Đề bài
Cho hình bình hành \[ABCD\]. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC} \]
B. \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \]
C. \[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {CD} \]
D. \[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CD} \]
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
Ta có: tứ giác \[ABCD\] là hình bình hành nên: \[\left\{ \matrix{\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \hfill \cr \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \hfill \cr} \right.\]
+] \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AD}+ \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA}\]\[ = 2\overrightarrow {BC}\] nên A đúng.
+] \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC}\]\[ = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} \ne \overrightarrow {AB} \] nên B sai.
+] \[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CD}\]
\[= \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} =\overrightarrow {DC}+\overrightarrow {DC}= 2\overrightarrow {DC} \ne 2\overrightarrow {CD} \] nên C sai.
+] \[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC} \ne \overrightarrow {CD} \] nên D sai.
Vậy A đúng.
Chú ý:
Có thể giải thích câu A và C bằng cách sử dụng điểm O là giao điểm hai đường chéo như sau:
\[\begin{array}{l}
+ ]\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {OC} + 2\overrightarrow {BO} \\
= 2\left[ {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {BO} } \right] = 2\left[ {\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OC} } \right]\\
= 2\overrightarrow {BC} \\
+ ]\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {OC} - 2\overrightarrow {OD} \\
= 2\left[ {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} } \right] = 2\overrightarrow {DC}
\end{array}\]