Đề bài
Cho đường tròn \[[O]\] và hai đường kính \[AB, CD\] vuông góc với nhau. Lấy một điểm \[M\] trên cung \[AC\] rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn \[[O]\] tại \[M.\] Tiếp tuyến này cắt đường thẳng \[CD\] tại \[S.\] Chứng minh rằng \[\widehat {MSD} = 2\widehat {MBA}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+] Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng chắn một cung.
Lời giải chi tiết
Xét đường tròn \[[O]\] có \[SM \bot OM\] [tính chất tiếp tuyến]
\[ \Rightarrow \Delta OMS\] vuông tại \[M\]
Nên \[\widehat {MSO} + \widehat {MOS} = {90^o}\]
Lại có: \[AB \bot CD\] \[[gt]\]
\[ \Rightarrow \widehat {MOS} + \widehat {MOA} = {90^o}\]
Suy ra: \[\widehat {MSO} = \widehat {MOA}\] hay \[\widehat {MSD} = \widehat {MOA}\] \[[1]\]
Mà \[\widehat {MOA} = 2\widehat {MBA}\] [góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung \[\overparen{AM}\]] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[\widehat {MSD} = 2\widehat {MBA}\]