Đề bài
Rút gọn :
a] \[\dfrac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - \sqrt {xy} \] với \[x > 0,y > 0\];
b] \[\left[ {2 + \dfrac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right]\left[ {2 - \dfrac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right]\] với \[a \ge 0,a \ne 1\];
c] \[\left[ {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right]\left[ {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right]\] với \[x > 0,x \ne 1\];
d] \[\dfrac{{15\sqrt x - 11}}{{x + 2\sqrt x - 3}} + \dfrac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}}\] với \[x \ge 0,x \ne 1\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Quy đồng mẫu các phân thức.
+] Biến đổi và rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết
\[\begin{array}{l}a]\;\dfrac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }} - \sqrt {xy} \;\;\;\left[ {x,\;y > 0} \right]\\ = \dfrac{{\sqrt {xy} \left[ {\sqrt x + \sqrt y } \right]}}{{\left[ {\sqrt x + \sqrt y } \right]}}\\ = \sqrt {xy} .\end{array}\]
\[\begin{array}{l}b]\;\left[ {2 + \dfrac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right]\left[ {2 - \dfrac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right]\\ = \left[ {2 + \dfrac{{\sqrt a \left[ {\sqrt a - 1} \right]}}{{\sqrt a - 1}}} \right]\left[ {2 - \dfrac{{\sqrt a \left[ {\sqrt a + 1} \right]}}{{\sqrt a + 1}}} \right]\\ = \left[ {2 + \sqrt a } \right]\left[ {2 - \sqrt a } \right]\\ = 4 - a.\end{array}\]
\[\begin{array}{l}c]\;\left[ {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right]\left[ {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right]\;\;\left[ {x > 0,\;\;z \ne 1} \right]\\ = \dfrac{{{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]}^2} - {{\left[ {\sqrt x + 1} \right]}^2}}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x - 1} \right]}}.\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1 - \left[ {x + 2\sqrt x + 1} \right]}}{{x - 1}}.\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1 - x - 2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 4\sqrt x }}{{\sqrt x }} = - 4.\end{array}\]
\[\begin{array}{l}d]\;\;\dfrac{{15\sqrt x - 11}}{{x + 2\sqrt x - 3}} + \dfrac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}}\;\;\left[ {x \ge 0,\;x \ne 1} \right]\\ = \dfrac{{15\sqrt x - 11}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}} - \dfrac{{3\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}}\\ = \dfrac{{15\sqrt x - 11 - \left[ {3\sqrt x - 2} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right] - 3\left[ {\sqrt x - 1} \right]}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}}\\ = \dfrac{{15\sqrt x - 11 - \left[ {3x + 7\sqrt x - 6} \right] - 3\sqrt x + 3}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}}\\ = \dfrac{{12\sqrt x - 8 - 3x - 7\sqrt x + 6}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}}\\ = \dfrac{{ - 3x + 5\sqrt x - 2}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}}\\ = - \dfrac{{\left[ {3\sqrt x - 2} \right]\left[ {\sqrt x - 1} \right]}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}}\\ = - \dfrac{{3\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}\]