] là các đa thức bậc nhất.Bổ đề 1.5.6. Cho f [x] ∈ R[x] \ R. f [x] là đa thức bất khả quy khi và chỉ khihoặc f [x] = ax + b với a = 0 hoặc f [x] = ax2 + bx + c với a = 0 và b2 − 4ac < 0.Định lý 1.5.7. Mỗi đa thức f [x] ∈ R[x] \ R đều có thể phân tích được một cáchduy nhất thành dạngf [x] = a[x − a1 ]n1 . . . [x − as ]ns [x2 + b1 x + c1 ]d1 . . . [x2 + br x + cr ]drvới các b2i − 4ci < 0 cho i = 1, . . . , r khi r1.Định lý 1.5.8. [Viét] Giả sử x1 , . . . , xn là n nghiệm của đa thức bậc n sau đây:f [x] = xn − δ1 xn−1 + δ2 xn−2 − · · · + [−1]n δn . Khi đó có các hệ thứcδ1 = x1 + x2 + · · · + xnδ2 = x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn...δn = x 1 x 2 . . . x n .Định lý 1.5.9. Giả sử f [x1 , x2 , . . . , xn ] ∈ R[x1 , x2 , . . . , xn ] là một đa thức đốixứng khác 0. Khi đó tồn tại một và chỉ một đa thức s[x1 , x2 , . . . , xn ] ∈ R[x1 , x2 , . . . , xn ]sao cho f [x1 , x2 , . . . , xn ] = s[δ1 , δ2 , . . . , δn ].Bổ đề 1.5.10. Cho đa thức f [x] = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ Z[x], a0 = 0. Nếupsố hữu tỷ với [p, q] = 1 là nghiệm của phương trình f [x] = 0 thìq[i] p là một ước của an và q là một ước của a0 .[ii] p − mq là một ước của f [m] cho mọi số nguyên m.Hệ quả 1.5.11. Nghiệm hữu tỷ của đa thức f [x] = xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ Z[x]phải là số ngun.Số hóa bởi trung tâm học liệu8//www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2Phương pháp nghiệm kép2.1Cơ sở của phương pháp nghiệm képTa nhắc lại khái niệm sự tiếp xúc của đồ thị hai hàm số và khái niệm nghiệmbội của đa thứcĐịnh nghĩa 2.1.1. Đồ thị hàm số y = f [x] và y = g[x] được gọi là tiếp xúcf [x0 ] = g[x0 ]nhau tại điểm có hồnh độ x = x0 nếuf [x0 ] = g [x0 ] .Định nghĩa 2.1.2. Giả sử F [x]là một đa thức. Số x0 được gọi là nghiệm bội củađa thức F [x] nếu F [x] chia hết cho [x − x0 ]2 tức là F [x] có dạngF [x] = [x − x0 ]2 .Q[x]trong đó Q[x] là một đa thức.Trong trường hợp đa thức F [x] là tam thức bậc hai, nghiệm bội được gọi lànghiệm kép.Định lý sau đây chứng tỏ rằng phương pháp nghiệm kép là có cơ sở toán học khichúng ta xét sự tiếp xúc của hai đồ thị các hàm số phân thức hữu tỉ.Định lý 2.1.3. Cho hai phân thức hữu tỉf [x] =P [x]U [x], g[x] =.Q[x]V [x]Khi đó đồ thị hai hàm số y = f [x] và y = g[x] tiếp xúc nhau tại điểm có hồnhđộ x = x0 khi và chỉ khi phương trìnhP [x].V [x] − Q[x].U [x] = 0[2.1]có nghiệm bội x = x0 với Q[x0 ] = 0, V [x0 ] = 0 [tức là x0 thuộc miền xác địnhcủa f [x] và g[x]]Vì đa thức cũng là phân thức hữu tỉ [khi đa thức ở mẫu là đa thức hằng số]nên ta có các hệ quả sau:Số hóa bởi trung tâm học liệu9//www.lrc.tnu.edu.vn/ Hệ quả 2.1.4. Đường thẳng y = kx + h là tiếp tuyến với đồ thị hàm đa thứcy = P [x] khi và chỉ khi phương trình P [x] − [kx + h] = 0 có nghiệm bội.Hệ quả 2.1.5. Đường thẳng y = kx + h là tiếp tuyến với đồ thị hàm phân thứcP [x]hữu tỉ y =khi và chỉ khi phương trình P [x] − Q[x].[kx + h] = 0 có nghiệmQ[x]bội x = x0 với Q[x0 ] = 0.Hệ quả 2.1.6. Đường thẳng y = kx + h là tiếp tuyến với đồ thị hàm sốax2 + bx + cy=khi và chỉ khi phương trình ax2 +bx+a−[mx+n].[kx+h] = 0mx + ncó nghiệm kép [tức là khi biệt thức ∆ = 0].Hệ quả 2.1.7. Đường thẳng y = kx + h là tiếp tuyến với đồ thị hàm phân thứcax + bhữu tỉ y =khi và chỉ khi phương trình ax + b − [cx + d].[kx + h] = 0 cócx + dnghiệm kép [tức là khi biệt thức ∆ = 0].Để chứng minh định lý ta cần đến bổ đề sau:Bổ đề 2.1.8. Đa thức f [x] có nghiệm bội x = x0 khi và chỉ khi F [x0 ] = f [x0 ] =02.2Nghiệm bội của phương trìnhTrong khi giải tốn ta mới chỉ chú ý đén khái niệm nghiệm kép của phươngtrình, tuy vậy nhiều bài tốn lại địi hỏi các kiến thức lien quan đến khái niệmnghiệm bội [nói riêng là nghiệm kép] của phương trình. Ta xét bài tốn sau:Ví dụ 2.2.1. Chứng minh rằng đồ thị hàm sốy=−m[x + 1] + x + 2[m = 0]m[x + 1] − 1luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định.Bài giải: Gọi d : y = a[x + 1] + b là đường thẳng cần tìm. Để d tiếp xúc vớiđồ thị hàm số thì phương trình−m[x + 1] + x + 2= a[x + 1] + b.m[x + 1] − 1[2.2]có nghiệm kép với m = 0, hay phương trình bậc haiam[x + 1]2 + [m[1 + b] − 1 − a][x + 1] − 1 − b = 0.[2.3]có nghiệm kép với m = 0.Do đó cần phải hiểu thế nào là nghiệm kép của phương trình và các phép biếnđổi nào giữ ngun nghiệm kép của phương trình.Số hóa bởi trung tâm học liệu10//www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa nghiệm bộiĐịnh nghĩa 2.2.2. Số u được gọi là nghiệm bội n [n là số tự nhiên, n ≥ 2] củaphương trình f [x] = g[x] nếu các hàm số f [x] và g[x] có đạo hàm đến cấp n − 1tại u và số u là nghiệm của hệ phương trình:f [x] = g[x]f [x] = g [x][2.4]... [n−1]f[x] = g [n−1] [x]với đạo hàm cấp n của f [x], g[x] tại u hoặc không xác định, hoặc xác định nhưngf [n] [u] = g [n] [u].[2.5]Khi n = 2 ta gọi nghiệm u là nghiệm kép.Từ định nghĩa ta thấy: Nếu u là nghiệm bội k ≥ n của phương trình f [x] = g[x]thì u sẽ thỏa mãn hệ 2.4.Tính chất nghiệm bộiTa có một số tính chất sau đây của nghiệm bội.Tính chất 1. Giả sử hai hàm số y = f [x] và y = g[x] xác định trên tập D, khiđó đồ thị của chúng tiếp xúc nhau tại điểm có hồnh độ bằng u ∈ D khi và chỉkhi số u là nghiệm bội n[n ≥ 2] của phương trìnhf [x] = g[x].[2.6]Chứng minh. Thật vậy, nếu hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm M [u, v] thì u lànghiệm của hệf [x] = g[x][2.7]f [x] = g [x]Vậy số u là nghiệm bội n với n ≥ 2 của 2.6.Ngược lại, nếu u là nghiệm bội n với n ≥ 2 của 2.6 thì u là nghiệm của hệ 2.7nhưng n − 1 ≥ 1 nên hệ 2.4 có ít nhất hai phương tình của hệ 2.7. Từ đó hai đồthị phải tiếp xúc nhau tại điểm có hồnh độ u.Khi tìm nghiệm bội của hương trình bất kì ta thường quy về tìm nghiệm bộicủa đa thức vì vậy các tính chất sau rất có ích cho việc đó.Tính chất 2. Số u là nghiệm của đa thức F [x] khi và chỉ khiF [x] = [x − u]n .P [x]với P [x] là đa thức khác 0 và khơng nhận u làm nghiệm.Vậy khi đó số u là nghiệm bội của đa thức F [x] theo nghĩa đã biết [đa thức cóSố hóa bởi trung tâm học lieäu11//www.lrc.tnu.edu.vn/ đúng n nghiệm bằng u]. Sử dụng tính chất 2 ta cóTính chất 3. Giả sử b là số thực tùy ý, thì số u là nghiệm bội n của đa thứcam xm + am−1 xm−1 + ... + a1 x + a0khi và chỉ khi số u − b là nghiệm bội n của đa thứcam [x + b]m + am−1 [x + b]m−1 + ... + a1 [x + b] + a0 .Tính chất 4. Giả sử f [x], g[x], h[x], r[x] là các đa thức với [u] = 0, r[x] = 0thì số u là nghiệm bội n của phương trìnhf [x] h[x]=g[x]r[x][2.8]khi và chỉ khi số u là nghiệm bội n của phương trìnhf [x].r[x] = g[x].h[x].Theo các tính chất trên ta có thể thược hiện các phép biến đổi tương đương màkhông làm thay đổi nghiệm bội của phương trình, minh họa trong các ví dụ sau.Ví dụ 2.2.3. Chứng minh rằng đồ thị hàm sốy=−m[x + 1] + x + 2[m = 0]m[x + 1] − 1luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định.Ta lấy lại ví dụ đặt vấn đề đã nêu ở trên. Ở đây sử dụng cách giải đơn thuầnnhất, mặc dù có nhiều cách giải khác. Chúng tơi bổ sung một vài chỗ để lời giảichính xác, và đó chính là sự minh họa cho cách giải này bởi cơ sở lý thuyết trên.Bài giải:Giả sử đường thẳng y = a[x + 1] + b tiếp xúc với đồ thị hàm số nói trên với mọin = 0, khi đó hoành độ u của tiếp tuyến là nghiệm bội n của phương trình 2.2với mọi m = 0. Tức là u là nghiệm bội n [với m[u + 1] = 0] của phương trình2.3am[x + 1]2 + [m[1 + b] − 1 − a][x + 1] − 1 − b = 0.với mọi m = 0.Do tính chất 3, phương trình 2.3 có nghiệm bội n khi và chỉ khiamx2 + [m[1 + b] − 1 − a]x − 1 − b = 0[2.9]có nghiệm bội n. Vì 2.9 là phương trình bậc hai nên nghiệm bội là nghiệm kép.Ta giải hệ điều kiệnam = 0∆=0Số hóa bởi trung tâm học liệu12//www.lrc.tnu.edu.vn/ a=0[m[[1 + b] − 1 − a]2 − 4am[−1 − b] = 0a=0a = b = −1vậy a = b = −1Thử lại với a = b = −1 và m = 0 nghiệm kép của phương trình 2.3 thỏa mãn1điều kiện u =− 1 [hay g[u] = 0 trong tính chất 4 nói trên].m2.3Nghiệm kép của phương trình và vấn đề đường congtiếp xúc với trục hoànhNghiệm bội của đa thức là gì?Định nghĩa 2.3.1. Đa thức bậc n ≥ 1 có dạngP [x] = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0nhận số thực α làm nghiệm bội k [k là số nguyên dương] nếu nhưP [x] = [x − a]k Q[x]trong đó Q[x] cũng là một đa thức với Q[α] = 0.Trong trường hợp đặc biệt, nghiệm bội hai được gọi là nghiệm kép, còn nghiệmbội k = 1 được gọi là nghiệm đơn.Nếu kí hiệu P [i] [x] là đạo hàm cấp i của P [x] khi đó ta có các kết quả dưới đâyMệnh đề 2.3.2. Điều kiện ắt có và đủ để đa thức P [x] nhận α làm nghiệm bộik là P [α] = 0, P [i] [α] = 0 với k − 1 giá trị i = 1, 2, 3, ..., k − 1 và P [k] [α] = 0.Vậy thì có một câu hỏi được đặt raKhi nào đường cong tiếp xúc với trục hoành?Mệnh đề 2.3.3. Đồ thị hàm số y = f [x] tiếp xúc với trục hồnh khi và chỉ khihệ phương trìnhf [x] = 0f [x] = 0có nghiệmDo đó ta thấy: Nếu kết hợp mệnh đề 1 và mệnh đề 2, ta nhận được kết quả vềmối quan hệ giữa tính tiếp xúc với trục hoành của một đa thức và nghiệm bội.Số hóa bởi trung tâm học liệu13//www.lrc.tnu.edu.vn/ Mệnh đề 2.3.4. Đồ thị hàm đa thứcP [x] = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0có bậc cao hơn 1 tiếp xúc với trục hồnh khi và chỉ khi P [x] có nghiệm bội k [vớik ≥ 2] hay có ít nhất hai nghiệm trùng nhau.Nhìn lại những sai lầmNếu cho rằng điều kiện để đồ thị hàm số y = f [x] tiếp xúc với trục hồnh làphương trình f [x] = 0 có nghiệm kép hoặc là nghiệm bội k [với k ≥ 2] thì sẽ rasao?Sau đây chúng ta dẫn ra một số ví dụ minh họa cho sai lầm đóVí dụ 2.3.5. Đồ thị hàm số y = f [x] = sin x − x tiếp xúc với trục hoành khinào?Đồ thị hàm số y = sin x − x tiếp xúc với trục hoành khi tại x = 0 vì y[0] =y [0] = 0, nhưng có lẽ nào ta lại có phương trình sin x − x = 0 có nghiệm képhay nghiệm bội!Một sai lầm khó phát hiện hơn, thực sự phải tinh tế thì mới phát hiện ra. Ta thấytrong một số tài liệu ôn thi đại học của các trường đã lập luận như sauHàm số bậc baf [x] = [x − x0 ][ax2 + bx + c]tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi phương trình f [x] = 0 có nghiệm kép.Điều đó tương đương với hai trường hợpTrường hợp 1: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c nhận x0 làm nghiệm, tức là⇔ ax20 + bx0 + c = 0.Trường hợp 2: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c có nghiệm kép, tức là∆ = b2 − 4ac = 0.Sự tinh tế [tế nhị] là ở chỗ cả hai bước của lập luận trên đều sai nhưng lại chokết quả đúng.Thật vậy, chúng ta cùng xem lại từng bước của lập luận này.Đồ thị của hàm bậc baf [x] = [x − x0 ][ax2 + bx + c]tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi phương trình [x − x0 ][ax2 + bx + c] = 0có ít nhất hai nghiệm trùng nhau [Mệnh đề 3], điều đó tương đương vớiax20 + bx0 + c = 0∆ = b2 − 4ac = 0Số hóa bởi trung tâm học liệu14[2.10]//www.lrc.tnu.edu.vn/ Nếu cả hai điều kiện của 2.10 cùng xảy ra thì f [x] nhận x0 là nghiệm bội ba.Ta cũng có thể dùng mệnh đề 2 để chứng minh kết quả này.Bây giờ ta xem xét bước 2.Phương trình bậc ba[x − x0 ][ax2 + bx + c] = 0có nghiệm kép thì nghiệm kép đó là x0 hoặc khác x0 .Nếu nghiệm kép đó là x0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 phải có một nghiệmx0 và một nghiệm khác x0 .Nếu phương trình [x − x0 ][ax2 + bx + c] = 0 có nghiệm kép khác x0 thì nghiệmđó chính là nghiệm kép của phương trình ax2 + bx + c = 0.Vậy phương trình[x − x0 ][ax2 + bx + c] = 0có nghiệm kép khi và chỉ khiax20 + bx0 + c = 0∆ = b2 − 4ac > 0ax20 + bx0 + c = 0∆ = b2 − 4ac = 0[2.11]Chúng ta hồn tồn có thể sử dụng mệnh đề 1 kiểm tra lại kết quả này. Điều kiệnđề đường cong y = f [x] tiếp xúc với trục hoành tương đương với phương trìnhf [x] = 0 có nghiệm kép, chỉ có thể tin cậy được trên các hàm bậc hai, còn vớicác đường cong khác cần phải xem xét lại cho chuẩn mực.2.4Bài tốn tiếp tuyến khi khơng dùng phương phápnghiệm képĐịnh lý 2.4.1. Đồ thị hàm số y = f [x] tiếp xúc với đồ thị hàm số của y = g[x]khi và chỉ khi hệ phương trình sauf [x] = g[x]f [x] = g [x]có nghiệm.Ví dụ 2.4.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]2x2 − 3x + 2y=x−1[C],biết tiếp tuyến đi qua A[4; 1].Số hóa bởi trung tâm học liệu15//www.lrc.tnu.edu.vn/ Bài giải:Đường thẳng d đi qua A[4; 1] với hệ số góc k có phương trìnhy =⇔ y = kx + 1 − 4k.Để d tiếp xúc với [C] khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm2x2 − 3x + 2= k[x − 4] + 1x−12x2 − 4x + 1=k[x − 1]21 2x − 1 += k[x − 1] + 1 − 3k[∗]x−1⇔12−=k[x − 1]211 2x − 1 += 2[x − 1] −+ 1 − 3kx−1x−1⇔1k =2−[x − 1]213k=−x−12⇔29k k =2−413k=−⇔12 9kx2 −+ 4k − 8 = 013k=−x−1√2⇔−2±76k=9Vậy ta tìm được hai tiếp tuyến [d1 ], [d2 ] có phương trình:√−2 ± 76y=[][x − 4] + 1.9Nhận xét: Cần chú ý thủ thuật viết y = k[x−4]+1 về dạng y = k[x−1]+[1−3k].1Khi thay k = 2 −vào [*], ta chỉ thay vào k[x − 1] và không thay vào[x − 1]2[1 − 3k].Số hóa bởi trung tâm học liệu16//www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.5Bài tốn nghiệm kép viết phương trình tiếp tuyếnTa biết, bài toán tiếp tuyến được giải bằng hai cách nhờ mệnh đề sau:Mệnh đề 2.5.1. Đường thẳng y = ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f [x]khi và chỉ khi thảo mãn một trong hai điều kiện sau:•f [x0 ] = ax0 + b[Cách 1]f [x0 ] = a• Phương trình f [x] = ax + b có nghiệm bội x = x0 . [Cách 2]Ta sẽ nghiên cứu cơ sở lý thuyết của cách 2 trong mệnh đề 2.5.1, tức là phươngpháp nghiệm kép đối với các hàm số đa thức hoặc phân thức hữu tỉ mà chứngminh phù hợp hơn với toán phổ thông.Xét đa thứcP [x] = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an .Ta nói x = x0 là nghiệm bội k của đa thức P [x] nếuP [x] = [x − x0 ]k .Q[x],trong đó k > 1, k ∈ N và Q[x] là đa thức thỏa mãn Q[x0 ] = 0 [Q[x] có thể làhằng số].Ta gọi x0 là nghiệm bội của P [x] khi không cần chỉ rõ số k . Nghiệm bội k = 2được gọi là nghiệm kép của đa thức.Mệnh đề 2.5.2. Đa thức P [x] có nghiệm bộ x0 khi và chỉ khi P [x0 ] = 0 vàP [x0 ] = 0.Mệnh đề 2.5.3. Đường thẳng d với phương trình y = ax + b là tiếp tuyến củađồ thị [C1 ] của hàm số y = P [x] tại điểm x = x0 khi và chỉ khi phương trìnhP [x] − [ax + b] = 0,có nghiệm bội x = x0 .Đối với đồ thị hàm phân thức hữu tỉ có dạng y =U [x], ta cóV [x]Mệnh đề 2.5.4. Đường thẳng d với phương trình y = ax + b là tiếp tuyến củaU [x]đồ thị [C2 ] của hàm số y =tại điểm x = x0 khi và chỉ khi phương trìnhV [x]U [x] − [ax + b]V [x] = 0,với V [x0 ] = 0 có nghiệm bội x = x0 .Số hóa bởi trung tâm học lieäu17//www.lrc.tnu.edu.vn/ Áp dụng mệnh đề 2.5.4 vào xét các hàm số có dạngax2 + bx + cf [x] =,ax+bvàf [x] =ax + b.ax+b[2.12][2.13]Ta đượcMệnh đề 2.5.5. Đường thẳng y = ax+b là tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f [x]tại điểm x = x0 với f [x] có dạng ?? hoặc 2.12 khi và chỉ khi phương trìnhf [x] − [ax + b] = 0là phương trình bậc hai có nghiệm kép x = x0 .x2 + 1Ví dụ 2.5.6. Cho hàm số =có đồ thị [C].xTìm tập hợp các điểm M mà từ dó kẻ được hai tiếp tuyến đến [C] mà hai tiếptuyến đó vng góc với nhau.Bài giải: Giả sử điểm M [x0 ; y0 ] là điểm bất kì trên mặt phẳng tọa độ Oxy,phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc a là[d] : y = a[x − x0 ] + y0 .Để tìm tọa độ giao điểm giữa [C] và [d] ta xét phương trình⇔x2 + 1= a[x − x0 ] + y0xx=02[a − 1]x − [ax0 − y0 ]x − 1 = 0[2.14]Đường thẳng [d] là tiếp tuyến của [C] khi và chỉ khi phương trình 2.14 có nghiệmkép khác 0⇔ a = 1 và x = 0∆=0[với a = 1 thì hệ số a là hệ số góc của tiệm cận xiên y = x]Ta có∆ = [ax0 − y0 ]2 + 4[a − 1]⇔ ∆ = x0 a2 − 2[x0 y0 − 2]a + y02 + 4.Để qua M kẻ được hai tiếp tuyến tới [C] vng góc với nhau khi và chỉ khi phươngtrình ∆ = 0 có hai nghiệm a1 , a2 thỏa mãn a1 .a2 = −1x0 = 02y +4⇔= −1 0x0Số hóa bởi trung tâm học liệu18//www.lrc.tnu.edu.vn/ ⇔x20x0 = 0.+ y02 = 4Vậy tập hợp điểm M phải tìm là đường trịn x2 + y 2 = 4, trừ đi các giao điểmcủa đường trịn đó với hai đường tiệm cận [do các điều kiện x0 = 0 và a = 1].2.6Bài toán nghiệm kép xét sự tiếp xúc của hai đồ thịNếu bỏ phương pháp nghiệm kép thì việc giải một số bài tốn trước đây cóthể khơng giải được.Trong chun đề này chúng ta xét một số bài tốn mang tính điển hình để thấyđược ứng dụng của phương pháp nghiệm kép trong bài toán tiếp xúc của hai đồthị hàm số.Ví dụ 2.6.1. Tìm m để đồ thị hàm sốy = [x + 2][x2 − mx + m2 − 3]tiếp xúc với trục hoành.Bài giải: Đồ thị hàm số y = f [x] tiếp xúc với truch hoành y = 0 khi và chỉkhi hệ phương trình ẩn x sau có nghiệm[I]f [x] = 0f [x] = 0Do đó, để đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox thì điều kiện cần và đủ là[x + 2][x2 − mx + m2 − 3] = 0[x2 − mx + m2 − 3] + [x + 2][2x − m] = 0x+2=0 [II] x2 − mx + m2 − 3 = 0⇔x2 − mx + m2 − 3 = 0[III][x + 2][2x − m] = 0Nếu t[x] = x2 − mx + m2 − 3 thì hệ [I] có nghiệm ⇔ Hệ [II] hoặc hệ [III] cónghiệm, điều đó tương đương với⇔m2 + 2m + 1 = 03 2m −3=04t[−2] = 0mt[ = 0 ⇔2⇔m = −1m = ±2m] = 0 cũng chính là điều kiện để t[x] có nghiệm kép2thì lời giải trên chúng ta đã giải trước đây.Nhạn xét. Điều kiện t[Số hóa bởi trung tâm học liệu19//www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.6.1Nghiệm của đa thức bậc hai và bất đẳng thứcXét tam thức bậc hai f [x] = ax2 + bx + c,a = 0.Mệnh đề 2.6.2. Giả sử x1 , x2 là nghiệm của f [x] = 0. Khi đó có kết quả:f [x] = a[x − x1 ][x − x2 ]bx1 + x2 = −c ax1 x2 =aMệnh đề 2.6.3. Giả sử f [x] ∈ R[x] và ∆ = b2 − 4ac. Khi đó có các kết quả sau:[i] f [x] > 0 với mọi giá trị của x khi và chỉ khi[ii] f [x] ≥ 0 với mọi giá trị của x khi và chỉ khia>0

∆0∆ ≤ 0 . [iii] f [x] < 0

a 0 là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứngminh rằng nếu các số thực x, y, z thỏa mãn hệ thức ax + by + cz = 0 thìayz + bzx + cxy ≤ 0 và yz + zx + xy ≤ 0.Chứng minh. Từ giả thiết ax + by + cz = 0 suy ra cz = −ax − by . Vì c > 0 nênayz + bzx + cxy ≤ 0⇔ aycz + bczx + c2 xy ≤ 0.Vậy ta phải chỉ raay[−ax − by] + bx[−ax − by] + c2 xy ≤ 0hayabx2 + [a2 + b2 − c2 ]xy + aby 2 ≥ 0.Xét hàm số f [x, y] = abx2 + [a2 + b2 − c2 ]xy + aby 2 với ab > 0. Có biệt thức∆ = −[a + b + c][a + b − c][a − b + c][−a + b + c]y 2 ≤ 0,Số hóa bởi trung tâm học liệu21//www.lrc.tnu.edu.vn/ nên với f [x, y] ≥ 0 với mọi x, y .+ byVì z = −nên yz + zx + xy ≤ 0 tương đươngcax2 + [a + b − c]xy + by 2 ≥ 0.Dễ dàng thấy ∆ ≤ 0. Vậyyz + zx + xy ≤ 0.Ví dụ 2.6.9. Chứng minh rằng, nếu f [x] = x4 + ax3 + bx2 + cx + d ∈ R[x] cóbốn nghiệm thực dương thìac ≥ 16d và b2 ≥ 36d.Từ đó suy ra phương trình x4 + ax3 + 10x2 + cx + 3 = 0 khơng thể có bốn nghiệmdương với mọi a, c ∈ R.Chứng minh. Giả sử bốn nghiệm của f [x] = 0 là x1 , x2 , x3 , x4 > 0. Từ bất đẳngthức1111[x1 + x2 + x3 + x4 ][ +++ ] ≥ 16x1 x2 x3 x4suy ra bất đẳng thức[−a][−c] ≥ 16d hay ac ≥ 16d.Vìb42≥4d42nên b2 ≥ 36d.Do 102 = 100 < 108 = 38.3 nên x4 + ax3 + 10x2 + cx + 3 = 0 khơng thể có bốnnghiệm dương.Ví dụ 2.6.10 [VMO 2004]. Giả sử x, y, z là những số thực dương thỏa mãn[x + y + z]3 = 32xyz . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcx4 + y 4 + z 4T =.[x + y + z]4Chứng minh. Ta thấy ngay, với mọi số thực dương α ln cóT [x; y; z] = T [αx, αy; αz].Vậy, không làm mất tính chất tổng qt có thể giả thiết x + y + z = 4. Khi đóx + y + z = 4, xyz = 2, ở đó x, y, z > 0. Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất của biểu thứcx4 + y 4 + z 4T =.256Số hóa bởi trung tâm học liệu22//www.lrc.tnu.edu.vn/ Dễ thấy x, y, z đều là nghiệm của phương trình t3 − 4t2 + at − 2 = 0, ở đóa = xy + yz + zx.Do tính bình đẳng của x, y, z nên có thể coi x ≥ y, z . Biểu diễnx4 + y 4 + z 4 = [x2 + y 2 + z 2 ]2 − 2[x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 ] = 2[a2 − 32] + 288.22Từ a = xy + yzz x = x[y + z] + yz = x[4 − x] + suy ra a = x[4 − x] + hayxx4x≥ .384Từ [4 − x]2 = [y + z]2 ≥ 4yz = hay [x − 2][x2 − 6x + 4] ≥ 0, và x ≥ suyx34ra ≤ x ≤ 2.324Khảo sát a = x[4 − x] + với ≤ x ≤ 2. Ta cóx3a =với−2x − 1][x2 − x − 1],x24≤ x ≤ 2. Từ đây suy ra3√5 5−15≤a≤.2√55−1Xét x4 + y 4 + z 4 = 2[a2 − 32a] + 288 với 5 ≤ a ≤. Ta được2Tmax =VàTmin9khi x = 2, y = z = 1.128√√√383 − 165 51+ 5=khi x = 3 − 5, y = z =.2562Số hóa bởi trung tâm học liệu23//www.lrc.tnu.edu.vn/