- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
LG a
Cho mặt cầu có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y + 4z + 5 = 0\] và điểm \[{M_0}[4;3;0]\]. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \[{M_0}.\]
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy điểm \[{M_0}[4;3;0]\] thuộc mặt cầu và điểm \[I[3;1; - 2]\] là tâm mặt cầu. Do đó, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M0là mặt phẳng đi qua điểm M0với vec tơ pháp tuyến \[\overrightarrow {I{M_0}} \], nó có phương trình :
\[1.[x - 4] + 2[y - 3] + 2[z - 0] = 0\] hay \[x + 2y + 2z - 10 = 0.\]
LG b
Viết phương trình mặt cầu có tâm I[-2;1;1] và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] có phương trình \[x + 2y - 2z + 5 = 0.\]
Lời giải chi tiết:
Bán kính R của mặt cầu phải tìm bằng khoảng cách từ tâm I[-2;1;1] tới mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] nên \[R = {{\left| { - 2 + 2 - 2 + 5} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1.\]
Vậy phương trình mặt cầu là
\[{\left[ {x + 2} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 1.\]
LG c
Cho bốn điểm \[A[3; - 2; - 2],B[3;2;0],C[ - 1;1;2].\] Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng [BCD].
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\overrightarrow {BC} = [ - 3;0;1],\overrightarrow {BD} = [ - 4; - 1;2] \]
\[\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = [1;2;3]\].
Vậy phương trình mặt phẳng [BCD] là :
\[1[x - 3] + 2[y - 2] + 3[z - 0] = 0\] hay \[x + 2y + 3z - 7 = 0.\]
Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm, ta có :
\[R = d\left[ {A,\left[ {BCD} \right]} \right] = {{\left| {3 + 2[ - 2] + 3[ - 2] - 7} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \sqrt {14} .\]
Vậy phương trình mặt cầu là :
\[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 14.\]
LG d
Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm \[A[1;0;0],B[0;1;0],C[0;0;1]\] và có tâm I nằm trên mặt phẳng \[x + y + z - 3 = 0.\]
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu [S] phải tìm có dạng
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.\]
Ta có \[\eqalign{ & A \in [S] \Rightarrow 1 - 2a + d = 0, \cr & B \in [S] \Rightarrow 1 - 2b + d = 0, \cr & C \in [S] \Rightarrow 1 - 2c + d = 0. \cr} \]
Đồng thời tâm I[a; b; c] của mặt cầu thuộc mặt phẳng \[x + y + z - 3 = 0\] nên \[a + b + c - 3 = 0.\]
Giải hệ \[\left\{ \matrix{ 1 - 2a + d = 0 \hfill \cr 1 - 2b + d = 0 \hfill \cr 1 - 2c + d = 0 \hfill \cr a + b + c - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow a = b = c = d = 1.\]
Vậy phương trình mặt cầu là
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z + 1 = 0.\]