Đề bài
Tìm hàm số bậc hai có đồ thị là parabol \[[P]\], biết rằng đường thẳng \[y = -2,5\] có một điểm chung duy nhất với \[[P]\] và đường thẳng \[y = 2\] cắt \[[P]\] tại hai điểm có hoành độ là -1 và 5. Vẽ parabol \[[P]\] cùng các đường thẳng \[y = -2,5\] và \[y = 2\] trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
Lời giải chi tiết
Đường thẳng \[y = -2,5\] song song với trục hoành.
Do đường thẳng này có một điểm chung duy nhất với parabol \[[P]\] nên điểm chung ấy chính là đỉnh của parabol \[[P]\].
Từ đó suy ra đỉnh \[[I]\] của parabol \[[P]\] có tung độ \[y = -2,5.\]
Đường thẳng \[y = 2\] cũng song song với trục hoành.
Do đó trung điểm \[C\] của đoạn thẳng \[AB\] nằm trên trục đối xứng của parabol.
Hoành độ của điểm \[C\] là \[x = {{ - 1 + 5} \over 2} = 2.\]
Vậy trục đối xứng của parabol là đường thẳng \[x = 2\], suy ra hoành độ đỉnh \[I\] của \[[P]\] là \[x = 2.\]
Tọa độ của \[I\] là \[[2 ; -2,5]\]. Từ đó suy ra nếu \[[P]\] là đồ thị của hàm số \[f[x] = a{x^2} + bx + c\] thì
\[f\left[ { - 1} \right] = a - b + c = 2, - {b \over {2a}} = 2\] và \[ - {\Delta \over {4a}} = - {{{b^2} - 4ac} \over {4a}} = - 2,5.\]
Từ đó suy ra \[a = {1 \over 2},b = - 2,c = - {1 \over 2}\] và hàm số cần tìm là \[y = {1 \over 2}{x^2} - 2x - {1 \over 2}.\]
Đồ thị của hàm số