Cho ba số không âm a, b, c Chứng minh các bất đẳng thức sau và chỉ rõ đẳng thức xảy ra khi nào : - câu 4.17 trang 105 sbt đại số 10 nâng cao

LG a

\(\left( {{\rm{a}} + b} \right)\left( {{\rm{a}}b + 1} \right) \ge 4{\rm{a}}b;\)

Lời giải chi tiết:

Với \(a 0, b 0\) ta có

\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \ge 0;ab + 1 \ge 2\sqrt {{\rm{a}}b} \ge 0.\)

Từ đó suy ra \(\left( {{\rm{a}} + b} \right)\left( {{\rm{a}}b + 1} \right) \ge 2\sqrt {{\rm{a}}b} .2\sqrt {{\rm{a}}b} = 4{\rm{a}}b.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

LG b

\(\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {{\rm{a}}b + bc + ca} \right) \ge 9{\rm{a}}bc.\)

Lời giải chi tiết:

Với \(a 0, b 0, c 0\), ta có :

\(\begin{array}{l}a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} \ge 0\\ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \ge 0.\end{array}\)

Từ đó suy ra

\(\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {{\rm{a}}b + bc + ca} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\)

\(= 9{\rm{a}}bc\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).