Đề bài
Cho điểm \[O\] cố định và đường thẳng \[d\] đi qua hai điểm \[A, B\] cố định. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng \[d\] khi và chỉ khi có số \[\alpha \] sao cho \[\overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + [1 - \alpha ]\overrightarrow {OB} \].
Với điều kiện nào của \[\alpha \] thì \[M\] thuộc đoạn thẳng \[AB\]?
Lời giải chi tiết
Ta có
\[\eqalign{
& \overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + [1 - \alpha ]\overrightarrow {OB} \,\, \cr
& \Leftrightarrow \,\,\,\overrightarrow {OM} = \alpha [\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ] + \overrightarrow {OB} \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OB} = \alpha [\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ]\,\,\, \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {BM} = \alpha \overrightarrow {BA} \,\, \Leftrightarrow M \in d. \cr} \]
Vì \[\overrightarrow {BM} = \alpha \overrightarrow {BA} \] nên \[M\] thuộc đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \[0 \le \alpha \le 1\].