Tại sao 1 1 n n bằng e
|
We’ve updated our privacy policy so that we are compliant with changing global privacy regulations and to provide you with insight into the limited ways in which we use your data.
Show You can read the details below. By accepting, you agree to the updated privacy policy. Thank you! View updated privacy policy We've encountered a problem, please try again.
Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giảiA. Phương pháp giảiQuảng cáo Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n ≥ m (m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau: Bước 1: Chứng minh rằng P(n) đúng khi n = m. Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy và k ≥ m. Giả sử P(n) đúng khi n = k, ta sẽ chứng minh P(n) cũng đúng khi n= k + 1. Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ m B. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)2 (1) Hướng dẫn giải: + Với n = 1 ta có: Vế trái = 1. 4= 4. Vế phải = 1.(1+ 1)2 = 4. => Vế trái = Vế phải. Vậy (1) đúng với n = 1. + Giả sử (1) đúng với n=k; k ∈ N*; tức là ta có: 1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)=k(k+1)2 (2) Ta chứng minh nó cũng đúng với n= k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh: 1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 + Thật vậy do 1.4+ 2.7+ ...+ k. ( 3k+ 1) = k( k+1)2 nên 1.4+2.7+⋯+k( 3k+1)+( k+1).(3k+4)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4) = k( k2+2k+ 1)+ 3k2 + 4k+ 3k+ 4 = k3 + 2k2 + k+3k2 + 7k+ 4 = k3 + 5k2 + 8k+ 4 = (k + 1).(k + 2)2 Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Ví dụ 2: Chứng ming rằng với mọi số nguyên dương n ta có :  Quảng cáo Hướng dẫn giải: + Với n = 1: Vế trái Vế phải => Vế trái = Vế phải. Vậy (1) đúng với n = 1. + Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có: * Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh: * Thật vậy
Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Ví dụ 3: Với mỗi số nguyên dương n, gọi un = 9n − 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì un luôn chia hết cho 8. Hướng dẫn giải: + Với n = 1 ta có u1 = 91 − 1 = 8 chia hết cho 8 (đúng). + Giả sử uk = 9k − 1 chia hết cho 8 với k ∈ N* Ta cần chứng minh: uk + 1 = 9k + 1 − 1 chia hết cho 8. * Thật vậy, ta có uk+1=9k+1 − 1 = 9.9k − 1 = 9(9k − 1) + 8 = 9uk + 8. Vì 9uk và 8 đều chia hết cho 8 => uk+ 1 = 9k + 8 ⋮ 8. Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 8. Quảng cáo Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta luôn có: 2n + 1 > 2n+ 3 (*) Hướng dẫn giải: + Với n = 2 ta có : 22 + 1 = 8 và 2.2+ 3= 7 => 8 > 7 nên (*) đúng khi n = 2 + Giả sử với n = k; k ≥ 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k+ 1 > 2k + 3 (1). Ta phải chứng minh (*) đúng với n= k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh: 2k+2 > 2(k+1)+3 * Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được: 2.2k+1 > 2(2k+3) ⇔ 2k+2 > 4k + 6 > 2(k + 1) + 3 Vậy 2k+2 > 2(k+1)+3 (đúng). Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: Hướng dẫn giải: * Với n = 1: Vế trái của (1) = 1 và vế phải của (1) Vậy (1) đúng với n = 1. * Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có: Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh: * Thật vậy 12+32+52+⋅⋅⋅+(2k − 1)2+(2k+1)2 = + (2k+1)2 (thế (2) vào).
Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Ví dụ 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương n và n ≥ 5 thì 2n > n2 (*) Hướng dẫn giải: * Với n = 5 ta có: 25 > 52 ( vì 32 > 25) (đúng). Vậy (*) đúng với n = 5. * Giả sử với n= k; k ≥ 5 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k > k2 (1). Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh: 2k+1 > (k+1)2 * Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được: 2. 2k > 2.k2 ⇔ 2k+1 > k2 + k2 ⇔ 2k+1 > k2 + 2k + 1= (k+1)2 (vì k2 > 2k+ 1 với mọi k ≥ 5) . Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n≥5. Ví dụ 7: Chứng minh với mọi số nguyên n ta có: Quảng cáo Hướng dẫn giải: * Với n = 1: Vế trái của (1) = 1. 2= 2, vế phải của (1) Suy ra (1) đúng với n= 1. * Giả sử (1) đúng với n= k; k∈N*.Có nghĩa là ta có: 1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)= (2) *Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh: 1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2)= Thật vậy: 1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2) Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 1.2 + 2.5 + 3.8+ ..+ n(3n − 1) = n2(n+1) (1) Hướng dẫn giải: * Với n = 1: Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1)= 12.( 1+ 1)= 2. Suy ra (1) đúng với n = 1. * Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có: 1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) = k2(k+1) (2) Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh: 1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k+1)(3k+2) = (k+1)2(k+2) Thật vậy: 1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = k2(k+1) + (k + 1)(3k + 2) = (k + 1)(k2 + 3k + 2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = (k+1)2(k+2) (đpcm). Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Ví dụ 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: n3 − n chia hết cho 3 Hướng dẫn giải: Đặt un = n3 − n * Ta có u1 = 13 − 1 = 0 chia hết cho 3 => đúng với n = 1. * Giả sử uk = k3 − k chia hết cho 3. Ta cần chứng minh uk+1 = (k + 1)3 − (k + 1) chia hết cho 3. * Thật vậy, uk+1 = k3+ 3k2 + 3k + 1 − k − 1 = k3 + 3k2 + 2k ⇔ uk + 1 = (k3 − k) + (3k2 + 3k) = uk +3(k2 + k) Vì uk và 3(k2 + k) đều chia hết cho 3, nên uk+1 cũng chia hết cho 3. Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3. Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 2n3 − 3n2 + n chia hết cho 6. Hướng dẫn giải: * Đặt un = 2n3 − 3n2 + n *Ta có: u1 = 2. 13 − 3 . 12 + 1 = 0 chia hết cho 6 => đúng với n = 1. * Giả sử uk = 2k3 − 3k2+ k chia hết cho 6. Ta cần chứng minh: uk + 1 = 2.(k+1)3 − 3.(k+1)2 + k+1 chia hết cho 6. * Thật vậy ta có: uk+1 = 2.k3+ 6k2 + 6k + 2 − 3k2 − 6k − 3 + k + 1 ⇔ uk + 1 = 2k3 + 3k2 + k = 2k3 − 3k2 + k + 6k2 = uk + 6k2 Vì uk và 6k2 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6. Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6. Ví dụ 11: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 13n − 1 chia hết cho 6. Hướng dẫn giải: * Đặt un = 13n − 1 * Với n = 1, ta có u1 = 131 − 1 = 12 chia hết cho 6 => đúng với n = 1. * Giả sử uk = 13k − 1 chia hết cho 6 (với k ∈ N*). Ta cần chứng minh: uk+1= 13k+1 − 1 ⋮ 6 . * Thật vậy ta có: uk+1 = 13 . 13k − 1 = 13(13k − 1) + 12 = 13.uk + 12 Vì 13uk và 12 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6. Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6. Ví dụ 12: Chứng minh với mọi số nguyên n và n ≥ 3 thì 3n > n2 + 4n + 5 (*) Hướng dẫn giải: * Với n = 3 ta có 33 > 32 + 4.3 + 5 ⇔ 27 > 26 (đúng). Vậy (*) đúng với n = 3. * Giả sử với n = k ; k ≥ 3 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 3k > k2 + 4k + 5 (1). Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh: 3k + 1 > (k+1)2 + 4(k+1) + 5 * Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 3 ta được: 3.3k > 3.k2 + 12k + 15 ⇔ 3k + 1 > (k2 + 2k + 1) + 4(k+1)+ 5 + (2k2 + 6k + 5) (2) Vì (2k2 + 6k + 5) > 0 với mọi k ≥ 3 (3) Từ (2) và (3) suy ra: 3k+1 > (k2 + 2k + 1) + 4(k + 1) + 5 Hay 3k+1 > (k+1)2 + 4(k+1) + 5 Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3. C. Bài tập trắc nghiệmCâu 1: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..+ n(n+1).(n+2) = (1) *Với n = 1: Vế trái của (1) = 1.2.3= 6, vế phải của Suy ra (1) đúng với n = 1. * Giả sử (1) đúng với n = k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có: 1.2.3+2.3.4+3.4.5+⋅⋅⋅+k(k+1)(k+2) = (2) Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy:
Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Câu 2: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ≥ 2 ta có: *Với n = 2: Vế trái của , vế phải của Suy ra (1) đúng với n = 2. * Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có: Ta chứng minh (1) đúng với n= k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh: Thật vậy ta có: Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 . Câu 3: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: * Với n = 1: Vế trái của (1) = 1, vế phải của (1)= 2√1 = 2. Suy ra (1) đúng với n = 1. * Giả sử (1) đúng với n = k; k ≥ 1 Có nghĩa là ta có: Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh: *Thật vậy:
Vì: ⇔ 2√(k(k+1) ) + 1 < 2(k+1) ⇔ 2√(k2 + k) < 2k+1 ⇔ 4(k2 + k) < (2k + 1)2 ⇔ 4k2 + 4k < 4k2 + 4k + 1 ( luôn đúng ) do đó (3) luôn đúng với mọi số nguyên dương k. Vậy (1) đúng khi n = k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Câu 4: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: *Với n = 1: Vế trái của , vế phải của Suy ra (1) đúng với n = 1. *Giả sử (1) đúng với n = k. Có nghĩa là ta có: Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh: Thật vậy:
Vậy (1) đúng khi n = k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Câu 4: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: * Với n = 1: Vế trái của , vế phải của . Suy ra (1) đúng với n = 1. * Giả sử (1) đúng với k; k ∈ N* . Có nghĩa là ta có: Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1. Ta phải chứng minh: * Thật vậy:
Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Câu 5: Chứng minh với mọi số nguyên n thì n3 + 11n chia hết cho 6. + Với n = 1 ta có 13 + 11 . 1 = 12 chia hết cho 6 đúng. +Giả sử với n = k (k ∈ N*) thì k3 + 11k chia hết cho 6. Ta phải chứng minh với n = k + 1 thì (k+1)3 + 11( k+1) chia hết cho 6. + Thật vậy ta có: (k+1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1+ 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k(k + 1)+ 12 (*) + Do k3 + 11k chia hết cho 6 theo bước 2. k(k + 1)⋮ nên 3k(k+1) ⋮ 6 và 12 ⋮ 6 => (k3 + 11k) + 3k(k + 1) + 12 ⋮ 6 Từ đó suy ra (k + 1)3 + 11(k + 1) ⋮ 6 (đpcm). Câu 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3. * Đặt un = n3 + 3n2 + 5n * Ta có u1 = 13 + 3.12 + 5 . 1 = 9 ⋮ 3. => đúng với n = 1 * Giả sử uk = k3 + 3k2 + 5k ⋮ 3. Ta cần chứng minh uk+1 = (k+1)3 + 3.(k+1)2 + 5(k + 1) ⋮ 3 * Thật vậy, uk + 1 = k3 + 3k2 +3k + 1 + 3k2 + 6k + 3+ 5k + 5 ⇔ uk+1 = (k3 + 3k2 + 5k) + (3k2 + 9k + 9) = uk + 3(k2 + 3k + 3) Vì uk ⋮ 3 và 3( k2 + 3k + 3) ⋮ 3 nên uk+1 ⋮ 3 Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3. Câu 7: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 4n + 15n − 1 chia hết cho 9 *Đặt un = 4n + 15n − 1 *Với n = 1, ta có u1 = 41 + 15 . 1 − 1 = 18 chia hết cho 9 =>đúng với n = 1. * Giả sử uk = 4k +15k − 1 chia hết cho 9. Ta cần chứng minh uk + 1 = 4k + 1 + 15(k + 1) − 1 chia hết cho 9. *Thật vậy ta có: uk+1 = 4.4k + 15k+ 14 = 4( 4k + 15k − 1) − 45k + 18 = 4.uk + 9(2 − 5k) Vì 4uk và 9(2 − 5k) đều chia hết cho 9, nên uk+1 cũng chia hết cho 9. Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 9. Câu 8: Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì 4n + 6n + 8 chia hết cho 9 * Đặt un = 4n + 6n+ 8 * Với n = 1, ta có u1 = 41 + 6 . 1 + 8 = 18 chia hết cho 9 => đúng với n = 1. * Giả sử uk = 4k + 6k + 8 chia hết cho 9. Ta cần chứng minh uk + 1 = 4k + 1 + 6(k+ 1)+ 8 chia hết cho 9. Thật vậy ta có uk+1 = 4. 4k + 6k + 14 = 4. (4k + 6k + 8) − 18k + 18 = 4.uk + 18(1 − k) Vì 4uk và 18(1 − k) đều chia hết cho 9, nên uk+1 cũng chia hết cho 9. Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 9 Câu 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 7.22n − 2 + 32n − 1 chia hết cho 5? * Đặt un = 7. 22n − 2 +32n − 1 * Với n = 1, ta có u1 = 7. 22 . 1 − 2 + 32 . 1 − 1 = 10 chia hết cho 5 =>đúng với n= 1. * Giả sử uk = 7. 22k − 2 +32k − 1 chia hết cho 5. Ta cần chứng minh uk+1 = 7.22k + 32k + 1 chia hết cho 5. Thật vậy ta có uk+1 = 4.(7.22k−2 + 32k − 1) − 4. 32k − 1 + 32k+1 = 4uk + 5.32k−1 Vì 4.uk và 5.32k−1 đều chia hết cho 5, nên uk+1 cũng chia hết cho 5. Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 5. Câu 10: Chứng minh với mọi n nguyên và n ≥ 4 ta có: 3n − 1 > n(n+ 2) (1) * Với n = 4, VT = 34 − 1 = 27 và VP = 4.(4 + 2)= 24 => 27 > 24 nên (1) đúng với n = 4 * Giả sử với k ≥ 4;k ∈ N ta có : 3k−1 > k(k+2). Ta cần chứng minh : 3k > (k + 1)(k + 3) Thật vậy, ta có : 3k = 3.3k−1 > 3k.(k+ 2). Lại có : 3k(k+ 2) > (k+1)(k+ 3) ⇔ 2k2 +2k − 4 > 0 bất đẳng thức này đúng với mọi k ≥ k. Suy ra 3k > (k + 1)(k+3) (đúng). Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 4. Câu 11: Chứng minh với mọi số nguyên n và n ≥ 2 ta có : * Đặt * Với n= 2 ta có => đúng với n= 2. *Giả sử với n = k ≥ 2 ; k ∈ N thì (*) đúng, có nghĩa ta có: *Ta phải chứng minh (*) đúng với n=k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh: *Thật vậy ta có:
*Vậy uk+1 > uk > (đúng). Vậy (*) đúng với n = k + 1. *Suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2. Câu 12: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: nn ≥ (n+1)n − 1 ( 1) * Với n = 1 ta có 11 ≥ (1+1)0 hay 1 ≥ 1 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1. * Giả sử với n = k ; k ∈ N* thì (1) đúng, có nghĩa ta có: kk ≥ (k+1)k − 1 (2). Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh: (k+1)k+1 ≥ (k+2)k Thật vậy, nhân hai vế của (2) với (k+1)k+1 ta được:
Vậy (*) đúng với n = k + 1. Do đó (*) đúng với mọi số nguyên dương n. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com
CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVIDĐăng ký khóa học tốt 11 dành cho teen 2k4 tại khoahoc.vietjack.com Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp Các loạt bài lớp 11 khác
|
