Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\]. Gọi \[M\] và \[M'\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[BC\] và \[B'C'\]
a] Chứng minh rằng \[AM\] song song với \[A'M'\].
b] Tìm giao điểm của mặt phẳng \[[AB'C']\] với đường thẳng \[A'M\]
c] Tìm giao tuyến \[d\] của hai mặt phẳng \[[AB'C']\] và \[[BA'C']\]
d] Tìm giao điểm \[G\] của đường thẳng \[d\] với mặt phẳng \[[AM'M]\]. Chứng minh \[G\] là trọng tâm của tam giác \[AB'C'\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh\[AA'M'M\] là hình bình hành.
b] Tìm điểm chung củamặt phẳng \[[AB'C']\] với đường thẳng \[A'M\]
c] Tìm hai điểm chung củahai mặt phẳng \[[AB'C']\] và \[[BA'C']\].
d]Tìm điểm chung của đường thẳng \[d\] với mặt phẳng \[[AM'M]\], chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác\[AB'C'\].
Lời giải chi tiết
a] Xét tứ giác \[BMM'B'\] có \[BM//B'M'\] và \[BM=B'M'\] nên \[BMM'B'\] là hình bình hành.
\[ \Rightarrow MM'//BB'//AA'\] và\[MM'=BB'=AA' \Rightarrow AA'M'M\] là hình bình hành.
\[ \Rightarrow AM//A'M'\]
b] Trong \[mp [AA'M'M]\], gọi \[K=MA' AM' \] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in A'M\\K \in AM' \subset \left[ {AB'C'} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow K =A'M\cap [AB'C']\]
c] Trong \[[ABB'A']\] gọi \[O= AB'\cap A'B\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AB' \subset \left[ {AB'C'} \right]\\O \in A'B \subset \left[ {BA'C'} \right]\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow O \in \left[ {AB'C'} \right] \cap \left[ {BA'C'} \right]\]
Mà \[C' \in \left[ {AB'C'} \right] \cap \left[ {BA'C'} \right]\] nên \[ \Rightarrow OC' = \left[ {AB'C'} \right] \cap \left[ {BA'C'} \right]\].
d] Trong \[[AB'C']\]: gọi \[G= C'O AM'\],
\[G \in AM'\subset [ AMM']\] nên \[G=d\cap [AMM']\].
Mà \[O, M'\] lần lượt là trung điểm \[AB'\] và \[B'C'\] nên \[G\] là trọng tâm của tam giác \[AB'C'\].