Câu 3.6 trang 86 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao
\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\) (2)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Chứng minh rằng với mọi số nguyên\(n \ge 2\), ta luôn có bất đẳng thức sau: LG a \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \) Lời giải chi tiết: Ta sẽ chứng minh \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \) (1) Với mọi \(n \ge 2,\) bằng phương pháp quy nạp Với \(n = 2,\) hiển nhiên ta có \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} > \sqrt 2 .\) Vì thế, (1) đúng khi \(n = 2\) Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) và \(k \ge 2,\) khi đó ta có \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\) (2) Mà \(\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \) (dễ thấy), nên từ (2) suy ra \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \) Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi \(n = k + 1\) Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \ge 2\) LG b \(1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + ... + {1 \over {{2^n} - 1}} < n\) Lời giải chi tiết: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
|