Trong nội dung chương trình Đại số lớp 9, các em sẽ được tiếp xúc với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Nó là bài học cần thiết để các em áp dụng trong các bài học về giải phương trình. Bài viết hôm nay, Toppy sẽ giúp các em nắm được khái niệm, hiểu được tập hợp nghiệm và quan trọng hơn là có thể áp dụng giải các bài tập thường gặp nhất.
Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
Trong đó, ax+by=c và a’x+b’y=c là phương trình bậc nhất hai ẩn. Để hiểu phương trình bậc nhất 2 ẩn là gì, các em cần nhớ lại kiến thức của bài học trước. Nó dạng phương trình có dạng phương trình có dạng ax + by = c, trong đó a,b,c là những số cho trước a≠0 hoặc
b ≠0.
Trong hệ hai phương trình hai ẩn này, nếu cả hai phương trình thuộc hệ có nghiệm chung thì lúc này nghiệm chung tìm được sẽ là nghiệm của hệ phương trình. Tuy nhiên, các em cũng sẽ gặp trường hợp chẳng tìm được nghiệm nào của phương trình cả. Lúc này, chúng ta nói hệ phương trình này vô nghiệm. Nếu hệ hai phương trình có cùng tập hợp nghiệm thì sẽ có hệ phương trình cùng tập hợp nghiệm.
Khi đi giải hệ phương trình tức là chúng ta đang đi tìm nghiệm của hệ phương trình đó. Thế nên khi gặp bài giải hệ phương trình thì tức là đang yêu cầu các em đi tìm nghiệm của hệ phương trình nhé.
Minh họa hình học tập nghiệm của hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn
Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ được biểu diễn bởi các tập hợp điểm chung của hai đường thẳng sau: ax+by=c [d] và a’x+b’y=c [d’].
Chúng ta có 3 trường hợp xảy ra, gồm:
Trường hợp 1: d ∩ d’ = A[x0, y0] tương đương hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x0;y0]
Trường hợp 2: d//d’ thì hệ phương trình vô nghiệm và ngược lại
Trường hợp 3: d=d’ thì hệ phương trình có vô số nghiệm và ngược lại.
Minh họa mô hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
Cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ được giải bằng hai phương pháp, cũng giống như hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trước tiên là giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số, sau đó là phương pháp thế.
Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số
Phương pháp thế là phương pháp đầu tiên được thực hiện. Ở phương pháp này, quy tắc được đưa ra là biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Để thực hiện được phép biến đổi này, trước tiên, các em cần cộng hay trừ từng vế phương trình của hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình hai ẩn mới. Sau đó, hãy dùng phương trình mới vừa ra được thay thế cho một trong hai phương trình của hệ, nhớ là giữ nguyên phương trình còn lại.
Quy tắc này cần được thực hiện đúng thì các em mới giải được bằng phương pháp cộng đại số đúng. Các em nên thực hiện bài toán bằng cách trải qua các bước sau:
- Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình trong hệ phương trình với một số thích hợp, sao cho hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ phương trình bằng nhau hoặc đối nhau
- Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số chúng ta vừa nêu ở trên để cho ra kết quả là một hệ phương trình mới, trong đó lưu ý, một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 [tức là phương trình một ẩn, chứ không phải hai ẩn]
- Bước 3: Lúc này, phương trình đã là phương trình một ẩn rồi, các em áp dụng cách giải của phương trình một ẩn để tìm ra nghiệm đã cho.
Để hiểu hơn cách áp dụng của phương pháp này, các em theo dõi cách giải bài toán bằng ví dụ sau đây.
Bài tập ví dụ về cách giải phương trình bậc 2 hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số
Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế
Quy tắc mà các em cần phải nhớ khi sử dụng phương pháp thể để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn chính là dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình mới tương đương. Quy tắc này được thể hiện thông qua hai bước. Đầu tiên, với hệ phương trình đã cho, ta cần biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ 2 để tạo ra một phương trình mới [phương trình một ẩn]. Sau đó, dùng phương trình mới này thay thế cho phương trình thứ 2 trong hệ.
Như vậy, để giải theo phương pháp thế, cần làm theo cách sau:
- Bước 1: Sử dụng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho sang một hệ phương trình mới, trong đó bắt buộc phải xuất hiện một phương trình một ẩn.
- Bước 2: Giải hệ phương trình một ẩn và tìm kiếm nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Với cách giải này, các em sẽ tìm ra nghiệm của hệ phương trình một cách nhanh chóng.
Ví dụ về phương pháp thế và cách giải
Như vậy, các em đã vừa cùng Toppy tìm hiểu xong khái niệm cũng như các phương pháp giải của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn rồi. Đây là một kiến thức toán quan trọng cần nắm chắc. Hy vọng thông qua bài học, các em dễ dàng làm được các bài tương tự nhé.
Tìm hiểu thêm:
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho [coi là phương trình thức nhất], ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới [chỉ còn một ẩn].
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ [phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1].
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Bước 4: Kết luận.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
Quảng cáo
Hướng dẫn:
Giải bằng phương pháp thế.
Chú ý: Ta nên rút y theo x ở phương trình hai của hệ, vì hệ số của y là 1.
Ta có: [2] ⇔ y = 8 - 2x.
Thay vào [1] ta được: 3x - 2[8 - 2x] = 5 ⇔ 7x - 16 = 5 ⇔ 7x = 21 ⇔ x = 3.
Với x = 3 thì y = 8 – 2.3 = 2.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là [x;y] = [3;2].
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn:
Từ pt [2] ta có: x = 5 + 3y.
Thay x = 5 + 3y vào pt [1] ta được:
4[5 + 3y] + 5y = 3 ⇔ 12y + 5y + 20 = 3 ⇔ 17y = – 17 ⇔ y = – 1.
Với y = – 1 thì x = 5 + 3[ – 1 ] = 2.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là [x;y] = [2;-1].
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:
Quảng cáo
Hướng dẫn:
Từ pt [1] ta có: y = –3 – 2x.
Thay y = –3 – 2x vào pt [2] ta được:
2x – 3[–3 – 2x] = 17 ⇔ 2x + 6x + 9 = 17 ⇔ 8x = 8 ⇔ x = 1.
Với x = 1 thì y = –3 – 2.1 = – 5.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là [x;y] = [1;- 5].
Câu 1: Hệ phương trình sau:
A. [x;y] = [2;1]
B. [x;y] = [1;2]
C. [x;y] = [2;–1]
D. [x;y] = [1;1]
Hướng dẫn:
Ta có:
3x – 2[5 – 2x] = 4 ⇔ 3x + 4x – 10 = 4 ⇔ 7x = 14 ⇔ x = 2.
Với x = 2 thì y = 5 – 2.2 = 1.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là [x;y] = [2;1].
Chọn đáp án A.
Câu 2: Trong các hệ phương trình sau đâu là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn?
Hướng dẫn:
Chọn đáp án A.
Vì HPT bậc nhất 2 ẩn có dạng là:
Câu 3: Tìm a, b sao cho hệ phương trình sau:
Quảng cáo
A. a = 2, b = 3
B. a = 1, b = 3
C. a = 1, b = 4
D. a = 4, b = 1
Hướng dẫn:
Vì hpt [I] có nghiệm [x;y] là [8;5] nên ta có:
Vậy đáp án đúng là C.
Câu 4: Cho hệ phương trình sau:
A. 3
B. 5
C. 4
D. 6
Hướng dẫn:
Ta có: 2x + y = 7 ⇒ y = 7 – 2x [1].
Thay [1] vào pt: – x + 4y = 10 ta được:
– x + 4[7 – 2x] = 10 ⇔ – x + 28 – 8x = 10 ⇔ – 9x = –18 ⇔ x = 2.
Với x = 2 thì y = 7 – 2.2 = 3.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là [x;y] = [2;3].
Do đó x + y = 2 + 3 = 5.
Chọn đáp án B.
Câu 5: Tìm a, b sao cho đường thẳng [d]: y = ax + b đi qua hai điểm A[2;3] và B[–2;1].
A. a = 3, b = 2
B. a = 1, b = 2
C. a = ½, b = 1
D. a = ½, b = 2
Hướng dẫn:
Vì đường thẳng [d] hai qua hai điểm A,B nên ta có:
Từ –2a + b = 1 ⇒ b = 1 + 2a [1]
Thay [1] vào pt: 2a + b = 3 ta được:
2a + b = 3 ⇒ 2a + 1 + 2a = 3 ⇔ 4a = 2 ⇔ a = ½.
Với a = ½ thì b = 1 + 2. ½ = 2. Vậy a = ½ và b = 2.
Chọn đáp án D.
Câu 6: Hệ phương trình sau: . Tìm 2x – y =?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Hướng dẫn:
Từ pt: x + y = 5 ⇒ x = 5 – y [1].
Thay [1] vào pt: 2x – y = 1 ta được:
2x – y = 1 ⇒ 2[5 – y] – y = 1 ⇔ 10 – 2y – y = 1 ⇔ 3y = 9 ⇔ y =3.
Với y = 3 thì x = 5 – 3 = 2.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là [x;y] = [2;3].
Do đó: 2x – y = 2.2 – 3 = 4 – 3 = 1.
Chọn đáp án B.
Câu 7: Cho hệ phương trình sau:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án C.
Câu 8: Nghiệm [x;y] = [2;1] là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án B. Vì khi thay [x;y] = [2;1] vào hệ thỏa mãn.
Ta có:
pt [1] VT = 2x + y = 2.2 + 1 = 5 = VP
pt [2] VT = x + y = 2 + 1 = 3 = VP
⇒ Nghiệm [x;y] = [2;1] là nghiệm của hệ phương trình [II].
Câu 9: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. Không có nghiệm
B. Có một nghiệm duy nhất.
C. Có vô số nghiệm.
D. Có hai nghiệm
Hướng dẫn:
Ta có: x + y = 5 ⇒ x = 5 – y [1].
Thay [1] vào pt: x + y = 3 ta được: 5 – y + y = 3 ⇒ 0y = 2 [vô lý].
Vậy hệ phương trình không có nghiệm nào thỏa mãn.
Chọn đáp án A.
Câu 10: cho hệ phương trình sau: . Kết quả của 2xy – 1 = ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Hướng dẫn:
Ta có: x – y = 0 ⇒ x = y [1].
Thay x = y vào pt: 2x – y = 1 ta được: 2x – x = 1 ⇔ x = 1
Với x = 1 ⇒ y = 1.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là [x;y] = [1;1].
Do đó: 2xy – 1 = 2.1.1 – 1 = 1.
Chọn đáp án B.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án chi tiết hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.