Câu 3.6 trang 86 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao

\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\] [2]
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
  • LG a
  • LG b

Chứng minh rằng với mọi số nguyên\[n \ge 2\], ta luôn có bất đẳng thức sau:


LG a

\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \]

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh

\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \] [1]

Với mọi \[n \ge 2,\] bằng phương pháp quy nạp

Với \[n = 2,\] hiển nhiên ta có \[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} > \sqrt 2 .\] Vì thế, [1] đúng khi \[n = 2\]

Giả sử đã có [1] đúng khi \[n = k,k \in N^*\] và \[k \ge 2,\] khi đó ta có

\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\] [2]

Mà \[\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \] [dễ thấy], nên từ [2] suy ra

\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \]

Nghĩa là ta cũng có [1] đúng khi \[n = k + 1\]

Từ các chứng minh trên suy ra [1] đúng với mọi \[n \ge 2\]

LG b

\[1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + ... + {1 \over {{2^n} - 1}} < n\]

Lời giải chi tiết:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Video liên quan

Chủ Đề