- LG a
- LG b
Chứng minh rằng với mọi số nguyên\[n \ge 2\], ta luôn có bất đẳng thức sau:
LG a
\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \]
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh
\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \] [1]
Với mọi \[n \ge 2,\] bằng phương pháp quy nạp
Với \[n = 2,\] hiển nhiên ta có \[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} > \sqrt 2 .\] Vì thế, [1] đúng khi \[n = 2\]
Giả sử đã có [1] đúng khi \[n = k,k \in N^*\] và \[k \ge 2,\] khi đó ta có
\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\] [2]
Mà \[\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \] [dễ thấy], nên từ [2] suy ra
\[1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \]
Nghĩa là ta cũng có [1] đúng khi \[n = k + 1\]
Từ các chứng minh trên suy ra [1] đúng với mọi \[n \ge 2\]
LG b
\[1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + ... + {1 \over {{2^n} - 1}} < n\]
Lời giải chi tiết:
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp