Đề bài
Cho đường tròn \[[C]\] có tâm \[O\] bán kính \[R\] và đường thẳng \[\Delta \] không cắt \[[C]\]. Chứng minh rằng tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc với \[\Delta \] và tiếp xúc ngoài với \[[C]\] nằm trên một parabol. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol đó.
Lời giải chi tiết
[h.119].
Kẻ \[OH\] vuông góc với \[\Delta \] và kéo dài \[OH\] [về phía \[H\]] một đoạn \[HK=R.\]
Dựng đường thẳng \[\Delta '\] đi qua \[K\] và song song với \[\Delta \]. Khi đó \[\Delta '\] cố định và không đi qua \[O\].
Xét đường tròn \[[C]\] tâm \[I\] tiếp xúc ngoài với \[[C]\] tại \[T\] và tiếp xúc với \[\Delta \] tại \[M\]. Gọi \[N\] là giao điểm của đường thẳng \[IM\] và \[\Delta '\].
Ta có: \[IO = OT + TI \]
\[= R + IM = IN = d[I;\Delta ']\].
Vậy \[I\] nằm trên paprbol nhận \[O\] làm tiêu điểm và \[\Delta '\] làm đường chuẩn.