Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tính các giới hạn sau
LG a
\[\lim {{[n + 1]{{[3 - 2n]}^2}} \over {{n^3} + 1}}\]
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho \[n^3\].
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& \lim {{[n + 1]{{[3 - 2n]}^2}} \over {{n^3} + 1}} = \lim {{[1 + {1 \over n}]{{[{3 \over n} - 2]}^2}} \over {1 + {1 \over {{n^3}}}}} \cr
& = {{[1 + 0]{{[0 - 2]}^2}} \over {1 + 0}} = 4 \cr} \]
LG b
\[\lim [{1 \over {{n^2} + 1}} + {2 \over {{n^2} + 1}} + {3 \over {{n^2} + 1}} + ... + {{n - 1} \over {{n^2} + 1}}]\]
Phương pháp giải:
Cộng các phân số cùng mẫu số, sử dụng kết quả:\[1 + 2 + ... + n - 1 = \dfrac{{\left[ {n - 1} \right]n}}{2}\]. Sau đó chia cả tử và mẫu cho \[n^2\].
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& {1 \over {{n^2} + 1}} + {2 \over {{n^2} + 1}} + {3 \over {{n^2} + 1}} + ... + {{n - 1} \over {{n^2} + 1}} \cr
& = {{1 + 2 + ... + n - 1} \over {{n^2} + 1}} \cr
& = {{{{n[n - 1]} \over 2}} \over {{n^2} + 1}} = {{{n^2} -n} \over {2[{n^2} + 1]}} \cr
& \Rightarrow \lim [{1 \over {{n^2} + 1}} + {2 \over {{n^2} + 1}} + {3 \over {{n^2} + 1}} + ... + {{n - 1} \over {{n^2} + 1}}] \cr
& = lim{{{n^2} -n} \over {2[{n^2} + 1]}} \cr
& = \lim {{{n^2}[1 - {1 \over n} ]} \over {2{n^2}[1 + {1 \over {{n^2}}}]}} \cr
& = \lim {{1 - {1 \over n} } \over {2[1 + {1 \over {{n^2}}}]}} = {1 \over 2} \cr} \]
LG c
\[\lim {{\sqrt {4n^2 + 1} + n} \over {2n + 1}}\]
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho \[n^2\], lưu ý căn bậc hai.
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& \lim {{\sqrt {4n^2 + 1} + n} \over {2n + 1}} \cr
& = \lim {{n.\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + n} \over {2n + 1}} \cr
& = \lim {{n.[\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + 1]} \over {n[2 + {1 \over n}]}} \cr
& = \lim {{\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + 1} \over {2 + {1 \over n}}} \cr
& = {{2 + 1} \over 2} = {3 \over 2} \cr} \]
LG d
\[\lim \sqrt n [\sqrt {n - 1} - \sqrt n ]\]
Phương pháp giải:
Nhân chia biểu thức dưới dấu \[\lim \] với biểu thức liên hợp của\[\sqrt {n - 1} - \sqrt n \], sau đó chia cả tử và mẫu của phân thức mới cho \[\sqrt{n}\].
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& \lim \sqrt n [\sqrt {n - 1} - \sqrt n ] \cr
& = \lim {{\sqrt n [\sqrt {n - 1} - \sqrt n ][\sqrt {n - 1} + \sqrt n ]} \over {\sqrt {n - 1} + \sqrt n }} \cr
& = \lim {{\sqrt n \left[ {[n - 1] - n} \right]} \over {\sqrt {n - 1} + \sqrt n }} \cr
& = \lim {{ - \sqrt n } \over {\sqrt n \left[ {\sqrt {1 - {1 \over n}} + 1} \right]}} \cr
& = \lim {{ - 1} \over {\sqrt {1 - {1 \over n}} + 1}} = - {1 \over 2} \cr} \]