Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A\], các đường phân giác \[BD, CE\] [\[D AC, E AB\]]. Chứng minh rằng \[BEDC\] là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Hai tam giác bằng nhau có các cạnh tương ứng bằng nhau.
- Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau hai góc đáy bằng nhau.
- Hai đường thẳng song song khi có cặp góc đồng vị bằng nhau.
- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề với một đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
\[ABD\] và \[ACE\] có:
\[AB = AC\][vì tam giác \[ABC\] cân tại \[A\]]
\[\widehat{A}\]chung
\[\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\][vì \[\widehat {{B_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat B,\,\widehat {{C_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat C\,\,\text{và}\,\,\widehat B = \widehat C\]]
Do đó \[ \Delta ABD = \Delta ACE{\rm{ }}\left[ {g.c.g} \right] \] suy ra\[ A{\rm{D}} = A{\rm{E}}\]
Tam giác \[ ABC\] cân nên\[\widehat B = \widehat C = \left[ {{{180}^o} - \widehat A} \right]:2\] [1]
Tam giác \[ADE\] cân nên\[\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}} = \left[ {{{180}^o} - \widehat A} \right]:2\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra\[\widehat B = \widehat {{E_1}}\], hai góc này ở vị trí đồng vị nên \[ED//BC\].
Vậy \[BEDC\] là hình thang, lại có\[\widehat B = \widehat C \] nên là hình thang cân.
Do \[ED//BC\] nên\[\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_2}}\] [SLT], lại có\[\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\] nên\[\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}\], suy ra\[\Delta BDE\] cân, do đó \[EB = ED\].