Chuyên đề về hàm số và đồ thị hàm số y = ax (a + 0) là kiến ​​thức cơ bản của môn Toán 7, chuyên đề đại số. Kiến thức này sẽ tiếp tục được mở rộng dưới nhiều hình thức ở các lớp cao hơn với các đồ thị khác nhau. Bài viết hôm nay CMath sẽ giới thiệu đến bạn toàn bộ những kiến ​​thức cần ghi nhớ về đồ thị hàm số để bạn tìm hiểu nhé!

I. Lý thuyết chung về hàm số và đồ thị hàm số y=a.x (với a khác 0)

1. Định nghĩa

– Hàm số bậc nhất được gọi là hàm số cho bởi công thức y=ax+b trong đó a, b là các số cho trước và hằng số a khác 0.

– Phương trình bậc nhất có hai ẩn dưới dạng ax+by=c (a,b,c là các hằng số đã biết, a khác 0 hoặc b khác 0.)

Nếu giá trị b khác 0 thì có thể đưa phương trình về dạng y=mx+n

– Hàm số y=ax (a±0) được gọi là hàm số bậc hai đặc biết.

Đồ thị hàm số y=ax+b với a>0 và a<0

2. Tính chất

– Hàm số bậc nhất y=ax+b (a+0) được xác định với mọi giá trị của X thuộc R và:

+ Hàm số đã cho đồng biến trên R khi a>0;

+ Hàm số nghịch biến khi a<0.

– Hàm số y=ax2 (a

0) được xác định với mọi giá trị của X thuộc ER và:

+ Nếu a>0 thì hàm số đã cho nghịch biến khi x<0, đồng biến khi x>0;

+ Nếu a<0 thì hàm số đã cho sẽ nghịch biến khi x>0, đồng biến khi x<0.

3. Đồ thị

1. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a + 0) đã cho là một đường thẳng :
2. Cắt trục tung tại một điểm mà điểm đó có tung độ bằng b.
3. Song song cùng với đường thẳng y = ax nếu giá trị b# 0 và trùng với đường thẳng y = ax nếu giá trị b = 0.

Số a trong đó được gọi là hệ số góc, số b gọi là số tung độ gốc của đường thẳng.

Gọi ą là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a + 0) và trục Ox.

Nếu a >0 thì tgą = a.

Nếu a < 0, ta đặt ß = 180° – a. Khi đó tanß = |a|.

Tính ß rồi suy ra a = 180° – ß.

1. Đồ thị của hàm số y = ax² (a ± 0) chính là một parabol đỉnh O và đồ thị đó nhận trục Oy làm trục đối xứng.

– Nếu a > 0 thì đồ thị đã cho nằm phía trên trục hoành, O được gọi là điểm thấp nhất của đồ thị. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là tại y = 0.

– Nếu a <0 thì đồ thị nằm ở bên dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. Giá trị lớn nhất của hàm số là giá trị y = 0.

4. Vị trí tương đối của 2 đồ thị hàm số đã cho

Cho các đường thẳng

(d): y = ax + b (a ± 0),

(d’) : y = a’x + b’ (a’ # 0),

và parabol (P) : y = kx^2 (k # 0).

Khi đó :

• (d) cắt (d’) → a = a’
• (d) // (d’) → a = a’ và b ± b’
• (d) trùng (d’) → a = a’ và b = b’.
• (d) 1 (d’) → a.a’ = -1.

Xét phương trình kx² = ax + b (1)

• Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (P) và (d) sẽ không giao nhau.
• Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì parabol (P) và đường thẳng (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
• Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và đồ thị (d) tiếp xúc nhau.

Hoành độ của giao điểm (hoặc tiếp điểm) của (P) và (d) chính là nghiệm của phương trình kx² = ax + b.

II. Các dạng toán về hàm số và đồ thị hàm số quan trọng

1. Dạng 1: Hướng dẫn vẽ đồ thị hàm số y = ax (a + 0)

Phương pháp giải.

• Hãy vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm O(0 ; 0) và điểm A(1 ; a).

Ví dụ:

Hãy vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy các đồ thị của hàm số sau

1. a) y = x ;
2. b) y = 3x ;
3. c) y = – 2x ;
4. d) y = -x.

Giải.

1. a) Đồ thị hàm số y = x đã cho chính là đường thẳng OA với O(0 ; 0) và A (1; 1)
2. b) Đồ thị hàm số y = 3x đã cho chính là đường thẳng OB với O(0 ; 0) và B(1; 3)
3. c) Đồ thị hàm số y = – 2x đã cho chính là đường thẳng OC với O(0 ; 0) và C(1 ; – 2)
4. d) Đồ thị hàm số y = – x đã cho chính là đường thẳng OD với O(0 ; 0) và D(- 2 ; 2).

Đồ thị hàm số minh họa cho ví dụ

2. Dạng 2: Cách để xác định đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x hay không

Phương pháp giải:

• Kiểm tra điều kiện rằng mỗi giá trị của x có được tương ứng với 1 giá trị của y.
• Đại lượng y đã cho có phải là hàm số của đại lượng x hay không.
• Vì mỗi giá trị của đại lượng x luôn luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y chính vì thế nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x.

Ví dụ 1: Đại lượng x đã cho lấy các giá trị là các số tự nhiên, đại lượng y lấy giá trị đó là số dư của phép chia giá trị x cho 3. Đại lượng y đã cho có phải là hàm số của đại lượng x không?

Gợi ý: Đại lượng y đã cho là hàm số của đại lượng x vì ứng với mỗi giá trị tương ứng của giá trị x ta luôn xác định được chỉ một giá trị của y

Ví dụ 2: Theo bảng sau đây có cho ta một hàm số không? Nếu không thì thay đổi như thế nào để có thể có được một hàm số:

x

2

4

6

8

10

y

-1

-2

-3

-4

Hướng dẫn:

Bảng đã cho không xác định hàm số vì giá trị x = 6 không có giá trị tương ứng nào của y.

Bạn có thể thay đổi bằng một trong hai cách

– Với x = 6 ta sẽ cho thêm một giá trị tương ứng của y.

– Bỏ giá trị 6 của giá trị x.

3. Dạng 3: Tính giá trị hàm số khi đã biết giá trị của biến số

Phương pháp giải:

• Nếu hàm số đã cho bằng dạng bảng thì cặp giá trị tương ứng của x và y vẫn nằm cùng một cột.
• Nếu hàm số đã cho bằng công thức thì ta tiến hành thay giá trị của biến đã cho vào công thức để có thể tính giá trị tương ứng của hàm số.

Ví dụ 1:

Bảng sau đây đề bài đã cho có xác định một hàm số không? Tìm giá trị của y tại giá trị x = – 2,3 ; x = – 4,5 ; x = 0.

x

-2,3

3

-4,5

0

6

y

5

6,9

7

2

8

Hướng dẫn:

Bảng này có xác định đại lượng của y là hàm số của đại lượng x.

Khi giá trị x = -2,3 thì y = 5, khi x = – 4,5 thì y = 7, khi x = 0 thì y = 2.

4. Dạng 4: Hướng dẫn tìm tọa độ một điểm và vẽ một điểm khi biết tọa độ. Tìm các điểm có ở trên một đồ thị hàm số, biểu diễn và tính diện tích.

Phương pháp giải:

• Muốn tìm tọa độ một điểm thì ta cần phải vẽ hai đường thẳng vuông góc với hai trục tọa độ
• Để có thể tìm một điểm trên một đồ thị hàm số ta bất kỳ thì ta cho bất kì một giá trị của x rồi tính giá trị y tương ứng với giá trị x đó.
• Có thể tìm diện tích trực tiếp hoặc diện tích gián tiếp qua hình chữ nhật

Ví dụ:

Hãy vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) = – 0,5x. Bằng đồ thị bạn hãy tìm:

1. a) f(2) ; f(4) ; f(- 2) ; f(0) ;
2. b) Giá trị của x khi mà y = -1 ; y = 0 ; y =2,5 ;
3. c) Các giá trị của x khi giá trị y dương và khi y âm.

Khi x = 2 thì y = – 0,5.2 = -1. Vậy thì điểm A(2;- 1) thuộc đồ thị của hàm số y = f(x) . Đồ thị của hàm số này chính là đường thẳng OA trong hình vẽ bên.

Đồ thị hàm số minh họa cho ví dụ trên

Trên đồ thị ta thấy:

1. a) f(2) = – 1 ; f(- 2) = 1; f(4) = – 2 ; f(0).
2. b) y = -1 ⇒ x = 2 ;

y = 0 ⇒ x = 2;

y = 2,5 ⇒ x =- 5.

1. c) Giá trị y > 0 ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục hoành và nằm ở bên trái trục tung (góc phần tư II) nên x < 0.

y < 0 ứng với phần đồ thị nằm phía dưới của trục hoành và nằm ở bên phải trục tung (góc phần tư thứ IV) nên a > 0.

5. Dạng 5: Kiểm tra xem một điểm M có thuộc ĐTHS không

Phương pháp giải:

Điểm M có tọa độ (x0; y0) thuộc đồ thị hàm số nếu ta thay giá trị của x0 và y0 vào hàm số ta được một đẳng thức đúng. Ngược lại nếu đẳng thức sai thì điểm M đã cho sẽ không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Ví dụ:

Những điểm nào đã cho sau đây thuộc đồ thị của hàm số y = – 3x. :

Giải.

6. Dạng 6: Tìm giá trị hằng số a

Phương pháp giải:

Ta đi thay tọa độ điểm đi qua vào đồ thị để tìm giá trị a.

Ví dụ: Tìm điểm M(x1; y1) trên đồ thị: 2x + 3y= 5 sao cho khoảng cách từ O đến M là khoảng cách nhỏ nhất.

Gợi ý:

(d):2x+3y=5

→y=−23x+53

Gọi (d′)là đường thẳng đi qua điểm O(0;0) và vuông góc với (d)

→(d′):y=32x

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng (d) và (d′)

−23x+53=32x

→2(−2x+5)=9x

→13x=10

→x=1013

→y=1513

OM là ngắn nhất ⇔M chính là hình chiếu của O lên (d)

→M là giao điểm giữa 2 đường thẳng (d) và (d′)

→M(10/13;15/13)

III. Bài tập

1. Bạn hãy xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
2. a) Đồ thị của hàm số đã cho song song với đt y = 3x + 1 và đi qua điểm A (2; 5).
3. b) Đồ thị của hàm số đã cho vuông góc với đt y = x – 5 và cắt Ox tại một điểm có hoành độ bằng -2.
4. c) Đồ thị hàm số đã cho đi qua A (-1; 2) và B (2; -3).
5. d) Đồ thị hàm số sẽ cắt (P): y = x² tại 2 điểm A và B có hoành độ là các giá trị lần lượt là -1 và 2.
6. Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.
7. a) Tìm giá trị m để hàm số luôn đồng biến; Tìm giá trị m để hàm số luôn nghịch biến.
8. b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số // với đt: y = 3x –3 + m;
9. c) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y = 3x –3 + m.
10. d) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm có hoành độ = 3.
11. e) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm có tung độ = 3.
12. f) Tìm giá trị m để đồ thị các hàm số y = -x + 2; y = 2x – 1; y = (m – 2)x + m + 3 đồng quy.

IV. Kết luận

Trên đây là những thông tin về hàm số và đồ thị hàm số y=a mà bạn cần hết sức lưu ý trong các kỳ thi và các bài kiểm tra. Chúc các em dành được kết quả cao trong kỳ thi sắp tới nhé!