Phương trình ax bình công bx công c bằng 0 a khác 0 có nghiệm khi và chỉ khi
|
Đáp án C Show
Xét phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 - 4ac • TH1: Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm • TH2: Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = • TH3: Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Phương trình bậc 2 một ẩn là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình toán trung học cơ sở. Vì vậy, hôm nay Kiến Guru xin giới thiệu đến bạn đọc bài viết về chủ đề này. Bài viết sẽ tổng hợp các lý thuyết căn bản, đồng thời cũng đưa ra những dạng toán thường gặp và các ví dụ áp dụng một cách chi tiết, rõ ràng. Đây là chủ đề ưa chuộng, hay xuất hiện ở các đề thi tuyển sinh. Cùng Kiến Guru khám phá nhé: Phương trình bậc 2 một ẩn - Lý thuyết.Phương trình bậc 2 một ẩn là gì?Cho phương trình sau: ax2+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x. Công thức nghiệm: Ta gọi Δ=b2-4ac.Khi đó:
Trong trường hợp b=2b’, để đơn giản ta có thể tính Δ’=b’2-ac, tương tự như trên:
Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2 một ẩn.Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn: Dựa vào hệ thức vừa nêu, ta có thể sử dụng định lý Viet để tính các biểu thức đối xứng chứa x1 và x2
Nhận xét: Đối với dạng này, ta cần biến đổi biểu thức làm sao cho xuất hiện (x1+x2) và x1x2 để áp dụng hệ thức Viet. Định lý Viet đảo: Giả sử tồn tại hai số thực x1 và x2 thỏa mãn: x1+x2=S, x1x2=P thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0 Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet trong giải bài tập toán:
II. Dạng bài tập về phương trình bậc 2 một ẩn:Dạng 1: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số.Để giải các phương trình bậc 2, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ’, rồi áp dụng các điều kiện và công thức của nghiệm đã được nêu ở mục I. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: Hướng dẫn: Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý  suy ra phương trình có nghiệm là x1=1 và x2=2/1=2 Tuy nhiên, ngoài các phương trình bậc 2 đầy đủ, ta cũng xét những trường hợp đặc biệt sau: Phương trình khuyết hạng tử.Khuyết hạng tử bậc nhất: ax2+c=0 (1). Phương pháp:
Khuyết hạng tử tự do: ax2+bx=0 (2). Phương pháp: Ví dụ 2: Giải phương trình: Hướng dẫn:
Phương trình đưa về dạng bậc 2.Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0 (a≠0):
Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Chú ý: phương pháp đặt t=x2 (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán, cần khéo léo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất nhằm đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc 2 quen thuộc. Ví dụ, có thể đặt t=x+1, t=x2+x, t=x2-1… Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: Hướng dẫn:
4t2-3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼
Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1. Dạng 2: Phương trình bậc 2 một ẩn có tham số.Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2.Phương pháp: Sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay là vô nghiệm. Ví dụ 4: Giải và biện luận theo tham số m: mx2-5x-m-5=0 (*) Hướng dẫn: Xét m=0, khi đó (*) ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1 Xét m≠0, khi đó (*) là phương trình bậc 2 theo ẩn x.
Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài.Phương pháp: để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, trước tiên phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta thực hiện theo các bước sau:
Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 (*). Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn: Hướng dẫn: Để phương trình (*) có nghiệm thì: Khi đó, gọi x1 và x2 là 2 nghiệm, theo định lý Viet: Mặt khác: Theo đề: Thử lại:
vậy m = -3 thỏa yêu cầu đề bài. Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về phương trình bậc 2 một ẩn. Hy vọng qua bài viết, các bạn sẽ hiểu rõ hơn về chủ đề này. Ngoài việc tự củng cố kiến thức cho bản thân, các bạn cũng sẽ rèn luyện thêm được tư duy giải quyết các bài toán về phương trình bậc 2. Các bạn cũng có thể tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru để khám phá thêm nhiều kiến thức mới. Chúc các bạn sức khỏe và học tập tốt! Cho phương trình $ax + b = 0$. Chọn mệnh đề đúng: Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: Phương trình ${x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0$: Phương trình ${x^2} + m = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi: Hai số $1 - \sqrt 2 $ và $1 + \sqrt 2 $ là các nghiệm của phương trình: Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là : Phương trình $\left( {{m^2}-2m} \right)x = {m^2}-3m + 2$ có nghiệm khi:
. Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai ( điều kiện về nghiệm ): - Có hai nghiệm đều dương là : ≥ 0 , P > 0 , S > 0 ( Hai nghiệm phân biệt đều dương : > 0 , P > 0 , S > 0 ) - Có hai nghiệm đều âm : ≥ 0 , P > 0 , S < 0 ( Hai nghiệm phân biệt đều âm : > 0 , P > 0 , S < 0 ) - Có hai nghiệm trái dấu là: P < 0 ( hay a và c trái dấu) - Có hai nghiệm cùng dấu là : ≥ 0 , P > 0 - (Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là : > 0 , P > 0) . Để biết cùng dấu gì thì xét S - Có hai nghiệm phân biệt đối nhau là > 0 , S = 0 ( Hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau) Bạn đang xem nội dung tài liệu Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a khác 0), để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0) A TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Công thức nghiệm: ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0) D = b2 – 4ac D> 0 D= 0 < 0 D< 0 Vô nghiệm 2. Công thức nghiệm thu gọn: ( khi b = 2b’ ) ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0) D’ = b’2 – ac D’ < 0 D’= 0 D’ > 0 < 0 Vô nghiệm 3. Nếu x = n là nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0) thì : an2 + bn + c = 0 4. Hệ thức Viet và ứng dụng: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có: - Hai nghiệm x1 , x2 thì S = x1 + x2 = P = x1.x2 = - Một nghiệm x = 1 thí a + b + c = 0 , ngược lại a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 = - Một nghiệm x = -1 thí a - b + c = 0 , ngược lại a - b + c = 0 thì x1 = -1; x2 = - 5. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu u + v = S , u.v = P thì u và v là hai nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0 ( Đ K: S2 -4P ≥ 0 ) 6. Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai ( điều kiện về nghiệm ): - Có hai nghiệm đều dương là : D ≥ 0 , P > 0 , S > 0 ( Hai nghiệm phân biệt đều dương : D > 0 , P > 0 , S > 0 ) - Có hai nghiệm đều âm : D ≥ 0 , P > 0 , S < 0 ( Hai nghiệm phân biệt đều âm : D > 0 , P > 0 , S < 0 ) Có hai nghiệm trái dấu là: P < 0 ( hay a và c trái dấu) Có hai nghiệm cùng dấu là : D ≥ 0 , P > 0 (Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là : D > 0 , P > 0) . Để biết cùng dấu gì thì xét S Có hai nghiệm phân biệt đối nhau là D > 0 , S = 0 ( Hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau) B. BÀI TẬP: Bài 1: Giải các phương trình: a/ 2x2 + 3x -2 = 0 b/ x2 – 4x – 12 = 0 c/ 9x2 – 30x + 25 = 0 d/ x2 – 4x – 2 = 0 Hướng dẫn hs: dùng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải Bài 2: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau: a/ x2 – 9x + 20= 0 b/ x2 +9x + 20 = 0 c/ 3x2 +2x – 5 = 0 d/ 3x2 – 2x – 5 = 0 Hướng dẫn học sinh : Câu a, b dùng tổng tích ( lưu ý học sinh tính D để xác định phương trình có nghiệm trước khi sử dụng S , P) Câu c: dùng a + b + c = 0 Câu d: dúng a – b + c = 0 Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn x: 2x2 – mx + 3 = 0 ( 1) ( m là tham số) Giải phương trình ( 1 ) khi m = 7. Xác định giá trị của m để phương trình ( 1 ) có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại. Xác định giá trị của m để phương trình ( 1 ) có một nghiệm bằng – 1. Tìm nghiệm còn lại. Giải Khi m = 7 thì phương trình ( 1 ) trở thành: 2x2 – 7x + 3 = 0 D = b2 – 4ac = ( -7)2 - 4.3.2 = 25 > 0 x1 = x2 = 2x2 – mx + 3 = 0 ( 1 ) Phương trình ( 1 ) có nghiệm x1 = 1 khi a+b+c = o tức là 2 + ( -m ) +3 = 0 Þ m = 5 Nghiệm còn lại; x2 = 2x2 – mx + 3 = 0 (1) Phương trình ( 1 ) có nghiệm x1 = -1 khi a – b +c = o tức là 2 - ( -m ) +3 = 0 Þ m =- 5 Nghiệm còn lại; x2 = Bài 4:Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 8x + m = 0 Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn một trong các điều kiện sau: x1 – x2 = 2 x1 = 3x2 2x1 +3 x2 = 26 Giải D = b2 – 4ac = ( -8 )2 – 4m = 64 – 4m Để phương trình có nghiệm x1 , x2 thì D ≥ 0 tức là 64 – 4m ≥ 0 Û m 16 Ta có: x1 + x2 = = 8 ( 1) x1.x2 = = m ( 2 ) Mà x1 – x2 = 2 ( 3) Từ (1) và (3) ta được : Thay vào ( 2) ta được: 5.3 = m Þ m = 15 ( thỏa) Vậy m = 15 thì phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa x1 – x2 = 2 Câu b, c hướng dẫn tương tự. Bài 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 +2 (m +1) x + m2 = 0 (1) a/ Giải phương trình khi m = 4 b/ Tìm giá trị của m để phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm phân biệt đó có một nghiệm bằng – 2 . Giải Khi m = 4 ta được: x2 + 10x + 16 = 0 D’ = b’2 – ac = 52 – 16 = 9 > 0 x1 = x2 = D’ = b’2 – ac = ( m + 1 )2 – m2 = 2m + 1 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi D’ > 0 Þ 2m + 1 > 0 Þ m > Phương trình có một nghiệm bằng – 2 nên ta có: ( -2)2 + 2(m+1). (-2) + m2 = 0 ( thỏa) Vậy: với m = 0 hoặc m = 4 thì phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm phân biệt đó có một nghiệm bằng – 2 ( Hướng dẫn thêm cách giải bằng hệ thức Viet) Bài 6: Cho phương trình bậc hai: x2 -2 ( m+ 1)x + m – 4 = 0 ( 1) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Chứng minh rằng biểu thức M = x1(1 –x2) + x2 (1 –x1) không phụ thuộc vào m. Giải D’ = [- (m+1) ] 2 – ( m - 4 ) = m2 + 2m +1 – m + 4 = m2 + m + 5 =(m + )2 + > 0 với mọi m Vậy phương trình ( 1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi P < 0 Þ m – 4 < 0 Þ m < 4 ( Hướng dẫn cách a và c trái dấu ) Ta có x1 + x2 = 2( m + 1) ; x1.x2 = m – 4 M = x1(1 –x2) + x2 (1 –x1) = x`1 – x1x2 + x2 – x1x2 = x1+x2 – 2x1x2 = 2(m+1) – 2(m – 4 ) = 2m+ 2 – 2m + 8 = 10 Vậy biểu thức M không phụ thuộc vào m Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + mx + 2m – 4 = 0 (1) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm cùng dấu gì? Giải D = b2 – 4ac = m2 – 4(2m – 4) = m2 – 8m + 16 = (m – 4)2 ≥ 0 với mọi m Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m b.Do D≥ 0 nên phương trình ( 1) có hai nghiệm cùng dấu khi P > 0 Þ 2m -4 > 0 Þ m > 2 Ta có S = x1 + x2 = - m Mà m > 2 Þ - m < - 2 Þ S < 0 Vậy với m > 2 thì phương trình ( 1) có hai nghiệm cùng dấu và khi đó hai nghiệm cùng dấu âm. C. BÀI TẬP TỰ RÈN: Bài 1: Cho phương trình bậc hai ẩn x: 3x2 -7x + 2k = 0 (k là tham số) Tìm k để phương trình: Có nghiệm kép Vô nghiệm Bài 2: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 3x + 1 - m2= 0 (m là tham số) (1) Chứng minh rằng phương trình phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Giải phương trình với m = Bài 3: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng – 5 và tích của chúng bằng – 24 . Bài 4: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + (m + 1) x + m = 0 (m là tham số) (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Tìm một hệ thức giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m. ( độc lập với m ) Bài 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 2( m – 3)x + m2 –- 4 = 0 (m là tham số) (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm bằng – 3 . Khi đó tính nghiệm còn lại. Bài 6: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 2 (m – 3 ) x – m – 1 = 0 (m là tham số) (1) a.Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b.Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 +x22 – x1x2 Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + 2 (m – 1 ) x + m – 3 = 0 (1) a. Giải phương trình khi m = 4 b.Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm giá trị biểu thức của A = x12 +x22 . Bài 8: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 2 mx + m –- 4 = 0 (m là tham số) (1) a.Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đều dương. b.Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đối nhau. Xác định hai nghiệm đó. c. Tìm giá trị của m để A = 4x1x2 – (x1 + x2)2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 9: Cho phương trình bậc hai ẩn x: 2x2 - 6x + m = 0 (1) Với giá trị nào của m thì phương trình: a.Có hai nghiệm đều dương b. có hai nghiệm x1,x2 sao cho Bài 10: Cho phương trình bậc hai ẩn x: mx2 – 2(m+2)x + m = 0 (1) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều âm. File đính kèm:
|
