Tìm m để phương trình có giá trị lớn nhất
THPT Sóc Trăngđã chia sẻ với các em bài viết về Cách tìm Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của biểu thức cũng như bài viết về Hệ thức Vi-et và ứng dụng giải các bài toán liên quan.
Ở bài viết này, THPT Sóc Trăngsẽ giới thiệu một dạng toán kết hợp giữa Hệ thức nghiệm Vi-ét và Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất, đó là: Tìm giá trị m để biểu thức nghiệm đạt giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN). I. Một số ví dụ tìm m để biểu thức đạt GTLN, GTNN Bạn đang xem: Tim điều kiện m để giá trị của biểu thức nghiệm đạt Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất – Toán 9 chuyên đề Để giải bài toán tìm giá trị của m m để biểu thức nghiệm đạt giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất ta vận dụng tính chất sau về bất đẳng thức: • Trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được: (trong đó X, Y là các biểu thức không âm; a, b là hằng số) (*)– Thì ta thấy: T≥a (vì X≥0) ⇒ minT = a ⇔ X = 0. T≤b (vì Y≥0) ⇒ maxT = b ⇔ Y = 0. * Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 + (2m – 1)x – m = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức T = x12 + x22 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. * Lời giải: – Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = -b/a = -(2m – 1) và x1.x2 = c/a = -m – Theo bài ra, ta có: T = x12 + x22 – 6x1x2 = x12 + 2x1x2 + x22 – 8x1x2 = (x1 + x2)2 – 8x1x2 = (2m – 1)2 + 8m = 4m2 – 4m + 1 + 8m = 4m2 + 4m + 1 = (2m + 1)2≥0 Suy ra: minT = 0 ⇔ 2m + 1 = 0 ⇔ m = -1/2. * Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – mx + m – 1 = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
> Lời giải: – Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = m và x1x2 = m – 1.
+ Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như hướng dẫn ở đầu bài viết. Ta biến đổi T như sau: Vậy maxT = 1 ⇔ m – 1 = 0 ⇔ m = 1. Với cách thêm bớt khác ta có:
Vậy minT = -1/2 ⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = -2. + Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và T là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số T để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. (**)Ta có: Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì Δ≥0, hay:
Vậy maxT = 1 ⇔ m = 1; minT = -1/2 ⇔ m = -2. II. Bài tập vận dụng * Bài tập 1: Cho phương trình: x2 + (4m + 1)x + 2(m – 4) .Tìm m để biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá trị nhỏ nhất. * Bài tập 2: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0. Tìm m sao cho nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 ≥ 10. * Bài tập 3: Cho phương trình: x2 – 2(m – 4)x + m2 – 8 = 0 xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất * Bài tập 4: Cho phương trình: x2 – (m + 1)x – m2 + m – 2 = 0. Với giá trị nào của m, biểu thức C = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. * Bài tập 5: Cho phương trình x2 + (m + 1)x + m = 0 . Xác định m để biểu thức E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Như vậy, với bài viết về tìm điều kiện m để giá trị của biểu thức nghiệm đạt Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất THPT Sóc Trănghy vọng giúp ích cho các em. Đây cũng là dạng toán hay xuất hiện trong đề thi tuyển sinh lớp 10, vì vậy các em hãy ôn tập thật tốt nhé. Đăng bởi: THPT Sóc Trăng Chuyên mục: Giáo Dục
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Xét hàm số $f(x)=-{{x}^{2}}+4x-m$ trên [-1;3], có $f'(x)=-2x+4$ Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -1\le x\le 3 \\ {} -2x+4=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=2$ Tính $f(-1)=-5-m;f(2)=4-m;f(3)=3-m$ Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(2)=4-m=10\Rightarrow m=-6$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn D Xét hàm số $f(x)=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a$ trên [-1;1], có $f'(x)=-3{{x}^{2}}-6x$ Phương trình$f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -1\le x\le 1 \\ {} -3{{x}^{2}}-6x=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=0$ Tính $f(-1)=-2+a;f(0)=a;f(1)=-4+a$ Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(1)=-4+a=0\Rightarrow a=4.$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn A Ta có $f'(x)=-3{{x}^{2}}+2mx-{{m}^{2}}-m-1;\forall x\in \mathbb{R}.$ Mà $\Delta '=-2{{m}^{2}}-3m-3<0;\forall m\in \mathbb{R}$ Suy ra $y'<0;\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1].$ Do đó hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(-1;1)\Rightarrow \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,y=y(1)=-6$ Lại có $y(1)=-2-{{m}^{2}}\to -2-{{m}^{2}}=-6\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=2 \\ {} m=-2 \\ \end{array} \right..$ Vậy $\sum{m=0.}$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn D Ta có $y'=3{{(x+m)}^{2}}+3{{(x+n)}^{2}}-3{{x}^{2}}=3\left[ {{x}^{2}}+2(m+n)x+{{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right]$ Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \Delta '={{(m+n)}^{2}}-{{m}^{2}}-{{n}^{2}}\le 0\Leftrightarrow mn\le 0$ Lại có $P=4\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)-\left( m+n \right)=4{{\left( m+n \right)}^{2}}-8mn-\left( m+n \right)\ge 4{{\left( m+n \right)}^{2}}-\left( m+n \right)$ $=4{{(m+n)}^{2}}-2.2(m+n).\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}={{\left[ 2(m+n)-\frac{1}{4} \right]}^{2}}-\frac{1}{16}\ge -\frac{1}{16}\Rightarrow {{P}_{\min }}=-\frac{1}{16}$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn C Xét hàm số $f(x)=\frac{x-{{m}^{2}}}{x+8}$ trên [0;3], có $f'(x)=\frac{8+{{m}^{2}}}{{{(x+8)}^{2}}}>0;\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;3]$ Suy ra $f(x)$ là hàm số đồng biến trên $(0;3)\to \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;3]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(0)=-\frac{{{m}^{2}}}{8}$ Theo bài ta, ta có $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;3]}{\mathop{\min }}\,f(x)=-2\Leftrightarrow -\frac{{{m}^{2}}}{8}=-2\Leftrightarrow {{m}^{2}}=16\Rightarrow {{m}_{\max }}=4$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn D Xét hàm số $y=\frac{x+m}{x+1}$ trên [1;2], có $f'(x)=\frac{1-m}{{{(x+1)}^{2}}};\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]$ Do đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 1;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,y+\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 1;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,y=f(1)+f(2)=\frac{1+m}{2}+\frac{2+m}{3}=\frac{16}{3}\Rightarrow m=5$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Xét hàm số $f(x)=\frac{x-m}{x+2}$ trên [0;1]. Có $f'(x)=\frac{m+2}{{{(x+2)}^{2}}};\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]$
Do đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(1)=\frac{1-m}{3};\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(0)=-\frac{m}{2}$ Theo bài ra, ta có $\frac{1-m}{3}\ge 2\left( -\frac{m}{2} \right)\Leftrightarrow 1-m\ge -3m\Leftrightarrow m\ge -\frac{1}{2}$ Kết hợp với $m\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 11 giá trị nguyên m
Do đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(0)=-\frac{m}{2};\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(1)=\frac{1-m}{3}$ Theo bài ra, ta có $-\frac{m}{2}\ge 2.\left( \frac{1-m}{3} \right)\Leftrightarrow -3m\ge 4-4m\Leftrightarrow m\ge 4$ (vô lý) Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu.
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn C Ta có $f'(x)=\frac{1.(-m)-1.(-{{m}^{2}}-2)}{{{(x-m)}^{2}}}=\frac{{{m}^{2}}-m+2}{{{(x-m)}^{2}}}>0;\forall x\ne m$ Với $x=m\notin \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;4]\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>4 \\ {} m4 \\ {} m<0 \\ \end{array} \right.\to m=-3$ là giá trị cần tìm.
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Ta có $\underset{(-\infty ;0)}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(-2)\xrightarrow{{}}\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \Rightarrow a<0$ Lại có $f'(x)=3a{{x}^{2}}+c$ mà $\underset{(-\infty ;0)}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(-2)\Rightarrow f'(-2)=0\Leftrightarrow 12a+c=0$ Do đó $f(x)=a{{x}^{3}}+cx+d=a{{x}^{3}}-12ax+d$ Xét hàm số $f(x)=a{{x}^{3}}-12ax+d$ trên [1;3], có $f'(x)=3a{{x}^{2}}-12a;$ Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 1\le x\le 3 \\ {} 3a{{x}^{2}}-12a=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 1\le x\le 3 \\ {} {{x}^{2}}-4=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=2$ Tính $f(1)=d-11a;f(2)=d-16a;f(3)=d-9a.$ Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;3]}{\mathop{\max }}\,f(x)=d-16a.$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn D Ta có $\underset{(-\infty ;0)}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(-1)\xrightarrow{{}}\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \Rightarrow a>0$ Lại có $f'(x)=4a{{x}^{3}}+2bx$ mà $\underset{(-\infty ;0)}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(-1)\Rightarrow f'(-1)=0\Leftrightarrow b=-2a$ Do đó $f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+c$ Xét hàm số $f(x)=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+c$ trên $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ có $f'(x)=4a{{x}^{3}}-4ax$ Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{2}\le x\le 2 \\ {} 4a{{x}^{3}}-4ax=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{2}\le x\le 2 \\ {} x({{x}^{2}}-1)=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$ Tính $f\left( \frac{1}{2} \right)=c-\frac{7a}{16};f(1)=c-a;f(2)=8a+2.$ Vậy $\underset{\left[ \frac{1}{2};2 \right]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(1)=c-a.$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Xét hàm số $f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m$ trên [0;2], có $f'(x)=4{{x}^{3}}-4x;f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=\pm 1 \\ \end{array} \right.$ Tính $\left| f(0) \right|=\left| m \right|;\left| f(1) \right|=\left| m-1 \right|;\left| f(2) \right|=\left| m+8 \right|$ suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left\{ \left| m-1 \right|;\left| m+8 \right| \right\}$
Vậy có 2 giá trị m cần tìm và thuộc khoảng $(-5;-2).$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn C Xét hàm số $g(x)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên [-1;3], có $g'(x)=6{{x}^{2}}-6x;g'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.$ Tính $\left\{ \begin{array} {} f(-1)=\left| m-5 \right|;f(0)=\left| m \right| \\ {} f(1)=\left| m-1 \right|;f(3)=\left| m+27 \right| \\ \end{array} \right.$. Khi đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\min }}\,f(x)=\left\{ \left| m-5 \right|;\left| m+27 \right| \right\}$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=\left\{ 2;3;4;...;8 \right\}$. Thử lại $\Rightarrow $ có 6 giá trị nguyên âm m cần tìm.
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ suy ra có 7 giá trị nguyên m cần tìm. Vậy có tất cả 13 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn A Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên [1;2], có $f'(x)=3{{x}^{2}}-6x;f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$ Tính $\left| f(0) \right|=\left| m \right|;\left| f(1) \right|=\left| m-2 \right|;\left| f(2) \right|=\left| m-4 \right|$ suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left\{ \left| m \right|;\left| m-4 \right| \right\}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=2$. Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y$ có giá trị nhỏ nhất là 2.
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn A Xét hàm số $g(x)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{3}}+m$ trên [-3;2] có $g'(x)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x$ Phương trình $g'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -3\le x\le 2 \\ {} 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=0 \\ \end{array} \right.$ Tính $\left\{ \begin{array} {} f(-1)=\left| m-5 \right|;f(0)=\left| m \right| \\ {} f(-3)=\left| m+243 \right|;f(2)=\left| m-32 \right| \\ \end{array} \right..$ Khi đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;2]}{\mathop{\max }}\,f(x)=\left\{ \left| m-32 \right|;\left| m+243 \right| \right\}$
Vậy có tất cả 2 giá trị m thỏa mãn bài toán.
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Xét hàm số $u(x)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}$ trên [0;2], có $u'(x)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x$ Phương trình $u'(x)=0\Leftrightarrow x\left\{ 0;1;2 \right\}.$ Khi đó $u(0)=u(2)=a;u(1)=a+1$ Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\max }}\,f(x)=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$ và $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f(x)=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$
Kết hợp với điều kiện $a\in \text{ }\!\![\!\!\text{ -3;3 }\!\!]\!\!\text{ }$ và $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}\left\{ 1;2;3 \right\}$
Kết hợp $a\in \text{ }\!\![\!\!\text{ -3;3 }\!\!]\!\!\text{ }$ và $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}\left\{ -3;-2 \right\}$ Vậy có 5 giá trị nguyên của a.
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn A Đặt $t=\frac{x-1}{2}\in [-1;1]\Rightarrow t=\cos x\Rightarrow x=2\cos x+1$ Khi đó $f(x)=\left| {{(2\cos x+1)}^{3}}+a.{{(2\cos x+1)}^{2}}+b.(2\cos x+1)+c \right|$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left| 8{{\cos }^{3}}x+(12+4a).{{\cos }^{2}}x+(6+4a+2b).\cos x+a+b+c+1 \right|$ Suy ra $\frac{f(x)}{2}=\left| 4{{\cos }^{3}}x+(6+2a).{{\cos }^{2}}x+(3+2a+b).\cos x+\frac{a+b+c+1}{2} \right|$ $\Leftrightarrow \frac{f(x)}{2}\le \left| 4{{\cos }^{3}}x-3\cos x \right|=\left| \cos 3x \right|\le 1$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array} {} 6+2a=0 \\ {} 3+2a+b=-3 \\ {} a+b+c+1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=-3 \\ {} b=0 \\ {} c=2 \\ \end{array} \right.$ |