CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử
* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP
+ Đa thức f[x] có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f[x] có tổng các hệ số bằng 0 thì f[x] có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f[x] có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f[x] có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f[x] và f[1]; f[- 1] khác 0 thì
đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x[x – 2] – 2[x – 2] = [x – 2][3x – 2]
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = [4x2 – 8x + 4] - x2 = [2x – 2]2 – x2 = [2x – 2 + x][2x – 2 – x]
= [x – 2][3x – 2]
Ví dụ 2: x3 – x2 - 4
Ta nhân thấy nghiệm của f[x] nếu có thì x =
Cách 1:
x3 – x2 – 4 =[x3-2x2]+[x2-2x]+[2x-4]=x2[x-2]+x[x-2]+2[x-2]=[x-2][x2+x+2]
Cách 2:
[x-2][[x2+2x+4]-[x+2]]=[x-2][x2+x+2]
x3-x2-4=x3-8-x2+4=[x3-8]-[x2-4]=[x-2][x2+2x+4]-[x-2][x+2]
Ví dụ 3: f[x] = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét:
Ta nhận thấy x =
f[x] = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 3x3-x2-6x2+2x+15x-5=[3x3-x2]-[6x2-2x]+[15x-5]
= x2[3x-1]-2x[3x-1]+5[3x-1]=[3x-1][x2-2x+5]
Vì x2-2x+5=[x2-2x+1]+4=[x-1]2+4>0
với mọi x nên không phân tích được thành
nhân tử nữa
Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = [x3 + x2 ] + [4x2 + 4x] + [4x + 4] = x2[x + 1] + 4x[x + 1] + 4[x + 1]
= [x + 1][x2 + 4x + 4] = [x + 1][x + 2]2
Ví dụ 5: f[x] = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f[x] cho [x – 1] ta có:
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = [x – 1][x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2]
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa
Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = [x4 + x2 + 1] + [1996x2 + 1996x + 1996]
= [x2 + x + 1][x2 - x + 1] + 1996[x2 + x + 1]
= [x2 + x + 1][x2 - x + 1 + 1996] = [x2 + x + 1][x2 - x + 1997]
Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.[2001 + 1]
= x2 - x – 20012 - 2001 = [x2 – 20012] – [x + 2001] = [x + 2001][x – 2002]
II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = [2x2 + 9]2 – 36x2
= [2x2 + 9]2 – [6x]2 = [2x2 + 9 + 6x][2x2 + 9 – 6x]
= [2x2 + 6x + 9 ][2x2 – 6x + 9]
Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = [x8 + 2x4 + 1 ] + 96x4
= [x4 + 1]2 + 16x2[x4 + 1] + 64x4 - 16x2[x4 + 1] + 32x4
= [x4 + 1 + 8x2]2 – 16x2[x4 + 1 – 2x2] = [x4 + 8x2 + 1]2 - 16x2[x2 – 1]2
= [x4 + 8x2 + 1]2 - [4x3 – 4x ]2
= [x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1][x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1]
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = [x7 – x] + [x2 + x + 1 ] = x[x6 – 1] + [x2 + x + 1 ]
= x[x3 - 1][x3 + 1] + [x2 + x + 1 ] = x[x – 1][x2 + x + 1 ] [x3 + 1] + [x2 + x + 1]
= [x2 + x + 1][x[x – 1][x3 + 1] + 1] = [x2 + x + 1][x5 – x4 + x2 - x + 1]
Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 = [x7 – x ] + [x5 – x2 ] + [x2 + x + 1]
= x[x3 – 1][x3 + 1] + x2[x3 – 1] + [x2 + x + 1]
= [x2 + x + 1][x – 1][x4 + x] + x2 [x – 1][x2 + x + 1] + [x2 + x + 1]
= [x2 + x + 1][[x5 – x4 + x2 – x] + [x3 – x2 ] + 1] = [x2 + x + 1][x5 – x4 + x3 – x + 1]
Ghi nhớ:
Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ; … đều có nhân tử chung là x2 + x + 1
III. ĐẶT BIẾN PHỤ:
Ví dụ 1: x[x + 4][x + 6][x + 10] + 128 = [x[x + 10]][[x + 4][x + 6]] + 128
= [x2 + 10x] + [x2 + 10x + 24] + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng
[y – 12][y + 12] + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = [y + 4][y – 4]
= [ x2 + 10x + 8 ][x2 + 10x + 16 ] = [x + 2][x + 8][ x2 + 10x + 8 ]
Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Giả sử x
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 [ x2 + 6x + 7 –
Đặt x -
A = x2[y2 + 2 + 6y + 7] = x2[y + 3]2 = [xy + 3x]2 = [x[x -
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + [6x3 – 2x2 ] + [9x2 – 6x + 1 ]
= x4 + 2x2[3x – 1] + [3x – 1]2 = [x2 + 3x – 1]2
Ví dụ 3: A =[x2+y2+z2][x+y+z]2+[xy+yz+zx]2
=[[x2+y2+z2]+2 [xy+yz+zx]][x2+y2+z2]+[xy+yz+zx]2
Đặt x2+y2+z2 = a, xy + yz + zx = b ta có
A = a[a + 2b] + b2 = a2 + 2ab + b2 = [a + b]2 = [ x2+y2+z2 + xy + yz + zx]2
Ví dụ 4: B =2[x4+y4+z4]-[x2+y2+z2]2-2[x2+y2+z2][x+y+z]2+[x+y+z]4
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2[a – b2] + [b –c2]2
Ta lại có: a – b2 = - 2[x2y2+y2z2+z2x2] và b –c2 = - 2[xy + yz + zx] Do đó;
B = - 4[x2y2+y2z2+z2x2] + 4 [xy + yz + zx]2
= -4x2y2-4y2z2-4z2x2+4x2y2+4y2z2+4z2x2+8x2yz+8xy2z+8xyz2=8xyz[x+y+z]
Ví dụ 5: [a+b+c]3-4[a3+b3+c3]-12abc
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2
a3 + b3 = [a + b][[a – b]2 + ab] = m[n2 +
C = [m + c]3 – 4.
= 3[c2[m - c] - n2[m - c]] = 3[m - c][c - n][c + n] = 3[a + b - c][c + a - b][c - a + b]
IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: các số
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
[x2 + ax + b][x2 + cx + d] = x4 + [a + c]x3 + [ac + b + d]x2 + [ad + bc]x + bd
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:
Xét bd = 3 với b, d
Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = [x2 - 2x + 3][x2 - 4x + 1]
Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = [x - 2][2x3 + ax2 + bx + c]
= 2x4 + [a - 4]x3 + [b - 2a]x2 + [c - 2b]x - 2c
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = [x - 2][2x3 + x2 - 5x - 4]
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nahu nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x3 + x2 - 5x - 4 = [x + 1][2x2 - x - 4]
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = [x - 2][x + 1][2x2 - x - 4]
Ví dụ 3:
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = [a x + by + 3][cx + dy - 1]
= acx2 + [3c - a]x + bdy2 + [3d - b]y + [bc + ad]xy – 3
[theo violet]