- LG a
- LG b
Hãy xác định số thực a để dãy số \[[{u_n}],\] với \[{u_n} = {{a{n^2} + 1} \over {2{n^2} + 3}},\] là:
LG a
Một dãy số giảm ;
Lời giải chi tiết:
Viết lại công thức xác định \[{u_n}\] dưới dạng.
\[{u_n} = {a \over 2} + {{2 - 3a} \over {2.\left[ {2{n^2} + 3} \right]}}\]
Từ đó, ta có
\[{u_{n + 1}} - {u_n} = {{2 - 3a} \over 2} \times \left[ {{1 \over {2.{{\left[ {n + 1} \right]}^2} + 3}} - {1 \over {2{n^2} + 3}}} \right]\,\left[ {\forall n \ge 1} \right]\] [1]
Dễ thấy
\[\left[ {{1 \over {2.{{\left[ {n + 1} \right]}^2} + 3}} - {1 \over {2{n^2} + 3}}} \right]\, < 0\,\,\left[ {\forall n \ge 1} \right]\]
Vì thế, từ [1] suy ra \[[{u_n}]\] là một dãy số giảm \[ \Leftrightarrow {{2 - 3a} \over 2} > 0 \Leftrightarrow a < {2 \over 3}\]
LG b
Một dãy số tăng .
Lời giải chi tiết:
Viết lại công thức xác định \[{u_n}\] dưới dạng.
\[{u_n} = {a \over 2} + {{2 - 3a} \over {2.\left[ {2{n^2} + 3} \right]}}\]
Từ đó, ta có
\[{u_{n + 1}} - {u_n} = {{2 - 3a} \over 2} \times \left[ {{1 \over {2.{{\left[ {n + 1} \right]}^2} + 3}} - {1 \over {2{n^2} + 3}}} \right]\,\left[ {\forall n \ge 1} \right]\] [1]
Dễ thấy
\[\left[ {{1 \over {2.{{\left[ {n + 1} \right]}^2} + 3}} - {1 \over {2{n^2} + 3}}} \right]\, < 0\,\,\left[ {\forall n \ge 1} \right]\]
Vì thế, từ [1] suy ra \[[{u_n}]\] là một dãy số tăng \[ \Leftrightarrow {{2 - 3a} \over 2} < 0 \Leftrightarrow a < {2 \over 3}\]