Giải phương trình bậc 3 dạng tổng quát ax3 + bx2 + cx + d = 0 là một dạng toán khó và chúng ta ít gặp cả ở bậc THCS và THPT. Ở các bậc học này chúng ta chỉ gặp một số dạng đặc biệt [cách giải không quá phức tạp] của phương trình bậc 3.
Ở lớp 9 chúng ta sẽ gặp một số dạng phương trình bậc 3 ở dạng x3 = a hoặc dạng tổng quát là ax3 + bx2 + cx + d = 0 nhưng biết trước 1 nghiệm của phương trình này [hoặc dễ dàng tính nhẩm được 1 nghiệm của phương trình này].
I. Cách giải phương trình bậc 3
1. Cách giải phương trình bậc 3 dạng x3 = a
Cách giải dạng phương trình này sử dụng căn thức bậc 3, ta có:
2. Cách giải phương trình bậc 3 dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0
Với dạng phương trình này đề thường cho trước 1 nghiệm [hoặc ta dễ dàng tính nhẩm được nghiệm của pt, thường là 0; ±1/2: ±1; ±2].
- Nếu x = α là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 thì
ax3 + bx2 + cx + d = [x - α].f[x]
- Để tìm f[x] ta lấy đa thức ax3 + bx2 + cx + d chia cho [x - α].
- Giả sử f[x] = ax2 + Bx + C, khi đó phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích [x - α].[ax2 + Bx + C] = 0.
* Lưu ý:Để tìm f[x] ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne bậc 3 sau:
Khi đó: ax3 + bx2 + cx + d = [x - α].[ax2 + Bx + C]
ax3 + bx2 + cx + d = 0
⇔ [x - α].[ax2 + Bx + C] = 0
» Đừng bỏ lỡ: Cách sử dụng lược đồ Hoocne để chia đa thức
II. Bài tập giải phương trình bậc 3
* Bài tập 1: Giải phương trình bậc 3 sau: x3 = 8
* Lời giải:
- Ta có:
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình.
* Bài tập 2: Giải phương trình bậc 3 sau: 2x3 = -128
* Lời giải:
- Ta có:
Vậy x = -4 là nghiệm của phương trình.
* Bài tập 3: Giải phương trình bậc 3 sau: 2x3 + 5x2 - x - 6 = 0.
* Lời giải:
- Dễ dàng nhận thấy các hệ số của phương trình bậc 3 là:
a + b + c + d = 2 + 5 - 1 - 6 = 0 nên có thể nhẩm được phương trình bậc 3 này có 1 nghiệm x = 1.
Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức [2x3 + 5x2 - x - 6] chia cho
[x – 1]. Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:
| x | 2 | 5 | -1 | -6 |
| 1 | 2 | 1.2+5=7 | 1.7+[-1]=6 | 1.6+[-6]=0 |
Vậy 2x3 + 5x2 - x - 6 = [x - 1][2x2 + 7x + 6]
Khi đó: 2x3 + 5x2 - x - 6 = 0
⇔ [x - 1][2x2 + 7x + 6] = 0
⇔ [x - 1]= 0 hoặc [2x2 + 7x + 6] = 0
Xét phương trình: x – 1 = 0 ⇔ x = 1
Xét phương trình: 2x2 + 7x + 6 = 0 có ∆ = 72 - 4.2.6 = 1 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm:
x1 = [-7 + 1]/4 = -3/2;
x2 = [-7 - 1]/4 = -2
Vây phương trình có 3 nghiệm là: x = 1; x = -2; x = -3/2;
Tập nghiệm của phương trình S={-2;-3/2;1}.
* Bài tập 4: Tìm nghiệm của phương trình bậc 3 sau: 3x3 - 2x2 - 5x + 4 = 0 biết x = 1 là một nghiệm của phương trình.
* Lời giải:
Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức [3x3 - 2x2 - 5x + 4] chia cho [x – 1]. Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:
| x | 3 | -2 | -5 | 4 |
| 1 | 3 | 1.3+[-2]=1 | 1.1+[-5]=-4 | 1.[-4]+4=0 |
Vậy 3x3 - 2x2 - 5x + 4 = [x – 1].[3x2 - 2x - 5]
Khi đó: x3 - 2x2 - 5x + 4 = 0
⇔ [x – 1].[3x2 - 2x - 5] = 0
⇔ x - 1 = 0 hoặc 3x2 - 2x - 5 = 0
Xét phương trình: x – 1 = 0 ⇔ x = 1
Xét phương trình: 3x2 - 2x - 5 = 0 có ∆ = [-2]2 - 4.3.[-5]= 64 nên phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1 và x2 = 5/3.
[có thể thấy ngay phương trình: 3x2 - 2x - 5 = 0 có các hệ số a - b + c = 0 nên có 1 nghiệm x = -1 và nghiệm còn lại x = -c/a = 5/3]
Vây phương trình có 3 nghiệm: x = 1; x = -1; x = 5/3.
* Bài tập 5: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có đúng 2 nghiệm phân biệt:
[x - 2][x2 + mx + m2 – 3] = 0 [*]
* Lời giải:
- Phương trình [*]⇔
Phương trình [1] có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình [*] có đúng 2 nghiệm thì phương trình [2] phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2.
+] TH1: phương trình [2] có nghiệm kép khác 2
⇔ Phương trình [2] có: ∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của [2]
+] TH2: Phương trình [2] có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2
Thay x = 2 vào phương trình [2] ta được:
m2 + 2m + 1 = 0
⇔ [m + 1]2 = 0
⇔ m = -1
Với m = -1 thì phương trình [2] trở thành: x2 - x - 2 = 0
Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm: x1 = -1, x2 = -c/a = 2
Suy ra m = -1 [thỏa mãn]
Vậy m = -1, m = 2, m = -2 thì phương trình [*] có đúng 2 nghiệm phân biệt.
* Bài tập 6: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có đúng 3 nghiệm phân biệt:
[x - 1][x2 – 2[m + 1]x – 2] = 0
* Bài tập 7: Giải phương trình bậc 3 sau:
3x3 - 13x2 + 13x - 3 = 0
* Bài tập 8: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3:
[x + 1][x2 + 2mx + 4] = 0
Hy vọng với bài viết về Cách giải phương trình bậc 3 và bài tập vận dụng toán lớp 9 ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại phần bình luận dưới bài viết để Hay-Học-Hỏi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.