Đề bài
Cho ba điểm \[A, B, C\] thẳng hàng, \[B\] nằm giữa \[A, C\] và đường thẳng \[\Delta \] qua \[A.\]
a] Chứng minh rằng có hai đường tròn cùng đi qua \[B, C\] và cùng tiếp xúc với \[\Delta \].
b] Chứng minh rằng khi \[\Delta \] quay quanh \[A\], các đường tròn đi qua \[B\] và hai tiếp điểm của \[\Delta \] với hai đường tròn ở câu a] luôn đi qua một điểm cố định khác \[B\].
Lời giải chi tiết
[h.49].
a] Gọi \[M\] là tiếp điểm của \[\Delta \] với đường tròn \[[C]\] đi qua \[B\] và \[C,\] khi đó \[A{M^2} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC\] không đổi. Do đó \[M\] là giao điểm của \[\Delta \] và đường tròn tâm \[A\], bán kính bằng \[\sqrt {AB.AC} \].
Từ đó suy ra có hai đường tròn cùng đi qua \[B, C\] và cùng tiếp với \[\Delta \].
b] Gọi \[M, M\] là hai tiếp điểm của \[\Delta \] với hai đường tròn ở câu a] và gọi\[D\] là giao điểm [khác B] của đường thẳng \[BC\] với đường tròn \[[BMM]\] thì
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AM'}\]
\[ = - A{M^2} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} .\]
Từ đó suy ra \[\overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {AC} \] hay \[D\] là điểm đối xứng với \[C\] qua \[A\], do đó \[D\] là điểm cố định. Vậy khi \[\Delta \] quay quanh \[A\], các đường tròn \[[BMM]\] luôn đi qua điểm \[D\] cố định khác \[B.\]