• Nếu -1 < X < 0 thì 7x + 1 < 1 suy ra bất phương trình khồng có nghiệm trong nửa khoảng [-1 ; 0).
• Với X > 1, bình phương hai vế của () ta đi đến : (X - 1) + ị > 2 !■ X V X Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si ta có , 1 . X - 1 (x - 1 ) + — 2 . 1 ——— X V X 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X — 1 = — tức là khi và chỉ khi X = 1 + 75 ... , . , 1 - /x -1 1 + 75 Vậy (x - 1) + j- > 2^-— o 1 < X ^ 2 Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình là , . 1 + 75 1; 7 I u / 1 + 75 , ' , 9 ; + °° V l 4.101. a) X e (-CO ; - Tó) u (0 ; \ỊĨ) KJ (2 + 272, + co).
• X e

  ( 5

  ; + co k 4
• X 6 [3 ; 4) u (4, + co).
• X e (1 ; 3). 4.102. a) X < -2-.
• X e (-1 ; 74). booktoan.com 168
• Điểu kiện X ^-4.
• 3|^1 o X + 3 & ỉ và X + 3 -l hay X — 2 và Nếu X < -3, bất phương trình đã cho tương đương với 3 > -X - 2 <=> — —r < X + 2 o —r - (x + 2) < 0 —JC — 3 — 1 X + 4 X + 4 3 - (x 2 + 6x + 8) ^{- -X 1 - 6x - 5} n X 2 + 6x + 5 - <=>—- < 0 -» —-—7-< 0 o-—-> 0

  X + 4 X + 4 X + 4 •o X G [-5 ; -4).

  Nếu -3 < X < -2 , bất phương trình đã cho tương đương với 3 > -X - 2 o —2— + X + 2 > 0 o 3 + ( + 2 ) 2 > 0 «. X > X + 2 X + 2 x + 2 Không có X thoả mãn yẽu cầu điều kiện -3 < X < -2.
• Nếu X > -2, bất phương trình đã cho tương dương với -- 3 V > X + 2 <=> -4— - (x + 2) > 0 o 3 - (x + 2) 2 > 0 X + 2 X + 2 o (ylỉ - X - 2)(\Ỉ3 + X + 2) > 0 <=> -2- \Ỉ3 < X < 2 — -J3 Vậy -2 < X <2 - \Ỉ3 . Kết luận. X e [-5 ; - 4) u (-2 ; 2 - V3].
• Nếu X < 2 bất phương trình dã cho tương đương với
• 2 . 5 - X - 3 -X + 2 <=> 2 — X
• X - 2 > 0 o 5 - X 2 + 4x 2 - X 0 o X < -1 Nếu 2 < X < 5 bắt phương trình đã cho tương đương với 5 - X - 3 X - 2 o 9 + 2 - J > 0 o - + .9 ~ — > 0. 2 - X 2 - X Vậy 2 < X < 5 . Nếu X > 5 bất phương trình đã cho tương đương với 9 9 . 9 X - 5 - 3 X - 2 <=> X - 8 x-2 <=> X -8
• (x - 2) > 0 9 - (x 2 - lOx + 16) -X + lOx - 7 X 2 - lOx + 7 - <=>-—=-> 0 <=>-——;-> 0 o T-—-< 0. X - 8 booktỗanx om X -8 169 Vậy 8 < X < 5 + VĨ8. Kết luận X e (-00 ; - 1] u (2 ; 5) u (8 ; 5 + VĨ8]. 4.103. a) Với m = y/s phương trình trở thành -3\Ỉ5x + y/s +1=0, có nghiệm X = Với m \Ỉ5 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi A = 9m 2 — 4(m + 1 )(m —SỈ5) > 0 o 5tn 2 —4(1 —[5)m + 4 V 5 > 0, bất phương trình này nghiệm đúng với mọi m (vì A' m = 4(1 -V5) 2 -20 s < 0). Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.
• m e(-l ; \fs ). 4.104. m < 0 : phương trình vô nghiệm m — 0 : phương trình có hai nghiệm 0 < m < 4 : phương trình có bốn nghiệm m = 4 : phương trình có ba nghiệm m > 4 : phương trình có hai nghiệm. 4.105. Khi m - 0, dễ thấy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất X = 0. Giả sử m ^ 0 . Đặt í = 1 — mx , ta có X — -—- và ta được phương trình m lA 3^5 ra t[ — t + (2/75 — 3)í + 2 — Wỉ. (1) Hiển nhiên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (1) có một nghiệm duy nhất. Ta có phương trình (1) tương đương với 't >0 t 2 + (m - 3)t + 2 - m = 0 hoặc (II) ịt< 0 í 2 + (3 m - 3)t + 2 - m - 0. Ta xét các trường hợp sau • Trường hợp m > 2. Lúc này mỗi phương trình bậc hai ương hệ (I) và (II) đều có hai nghiệm trái dấu, suy ra mỗi hệ (I) và (II) đều có một nghiệm, nghĩa là phương trình (1) có hai nghiệm (trái dấu). Vậy m >2 khồng thoả mãn điều kiện của bài toán. DooKtoan.com 170 • Trường hợp m <2. Lúc này phương trình bậc hai trong hệ (I) có hai nghiệm = 1 và = 2 - m. Do m < 2 nên cả hai nghiệm này đều thoả mãn điều kiện t > 0. Vậy nếu tỵ t 2 , tức là m & 1 thì hệ (I) có hai nghiệm phân biệt, tức là (1) có ít nhất hai nghiệm phân biệt, không thoả mãn yêu cầu của bài toán. Cuối cùng, khi m = 1, dễ tháy hệ (I) có một nghiệm duy nhất t = 1, hệ (II) vô nghiệm nên phương trình (1) có một nghiệm duy nhất. Tóm lại, các giá trị của m thoả mãn yêu cầu đế bài là m e {0 ; 1}. 4.106. a) Đúng.
• , c), d), e), f), g), h), i), k) sai. Học sinh tự lấy phản ví dụ. 4.107. Phương án (B). 4.108. Phương án (B). 4.109. Phương án (A). 4.110. Phương án (D). 4.111. Phương án (BX 4.112. Phương án (B). 4.113. Phương án (C). 4.114. Phương án (B). 4.115. a) (4) Ị b) (1) ỉ c) (3) í d) (2). 4.Ì16. a) m [<] 2 ; b) m [<1 2 ;
• m [>1 2 ; d) m [>1 2 ■ booktoan.com 171 THỐNG KÊ
• NHỮNG KIẾN THỬC CẦN NHỚ • Một dấu hiệu là một vấn đề nào đó mà người điều tra quan tâm. Mỗi đối tượng điều ưa gọi là một đơn vị điều tra. Mỗi đơn vị điều ưa tương ứng với một số liệu gọi là giá trị của dấu hiệu trên đơn vị điều tra đó. • Một tập con hữu hạn các đơn vị điều ưa gọi là một mẫu. Tập hợp các số liệu thu được sau khi điều tra trên mẫu gọi là một mẫu sô'liệu. • Bảng phân bố tần số gồm hai dòng (hoặc hai cột). Dòng (cột) đầu ghi các giá ưị khác nhau của mẫu số liệu. Dòng (cột) thứ hai ghi tần số (số lần xuất hiện của mỗi glá trị trong mẫu số liệu) tương ứng. Nếu bổ sung một dòng (cột) thứ ba ghi tần suất (tỉ số % giữa tần số và kích thước mẫu) thì ta có bảng phân bố tần số - tần suất. • Khi sô liệu được ghép thành lớp, mỗi lớp gồm các sô liệu, nằm ưong một đoạn (hay nửa khoảng) nào đó, ta có bảng phân bố tần số (tần số - tần suất) ghép lớp. • SỐ trung bình được tính bởi công thức X • Phương sai được tính bởi công thức s 2 s 2 - lft< - V 1

  i=l Độ lệch chuẩn s là căn bậc hai của phương sai. booktoan.com 172 • Nếu mẫu số liệu được cho dưới dạng một bảng phân bố tần sô thì

  ị m / = 1 1 m 1 ( m \ 2 1 „ 2 ỉ vv 5 = ÌỊ ^{! ' TrT X n i x i i =1 N \i=l ) m trong đó ìĩị là tần số của số liệu Xị (i = 1, 2, m), Yn, - N. /=1 • Nếu mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số ghép lóp (Bảng 7a, 7b SGK) thì 1 J Z n «i ; Ỉ=1 1 UL _{\ (HL ” N% n ' x ' -Ậ % n < x ' i=l N Vi=l \2 J trong đó lĩị là tần số của lớp thứ i, Xị là giá trị dại diện của lớp thứ ỉ, tức là trung điểm của đoạn (hay nửa khoảng) ứng với lớp thứ i (i = 1, 2, m). JV +1 • Sô' trung vị là giá trị thứ ——— của mẫu số liệu nếu N lẻ và là trung N N bình cộng của giá trị thứ -Ị- và} + 1 nếu N chăn (khi xếp các giá trị của mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần). Số trung vị được kí hiộu là M Ế . • Mốt là giá trị có tần số lớn nhất. Mốt được kí hiệu là M ữ .}
• ĐỀ BÀI §1. MỘT VÀI KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU §2. TRÌNH BÀY MỘT MÂU SỐ LIỆU 5.1. Trong các bài tập của chương này, yêu cầu tính toán các số liệu làm tròn đến hàng phần trăm. Giá bán của 80 lô đất (đơn vị triệu đồng) được ghi lại trong bảng phân bố tần số ghép lóp sau booktoan.com 173 Lóp Tần số [79,5 ; 84,5) 5 [84,5 ; 89,5) 10 [89,5 ; 94,5) 15 [94,5 ; 99,5) 26 [99,5 ; 104,5) 13 [104,5 ; 109,5) 7 [109,5 ; 114,5) 4
• Bổ sung thêm cột tần suất;
• Vẽ biểu dồ tần số hình cột;
• Vẽ đường gấp khúc tần số. 5.2. Điều tra về số tiền mua sách trong một năm của 40 sinh viên ta có mẫu số liệu sau (đơn vị: nghìn dồng) 203 37 141 43 55 303 252 758 321 123 425 27 72 87 215 358 521 863 284 279 608 302 703 68 149 327 127 125 489 234 498 968 350 57 75 503 712 440 185
• Hãy lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp gồm 10 lớp. Lớp đầu tiên là đoạn [0 ; 99], lớp thứ hai là đoạn [100 ; 199],.... (Độ dài mỗi đoạn là 99).
• Hỏi có bao nhiêu phần trăm sô sinh viên mua sách từ 500 ngàn đồng trở lên ?
• Xét tốp 30% số sinh viên dùng nhiều tiển để mua sách nhất. Người mua ít nhất trong nhóm này mua hết bao nhiêu ? 5.3. Với mỗi tỉnh, người ta ghi lại số phần trăm những trẻ em mới sinh có trọng lượng dưới 2500 g. Sau đây là kết quả khảo sát ở 43 tỉnh (đơn vị:%). 5,1 5,2 5,2 5,8 6,4 7,3 6,5 6,9 6,6 7,6 8,6 6,5 6,8 5,2 5,1 6,0 4,6 6,9 7,4 7,7 7,0 6,7 6,4 7,4 6,9 5,4 7,0 7,9 8,6 8,1 7,6 7,1 7,9 8,0 8,7 5,9 5,2 6,8 7,7 7,1 6,2 5,4 7,4. 174 booktoan.com
• Hãy lập bảng phân bô tần số tần suất ghép lóp gồm 5 lóp. Lóp thứ nhất là nửa khoảng [4,5 ; 5,5), lóp thứ hai là [5,5 ; 6,5),.... (Độ dài mỗi nửa khoảng là 1).
• Vẽ biểu đồ tần số hình cột.
• Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt. 5.4. Doanh thu của 19 cống ti trong năm vừa qua được cho như sau (đơn vị : triệu đồng) 17638 16162 18746 16602 17357 15420 19630 18969 17301 18322 18870 17679 18101 16598 20275 19902 17733 18405 18739
• Lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp, sử dụng sáu lớp [15 000 ; 16 000) ; [16 000 ; 17 000),..., [20 000 ; 21 000).
• Vẽ biểu đồ tần số hình cột;
• Vẽ đường gấp khúc tần số. 5.5. Kết quả của một kì thi môn Tiếng Anh của 32 học sinh được cho trong mẫu số liệu sau (thang điểm 100) : 68 52 49 56 69 74 41 59 79 61 42 57 60 88 87 47 65 55 68 65 50 78 61 90 86 65 66 72 63 95 72
• Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp, sử dụng sáu lóp : [40 ; 50); [50 ; 60); ...; [90 ; 100).
• Vẽ biểu đồ tần số hình cột.
• Vẽ biểu đồ tần suất hình cột. §3 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÂU SỐ LIỆU Trong các bài tập dưới dây, yêu cầu tính các số trung bình, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần trâm). 5.6. Doanh thu của 8 cửa hàng ăn trong một ngày ở khu phố A (đơn vị triệu đồng) như sau : 2 2 25 2 10 100 2 10. Tìm số trung bình và sô' trung vị. Số nào làm đại diện tốt hơn ? DOOktoan.com • 175 5.7. Một câu lạc bộ thiếu nhi trong dịp hè có mò 7 lớp ngoại khoá. Sĩ số của các lớp tương ứng là : 43 41 52 13 21 39 46. Tìm số trung bình và sô trung vị. 5.8. Giá bán của 60 mặt hàng ở một cửa hàng được thống kê trong bảng tần sô ghép lớp sau đây (đơn vị: nghìn đồng). Lớp Tần số [40 ; 49] 3 [50 ; 59] 6 [60 ; 69] 19 [70 ; 79] 23 [80 ; 89] 9 N = 60 Tính số trung bình. 5.9. Tuổi các học viên của một lớp học tiếng Anh buổi tối ở một trung tâm được ghi lại trong bảng tần số ghép lớp sau Lớp Tần số [15 ; 19] 10 [20 ; 24] 12 [25 ; 29] 14 [30 ; 34] 9 [35 ; 39] 5 Tính số trung bình. 5.10. Nghiên cứu, mức tiêu thụ xãng của một loại ô tô, một công ti chế tạo ô tô ở Mĩ dã cho 35 xe chạy thử và xác định xem với 1 galông xăng (lgalông = 4,546 lít), một xe chạy được bao nhiêu dặm (1 dặm = 1,609 km). Kết quả được cho trong bảng tần số ghép lớp sau đây. booktoan.com 176 Lớp Tần số [20; 24] 2 [25 ; 29] 7 [30; 34] 15 [35 ; 39] 8 [40; 44] 3 Tính số trung bình và độ lệch chuẩn. 5.11. Số tiền cước phí điện thoại (đơn vị : nghìn đồng) của 7 gia đình trong khu phố A phải trả được ghi lại như sau : 83 79 92 71 69 83 74. Tính số trung bình, số trung vị, mốt và độ lệch chuản. 5.12. Thời điểm mà các nhân viên của một công ti ngủ dậy mỗi buổi sáng được thống kê trong bảng phân bố tần suất ghép lớp sau (đơn vị : giờ) : Lớp Tần suất (%) [4; 5] 7 [5; 6] 65 [6; 7] 24 [7 ; 8] 4 Tính số trung bình. 5.13. Số người cấp cứu đến bệnh viện A trong hai ngày thứ hai và thứ sáu được cho trong bảng tần sỏ ghép lớp dưới đây. Lớp Tan số (trong ngày thứ hai) Tần số' (trong ngày thứ sáu) [4; 7] 1 1 [8; 11] 4 4 [12; 15] 15 21 [16; 19] 26 22 [20 ; 23] 16 13 [24 ; 27] 7 3 [28 ; 31] 3 0 N = 12 N = 64 Tính SỐ trung bình và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu và so sánh độ phân tán của chúng. booktoan.com 12-BTDS1D.NC - A 177 5.14. Số tiền điện phải trả của 50 hộ trong khu phố A được thống kê trong bảng phân bố tần số sau đây (đơn vị nghìn đồng). Lớp Tần số [375 ; 449] 6 [450 ; 524] 15 [525 ; 599] 10 [600 ; 674] 6 [675 ; 749] 9 [750 ; 824]' 4 o in II Tính số trung bình và độ lệch chuẩn. 5.15. Trong một đề tài nghiên cứu về bệnh A, người ta ghi lại tuổi của 50 bệnh nhân mắc bệnh này. Số liệu thống kê được trình bày trong bảng phân bố tần số sau đây. Lớp Tần số [15; 19] 10 [20 ; 24] 12 [25 ; 29] 14 [30 ; 34] 9 [35 ; 39] 5 , N = 50 Tính số trung bình và độ lệch chuẩn. 5.16. Một cửa hàng sách thống kẽ số tiền (đơn vị : nghìn đồng) mà 60 khách hàng mua sách ở cửa hàng trọng một ngày. Số liệu được ghi trong bảng phân bố tần số sau : Lớp Tằn số [40 ; 49] 3 [50 ; 59] 6 [60 ; 69] 19 [70 ; 79] 23 [80 ; 89] 9 II o\ o Tính số trung bình và độ lệch chuẩn. 178 booktoan.com )2-btđsio.nc-b 5.17. Người ta chọn một sô bút bi của hai hãng sản xuất A và B và thử xem sử dụng một bút sau bao nhiêu giờ thì hết mực. Kết quả như sau (đơn vị giờ): Loại bút A : 23 25 27 28 30 35. Loại bút B : 16 22 28 33 46.
• Tính số trung bình và độ lệch chuẩn về thời gian sử dụng của mỗi loại bút.
• Giả sử hai loại bút A và B có cùng một giá. Dựa vào sự khảo sát trên, ta nên quyết định mua loại bút nào. 5.18. Khối lượng (đơn vị : pound ; 1 pound = 0,454 kg) của một nhóm người tham gia câu lạc bộ sức khoẻ được ghi lại như sau : 175 166 148 183 206 190 128 147 156 166 174 158 196 120 165 189 174 148 225 192 177 154 140 180 172 135. Tính sô trung bình, số trung vị và mốt. 5.19. Vận tốc (dặm/h ; ldặm = 1,609 km) của 400 xe ôtô chạy trên con đường A dược ghi lại trong bảng tần số ghép lớp sau : Lớp Tần sô [27,5 ; 32,5) 18 [32,5 ; 37,5) 76 [37,5 ; 42,5) 200 [42,5 ; 47,5) 100 [47,5 ; 52,5) 6 N = 400 Tính số trung bình, độ lệch chuẩn. 5.20. Một cửa hàng ăn ghi lại số tiền (nghìn đồng) mà mõi khách trả cho cửa hàng. Các số liệu được trình bày trong bảng tần số ghép lớp sau : Lớp Tần số [0; 99] 20 [100; 199] 80 [200; 299] 70 [300 ; 399] 30 [400 ; 499] 10 N = 210 Tính 'Số trung bình và độ lệch l Ị(iịẩ ft)an C0m 179 5.21. Điểm trung bình thi học kì môn Toán của học sinh nam và nữ của hai trường A và B cũng như của mỗi trường được thống kê trong bảng sau : Trường Nam Nữ Nam và nữ A 7,1- 7,6 7,4 B 8,1 9,0 8,4 AvầB 7,9 Tính điểm trung bình của học sinh cả hai trường A và B (chính xác tới hàng phần chục). BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG V 5.22. Chiều cao của một mẫu gồm 120 cây được trình bày trong bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây (đoín vị : m) : Lớp Tần sô [1,7 ; 1,9) 4 [1,9; 2,1) 11 [2,1 ; 2,3) 26 [2,3 ; 2,5) 21 [2,5 ; 2,7) 17 [2,7 ; 2,9) 11 [2,9 ; 3,1) 7 [3,1 ; 3,3) 6 [3,3 ; 3,5) 7 [3,5 ; 3,7) 3 [3,7 ; 3,9) 5 [3,9; 4,1) 2 N= 120
• Vẽ biểu đồ tần sô hình cột.
• Vẽ đường gấp khúc tần số.
• Dựa trên hai biểu đồ này, có nhận xét gl vể xu thế phân bố chiều cao của cây ? Phần lớn sô cây có chiều cao nằm trong khoảng nào ? . Dooktoan.com 180 5.23. Trong tất cả các mẫu số liệu kích thước 5 với số trung vị là 12 và sô trung bình là 10, hãy tìm một mẫu số liệu có biên đô nhỏ nhất (biên độ của mẫu sỏ liệu là hiệu giữa giá trị lớn nhất và bé nhất của mẫu sô liệu). 5.24. Một công ti có 45 chiếc xe. Mức tiêu thụ xăng (đơn vị : lít) của mỗi xe trong tuần qua được ghi lại như sau : 123 132 130 119 106 97 121 109 118 128 132 115 130 125 121 127* 144 115 107 110 112 118 115 134 132 139 144 104 128 138 114 121 129 128 116 138 129 113 105 142 122 131 126 111 142
• Lập bảng phân bố tần số ghép lớp với các lớp là : [90 ; 100), [100 ; 110),..., [140 ; 150).
• Tính số trung bình và số trung bình (xấp xỉ) dựa trên bảng phân bố tần số ghép lớp.
• Tính số trung vị.

GIỚI THIỆU MỘT SỐ CÂU HỎI TRĂC NGHIỆM KHÁCH QUAN Trong các bài từ 5.25 đến 5.26, hãy chọn phương án trả lời đúng trong các phương án đã cho. 5.25. Bảng phân bố tần số sau đây ghi lại số ghế trống trong các chuyến bay từ Hà Nội đến Tp. Hồ Chí Minh. Lớp Tần số [0 ; 4] 3 [5 ; 9] 8 [10;14] 15 [15 ; 19] 18 [20 ; 24] 12 [25 ; 29] 6 booktoan.com 181 Tỉ lệ phần trăm số chuyến bay có nhiều nhất 19 ghế trống xấp xỉ là (A) 15% ; (B) 29% ; (C) 71%; (D) Khồng thể xác định được từ bảng trên. 5.26. Giả sử kích thước mẫu là N. Khi đó luôn có N 2 (phần nguyên của^r-) số liệu trong mẫu lớn hơn hoặc bằng (A) Số trung bình ; (B) Số trung vị; (C) Mốt; (D) Độ lệch chuẩn. 5.27. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau về số trung bình X (A) Tất cả các số liệu trong mẫu đều phải dùng để tính số trung bình X ; (B) Số trung bình X bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hay quá bé ; N (C) Tổng 2>,- - x) = 0; Ĩ=1 (D) Một nửa số liệu trong mẫu lớn hơn hoặc bằng X . 5.28. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau về sô trung vị M e (A) Sô trung vị luôn là một số liệu nào đó của mẫu ; (B) SỐ trung vị bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hay quá bé ; N (C) Tổng £(jc,- - M e ) = 0. (D) Có SỐ liệu lớn hơn hoặc bằng Mg, ở đó N là kích thước mẫu. Trong các bài từ 5.29 đến 5.33, hãy chọn phương án trả lời đúng trong các phương án đã cho. 5.29. Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là (A) Mốt; (B) SỐ trung bình ; (C) SỐ trung vị ; (D) Đô lệch chuẩn. 5.30. Nếu đơn vị đo của số liệu là kg thì đơn vị của độ lệch chuẩn là (A) kg ; (B) kg 2 ; (C) Không có đơn vị (hư số); (D) kg/2. 5.31. Một học sinh ghi lại bảng phân bố tần suất của một mẫu số liệu như sau Giá trị(x) 0 1 2 3 4 Tần số N = Tần suất (%) 12,5 0,0 50,0 25,0 12,5 100 boòktoan.cóm 182 Tuy nhiên, em đó quên ghi kích thước mâu N. Khi đó, giá trị nhỏ nhất có thể có của N là (A)5 ; (B)8 ; (C)16 ; (D)25. 5.32. Cho X, Y, z là ba mẫu sô liệu đôi một không có phần tử chung. Số trung bình của các mẫu số liệu X, Y, z, X u Y, X u z và Y u z được cho trong bảng dưới đây. Mẫu X Y z Xu Y 1 XuZ yuZ SỐ trung bình 37 23 41 29 39,5 33 Khi đó, số trung bình của mẫu Xu Yu Zlà (A) 33 ; (B) 33,5 ; (C) 33,66 ; (D) 34. 5.33. Học sinh tỉnh A (gồm lớp 11 và lớp 12) tham dự kì thi học sinh giỏi Toán của Tỉnh (thang điểm 20) và điểm trung bình của họ là 10. Biết rằng số học sinh lớp 11 nhiều hơn số học sinh lớp 12 là 50% và điểm trung bình của khối 12 cao hơn điểm trung bình của khối 11 là 50%. Điểm trung bình của khối 12 là (A) 10; (B) 11,25 ; (C) 12,5 ; (D) 15. I

3. ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẦN - LỜI GIẢI 5.1. a) BỔ sung cột tần suất, ta được Lớp Giá trị đại diện Tần số Tần suất (%) [79,5 ; 84,5) 82 5 6,25 [84,5 ; 89,5) 87 10 12,50 [89,5 ; 94,5) 92 15 18,75 [94,5 ; 99,5) 97 26 32,50 [99,5 ; 104,5) 102 13 16,25 [104,5 ; 109,5) 107 7 8,75 [109,5 ; 114,5) 112 4 5,00 booktoan ■ N = 80 com 183
4. Biểu đổ tần số hình cột (h.5.1) 30 79,5 84,5 89,5 94,5 99,5 104,5 109,5 114,5 Hình 5.1
5. Đường gấp khúc tần số (h.5.2) 5.2. a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp : Lớp Tần số Tần suất(%) [0; 99] 9 22,5 [100; 199] 6 15,0 [200 ; 299] 6 15,0 [300 ; 399] 6 15,0 [400 ; 499] 5 12,5 [500 ; 599] 2 5,0 [600 ; 699] 1 2,5 [700 ; 799] 3 7,5 [800 ; 899] 1 2,5 [900 ; 999] 1 2,5 booiítỗắĩi.com 184
6. Nhìn vào bảng trên, ta tính được tỉ lệ sinh viên mua từ 500 ngàn trở lên là 5% + 2,5% + 2,5% + 2,5% + 7,5% = 20%. 30
7. Xét tốp 30% số sinh viên mua nhiều tiền nhất. Nhóm này có 40 X - 1 - = 12 100 sinh viên. Có tám sinh viên tiêu từ 500 ngàn trở lên. Ta cần chọn thêm bốn sinh viên nữa trong nhóm thứ 5, nhóm tiêu tiền trong đoạn [400 ; 499] ; năm sô liệu trong nhóm này là 498 ; 489 ; 440 ; 425 và 404. Do đó, người mua ít nhất là 425 nghìn đồng. 5.3. a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp Lóp Tần số Tần suất (%) [4,5 ; 5,5) 9 20,93 [5,5 ; 6,5) 6 13,95 [6,5 ; 7,5) 17 39,53 [7,5 ; 8,5) 8 18,60 [8,5 ; 9,5) 3 6,98 CO II
8. Biểu đồ tần số hình cột (h.5.3) c) Biểu đổ tần suất hình quạt (h.5.4) Hình 5.3 Hình 5.4 booktoan.com 185 P" NO 1/1 oo
9. Biểu đồ tần số hình cột (h.5.5) 15 16 17 18 19 20 21 (đơn vị: nghìn) Hình 5.5
10. Đường gấp khúc tần số (h.5.6) H, ■ Mj / ^ i\ 1 \
11. M|/ u 2 y ' 1 1 / ỉ ỉ 1 t 1 \ 1 1 1 1 \m 5 m 6 & Ịa 2 1a 3 |A4 |a 5 15*5 16,5 17,5 18,5 19,5 20,5 Hình 5.6 5.5. a) Bảng phân bố tần sô - tần suất ghép lớp Lớp Tần số Tần suất(%) [40 ; 50) 4 12,50 [50 ; 60) 6 18,75 [60 ; 70) 11 34,38 [70 ; 80) 6 18,75 [80 ; 90) 3 9,38 [90 ; 100) 2 6,25 bookM)ãn?êorn 186
12. Biểu đổ tần số hình cột (h.5.7)
13. Biểu dồ tần suất hình cột (h.5.8) 35 Hình 5.7 Hình 5.8 5.6. Số trung bình 19,13. Số trung vị là 6. Số trung vị làm đại diện tốt hơn vì có sự chênh lệch lớn giữa các số liệu trong mẫu. 5.7. Số trung bình là 36,43. Số trung vị là 41. 5.8. Số trung bình là 69,33. 5.9. SỐ trung bình là 25,7. 5.10. Số trung bình là 32,43. Phương sai là 24,82. Độ lệch chuẩn là 4,98. 5.11. Số trung bình là 78,71. Sô' trung vị là 79. Mốt là 83. Phương sai là 55,63. Độ lệch chuẩn là 7,46. 5.12. Từ công thức tính số trung binh ta thấy 1 rn m m X = ịĩÍỊ x i n i = = z fị*i- /=1 ị—ì /-1 Thay vào công thức trên ta thu được số trung bình là 5,75 giờ tức là 5 giờ 45 phút. 5.13. Đối với mẫu số liệu số người cấp cứu trong ngày thứ hai : Số trung bình là 18,43 và dộ lệch chuẩn là 4,73. Đối với mẫu số liệu số người cấp cứu trong ngày thứ sáu : Số trung bình là 16,69 và độ lệch chuẩn là 4,13. Độ phân tán của mẫu số liệu số người cấp cứu trong ngày thứ sáu nhỏ hơn. 5.14. Số trung bình là 576,1. Độ lệch chuẩn là 113,08. 5.15. Sô' trung bình là 25,7. Độ lệch chuẩn là 6,23. 5.16. Số trung bình là 69,33. Độ lệch chuẩn là 10,25. & ’ v y DooKtoan.com 187 5.17. Loại bút A : Số trung bình là 28 giờ ; Độ lệch chuẩn là 3,83 giờ. Loại bút B : Số trung bình là 29 giờ ; Độ lệch chuẩn là 10,24 giờ. Loại bút B có thời gian sử dụng trung bình lâu hơn. Tuy nhiên, do độ lệch chuẩn lớn hơn nên chất lượng của bút B không đồng đều. Nếu không may bạn có thể mua phải chiếc bút có thời gian sử dụng rất thấp. 5.18. Số trung bình là 167,8 pound ; Số trung vị là 169 pound. Mốt có ba giá trị là 148 pound, 166 pound và 174 pound. 5.19. Số trung bình là 40 dặm/h. Độ lệch chuẩn là 4,12 dặm/h. 5.20. Số trung bình là 216,17. Độ lệch chuẩn là 99,20. 5.21. Gọi số học sinh nam trường A là a ; số học sinh nữ trường A là «'; số học sinh nam trường B là 6 ; số học sinh nữ trường B là 6'. Tổng số điểm của học sinh nam trường A là S(A) = 7 ,1«. Tổng số điểm của học sinh nữ trường A là S"(A) = 7,6«'. Tổng số điểm của học sinh toàn trường A là S(Ạ) 4- s ’(A) = 7,4(« + «'). Suy ra 7,Ị« + 7,6«'= 7,4« + 7,4«' Từ đó 0,2«' = 0,3« hay a' = 1,5«. (1) Tổng số điểm của học sinh nam trường B là S(B) = 8,1 b. Tổng số điểm của học sinh nữ trường B là S'{B) = 9,0 b'. Tổng số điểm của học sinh toàn trường B là S(B) + s \B) = 8,4 (b + b'). Suy ra 8,1 b + 9,06’ = 8,4 b + 8,4 b'. Từ dó 0,66’ = 0,36 hay 6' = 0,56. (2) Tổng số điểm mà học sinh nam cùa hai trường A và B nhận được là S(A) + S(B ) = 7,9(« + 6). Suy ra 7,1 « + 8,16 = 7,9« + 7,96. Từ đó 0,26 = 0,8a hay 6 = 4 ơ. (3) Từ (2) và (3) suy ra 6' = 2 a. Tổng số điểm của học sinh cả hai trường A và B là £(A) + S(B) +S'(A) + S'(B) = 7,4(ữ + d ) + 8,4(6 + 6 1 ) = 7,4« + 7,4.1,5« + 8,4.4« + 8,4.2« - 68,9«. Số học sinh cả hai trường A và B là a + à + 6 + 6' = « + 1,5« + 4« + 2« = 8,5«. Ổ8 Ọơ Vậy diểm trung binh của học sinh hai trường là p ’ c « 8,11. booktoan.com 8,5« 188 5.22. Ta có Lớp Giá trị đại diện Tần sô Tần suất(%) [1,7; 1,9) 1,8 4 3,33 [1,9; 2,1) 2,0 11 9,17 [2,1 ; 2,3) 2,2 26 21,67 [2,3 ; 2,5) 2,4 21 17,50 [2,5 ; 2,7) 2,6 17 14,17 [2,7 ; 2,9) 2,8 11 9,17 [2,9 ; 3,1) 3,0
14. 5,83 [3,1 ; 3,3) 3,2 6 5,00 [3,3 ; 3,5) 3,4 7 5,83 [3,5 ; 3,7) 3,6 3 2,50 [3,7 ; 3,9) 3,8 5 4,17 [3,9; 4,1) 4,0 2 1,67 N= 120
15. Biểu đồ tần số hình cột (h.5.9) Hình 5.9 booktoan.com 189
16. Đường gấp khúc tần số (h.5.10) Hình 5.10
17. Nhìn vào bảng trên ta thấy : Chiều cao của cây nằm trong khoảng từ l,7m đến 4,lm. Có 53,34% số cây có chiều cao từ 2,lm đến 2,7m và có 88,34% số cây có chiều cao từ l,9m đến 3,5m. 5.23. Giả sha < b < m < c < d\k mẫu số liệu kích thước 5 và có số trung bình là 10 và số trung vị là 12. Từ giả thiết suy ra m = 12 và a + b + c + d = 38. Vì c + d > 12 + 12 = 24nên a + b~3$-{c + đ) <38-24= 14. Via < bnên suy ra 2a < a + b < 14. Vậy a < 7. Khi đó, biên độ B = d- a > 12-7 = 5. Mẫu SỐ liệu {7 ; 7 ; 12 ; 12 ; 12} có số trung bình là 10 và số trung vị là 12 với biên độ 5. Đó chính là mẫu số liệu có biên độ bé nhất trong số các mẫu số liệu kích thước 5 với số trung bình 10 và số trung vị 12. 5.24. a) Bảng phân bố tần số ghép lớp Lớp Giá trị đại diện Tần SỐ [90 ; 100) 95 1 [100 ; 110) 105 5 [110 ; 120) 115 12 [120; 130) 125 13 [130 ; 140) 135 10 [140 ; 150) 145 4 N -45 190 booktoan.com
18. Từ đó tính được số trung bình (tính theo bảng phân bố gbép lớp) là 123,44 líí. Nếu tính đúng trên mẫu số liệu (khi không ghép lớp) thì số trung bình là 123,11 lít,
19. Để tính số trung vị, ta sắp xếp các số liệu ứên theo thứ tự tăng đần như sau : 97 104 105 106 107 109 110 111 112 113 114 115 115 115 116 118 118 119 121 121 121 122 123 125 126 127 128 128 128 129 129 130 130 131 132 132 132 134 138 138 139 142 142 144
20. Từ đó số trung vị M e = 123. 5.25. (C). 5.26. (B). 5.27. (D). 5.28. (D). 5.29. (A). 5.30. (A). 5.31 (B). Hướng dẫn ; Số liêu
21. có giá trị 0 và 4 có tần số 12 5 N là N ,0’ = „ 100 8 Do 4Ó, N phải chia hết cho
22. Số liêu có giá ưị

    2 có tần số là N. ,v! = 100

    N = 2 và số liệu có giá trị 3 là N 25 = N 100 4 Do đó, N phải chia hết cho 8 ; 4 ; 2, tức là phải chia hết cho BCNN (bôi chung nhỏ nhất) của 8 ; 4 ; 2. Mà BCNN của 8 ; 4 ; 2 là 8 . Do đó, N phải chia hết cho 8 . Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 8. 5.32. (D). Hướng, dẫn : Kí hiệu n,m\ầk tương ứng là kích thước của mẫu X Y và z ; S(X ), S(Y) và S(Z) tương ứng là tổng tất cả các giá trị của sô' liệu trong mẫu X Y và
23. Theo bài ra ta có S(X) = 37«, 5(10 = 23m, 5(Z) = 41* và 5(X + 5(T) = (n + m) 29. Suy ra 37« + 23 m = 29« + 29 m. Từ đó 8« = 6m hay « = 0,75m. Tương tự, vì S(Y) + 5(Z) = (m + Ắ:)33 nên suy ra 23m + 41Ẩ: = 33m + 33X Từ đó 8Ẵ: = 10«ỉ hay k = 1,25 m. booktoan.com 191 Tổng tất cả các giá trị của số liệu trong mẫu Xu Tu z là S(X) + S(Y) + S(Z) = 37 n + 23 /22 + 41 k = 37.0,75/22 + 23 /22 + 41. l,25m = 102/22. Kích thược của mẫu X u Y u z là n + /22 + k = 0,75 /22 + /22 + 1,25 /22 = 3m 102m Vậy số trung bình của mẫu X u y u z là -r— = 34. 3n? 5.33. (C). Hướng dẫn : Gọi số học sinh lớp 12 là n. Theo bài ra, số học sinh lớp 11 sẽ là 1,5 n. Gọi điểm trung bình của học sinh lớp 11 là ứ. Theo bài ra, điểm trung bình của học sinh lớp 12 là l,5ứ. Tổng số điểm của học sinh lóp 11 là s - a. 1,5/2 = 1 ,5an. Tổng số điểm của học sinh lóp 12 là T = (l,5ứ) n = l,5an. Vậy tổng số điểm của học sinh lớp 11 và 12 là 1 ,5aự + 1,5 an = 3 an. Mặt khác, ta có tổng số học sinh lớp 11 và 12 là n + 1,5/2 = 2,5/2 và điểm trung bình của lóp 11 và 12 là 10. Do đó, tổng số điểm của học sinh lớp 11 và 12 là 10.(2, 5 / 2 ) = 25/2. Từ đó ta có 3(2/2 = 25/2 hay a = 25 Vậy điểm trung bình của học sinh lóp 12 là l,5ỡ = 192 booktoan.com & ?hương VI GÓC LƯỢNG GIẤC VÀ CÔNG THỨC LƯƠNG GIÁC
24. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ
25. Cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian Cung tròn bán kính R có số đo rađian a (0 < a < 2n), có số đo a ữ (0 < a < 360), có độ dài / thì : a a — = TZK - 1 = R a- n 180
26. Công thức lượng giác cơ bản sin( a + kin) = sin a tan a - sữia: coso: cos( a + k2ĩi) = cos a cos a 1 cotớr = sin a tan a tan(ứf + kn) = tan a 2 2 cos a + sin a = 1 cot(a+ kn) = cotứ: 1 + tan 2 a = 1 cos 2 a 1 ^{_.2 1 1 + cot a = - sin 2 a}
27. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt sin (-a) = -sin a cos (-a) - cos a tan (-a) = - tan a sin(ít + á) = -sina cos(ĩĩ + á) = -cosa tan(7t + a) = tan ớ" sin(jĩ -à) = sina cos(tc - a) = -cos a tan( - a) = - tan# sin / _ \ K -r — a = cos« cos / n \2 / = sin a booktoan.com tan ,0~ ữ \2 = cot a 13-8TĐS10.NC - A 193
28. Một sô' công thức lượng giác

    Công thức cộng cos(a + /?) = cos(ớr - p) = sin(a + /?) = sìn(« - (3) = cos a cos Ị3 — sin a sin p cos a cos /3 + sin a sin Ị3 sin a cos Ị3 4- cos a sin Ị3 sinacos/? - cosasin/? tan(ũr+ p) = tan(a- P) = tana + tan /3 1 - tan a tan /3 tan a - tan Ị3 1 + tan a tan Ị3 Công thức nhản đôi cos2a = cos 2 a - sin 2 a - 2cos 2 ỚT - 1 = 1- 2sin a ; sin2ũ;= 2sin

    cosớ; ;

    tan2or = Công thức hạ bậc 2 1 + cos 2 a cos a =- 2tan« 1 - tan 2 a . 2 1 - cos2a ; sin a- -—- Công thức biến đổi tích thành tổng cosacos/ĩ= [cos(« + /3) + cos(a - /?)] sino:cos/? = [sin(« + /3) + sin(a - /?)]

    sin«sin/? = “ [cos(or + /3) - cos (a - /3)] Á* Công thức biến đổi tổng thành tích

    _ a ~ a + p a-Ị3

    ■ cos a + cos p - 2 cos — - — cos —— ỉ — 2 2

    a_ r,-a + P.a~/3 cosữ — cos /? = —2sin——--sin— 2 2 o r, . tt + Ị3 a - B sinor + sin /ơ = 2sin——cos - - 2 2 . „ . ữ 0 a + p.a-p SUI (X — sin Ị3 = 2cos—sin——— 194 booktoan.com 13-BTDSÌO.NC - 8
29. ĐỀ BÀI §1. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC §2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC 6.1. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?
30. Góc lượng giác ( Ou , Ov ) có số đo dương thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối vói nó có số đo dương.
31. Góc lượng giác ( Ou , Ov) có số đo dương thì mọi góc lượng giác (Ov, Ou) có số đo âm.
32. Hai góc lượng giác (On, Ov) và ( Ou\ Ov') có số do khác nhau thì các góc hình học uOv, u'Ov' không bằng nhau. llĩi .. 13tc "T~r—
33. sđ(Ow, ớv) = -^{-, sđ (Ou\ Ov) = thì uOv = u'Ov\ 6 6}
34. Hai góc lượng giác ( Ou , Ov) và (Ou\ Ov') có số đo sai khác một bội nguyên của 2tt thì các góc hình học uOv, Ù0v' bằng nhau.
35. Hai góc hình học uOv, ÙOV bằng nhau thì số đo của các góc lượng giác (Om, ớv) và ( Ou\ Ov') sai khác nhau một bội nguyên của 2ru. 6.2. Đổi số đo rađian của cưng tròn sang số đo độ : ,3 ĩí , , 2n . 1 ỉn a 4 ’ b) 3 ; c) 6 ;
36. y ; e) 2.3 ; f) 4,2 6.3. Đổi số đo độ của cung tròn sang số đo rađian :
37. 45° ; b) 150° ; c) 72° ; d) 75° 6.4. Một dây curoa quấn quanh hai trục ữòn tâm I bán kính ldm và tâm J bán kính 5dm mà khoảng cách IJ là 8dm (h.6.1). Hãy tính độ dài của dây cu-roa. Hình 6.1 6.5. ơ-ra-tơ-xten (Eratosthene), ở thế kỉ thứ n trước Công nguyên (Nguyên giám đốc thư viện nổi tiếng (Alexandrie)) đã tìm cách 195 6 . 6 . tính bán kính của Trái Đất bằng cách đo khoảng cách giữa hai thành phố A-lếch-xãng-đri và Xy-en (Syene) là 8004km (theo đon vị ngày nay ; thuở đó các đoàn lạc đà đi từ thành phố này đến thành phố kia mất 50 ngày đường). Biết rằng, khi ở Xy-en tia sáng mặt ười chiếu thẳng đứng (nhìn thẳng xuống giếng sâu), thì ở A-lếch-xăng-đri, tia sáng mặt trời làm một góc (7,1)° Hình 6.2 với phương thẳng đứng. Hỏi làm sao ơ-ra-tơ-xten suy ra được bán kính của Trái Đất (xấp xỉ 6 400 km) (h. 6.2) ? Bánh xe máy có đường kính (kể cả lốp xe) 55 cm. Nếu xe chạy với vận tốc 40 km/h thì trong một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng ? 6.7. Xét hình quạt tròn bán kính R, góc ở tâm a (R > 0, 0 < a < 2n). (h. 6.3).
38. Biết diện tích hình tròn bán kính R là nR và diện tích hình quạt tròn tỉ lệ thuận với số đo góc ở tâm. Hãy tính diện tích hình quạt tròn nói trên. Hỏi a bằng bao nhiêu thì diện tích đó bằng R 1 ?
39. Gọi chu vi hình quạt tròn là tổng độ dài hai bán kính và độ dài cung tròn của hình quạt đó. Trong các hình quạt có chu vi cho trước, tìm hình quạt có diện tích lớn nhất.
40. Trong các hình quạt có diện tích cho trước, tìm hình 'quạt có chu vi nhỏ nhất. 6.8. Huyện lị Quảng Bạ tỉnh Hà Giang và huyện lị Cái Nước tỉnh Cà Mau cùng nằm ở 105° kinh đông, nhưng Quảng Bạ ở 23° vĩ bắc, Cái Nước ở vĩ độ 9° bắc. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị đó ("Khoảng cách theo đường chim bay”), coi Trái Đất có bán kính 6378km. 6.9. Tìm số đo độ của các cung lượng giác có số đo rađian sau : Hình 6.3 -17n booktoan.com
41. —1,72. 196 6.10. Dùng máy tính bỏ túi, đổi số đo độ ra số đo rađian chính xác đến số thập phân thứ ba:
42. 20°; b) - 144°; c) 2003° ; d) «° 6.11. Cho góc lượng giác (Om, ớv) có số đo~ Hỏi trong các số ^; 1 Itc 31tc 14ĩi v s . v . , , - ., , ;- ; —— —— , những số nao là sô đo cua một góc lượng giác có ^ cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho ? 6.12. Hãy tìm số đo a của góc lượng giác (ỚM, Ov) vói 0 < Oí < 2«, biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là : 29« 128« 2003« , —r~ ;-r— ;- —r— ; 18,5. 6.13. Hãy tìm số đo a° của góc lượng giác (ỚM, Ov), 0 < a < 360, biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là : 395° ; - 1052° ; - 972° ; (20«)° 6.14. a) Trong các góc lượng giác có tia đầu Om, tia cuối ớv cho trước, chứng minh rằng, có một góc lượng giác duy nhất (ỚM, Ov) có số đo a ,
43. « < a < Tí và chứng minh rằng \c là số đo rađian của góc hình học uOv.
44. Tìm số đo của góc hình học uOv, biết góc lượng giác (Om, Ov) có số đo là : 9 71 5tc 106iĩ
45. T ; ~T : 9
46. 2003. • 220° ; - 235° ; 1945° ; -2003° 6.15. a) Chứng minh rằng nếu sđ(On, Ov) = a , sđ(On', Ov ) = p thì các góc hình học uOv, ùOv' bằng nhau khi và chỉ khi hoặc P - a = k2n hoặc J3+ a- k2ĩi (ke Z).
47. Hỏi trong các cặp góc lượng giác (Om, Ov) ; ( Ou\ Ov') có số do như

    sau, cặp nào xác định cặp góc hình học uOv ; n’Ov’ bằng nhau ? 13ji lln —— và —— 6 6 1211« 8 “ 13« . 1 lrc ——— va —— 17« , 15« — và ——- 731« . 11« 2003«

    30 và - 30 8 và booktoan.com 197 6.16 . Trên một đường tròn định hướng cho ba điểm A, M, N sao cho s á AM = y ; sđAN = -2^-, (ke Z). Tìm k e N để M trùng với N và tìm 6 /98 k e N để M và N đối xứng qua tâm đường tròn. 6.17. Trên một đường tròn định hướng cho ba điểm A, 'M, N sao cho sđ AM = -ị ; sđ A/V = -Ị- Gọi p là điểm thuộc đường tròn đó để tam rx giác MNP là tam giác cân. Hãy tìm số đo AP 6.18. Trên đường tròn lượng giác hãy tìm các điểm xác định bởi các sô':

    TT / ^{7 + i},(l€Z); k^.(ke Z) ; k^,(ke Z).

    6.19. Tìm giá trị lượng giác sin, côsin, tang của các góc lượng giác có số đo sau (không dùng máy tính) : • 120° ; -30° ; -225° ; 750° ; 510° 5n In 5ĩt lOn 17tc 6.20. Cho số ^ >2 <#< 7t. Hỏi các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các số sau nằm trong góc phần tư nào của hệ toạ độ vuông góc gắn với đường tròn đó : 7t 7t a-n\ a+ -ị '< 2 ~ a; ?

    6.21. Xác định dấu của sinor, cosa, tana, biết: 3rt n< a< ~ ; 3tc 7it 2 3, ■ n K
48. sin^-cos— ; o 3 B = CQS 7^ í 371 ì í lO / cos
49. sin sin — 1 4 J l 4 J 1 4 J V 4 J klit 6.24. Hỏi có bao nhiêu giá trị khác nhau của sin—, khi sô nguyên k thay đổi ? ỊrỌ/rr ìcllĩ ỈÍTĨ. Cũng câu hỏi đó cho cos ^{; tan} ; tan 6.25. Dùng máy tính bỏ túi, tìm các giá trị lượng giác sau (chính xác đến hàng phần nghìn) : ■ 1 aO 71 1 Ũ7t ,, sinio ; C0S-J ; tan—— ; cot(l,35). 7 7 6.26. Tính các giá trị lượng giác còn lại của a, biết: , 5 371
50. cosa = —và — < cc < 2n ; ._ 15 . ^{_ 3tu}
51. tanor = — vần < a< 8 6.27. Cho tana= 3. Tính 6.28. Chứng minh rằng : 2 ’ 2sino: + 3cosa 3sina — 2cosa 4sina — 5cosa ’ 5sin 3 or + 4cos 3 a 71
52. sina = 0,8 và -ị < a< 7Ĩ; 371
53. cota = - 3 và < a< 2n.
54. tan 2 a - sin or cot 2 a - cốs 2 «
55. tan a ; tx sina + cosa , _. 2 „ . A .3
56. —:——-= 1 + tan a + tan a + tan a ; • 3 . cos a
57. -v/sin 2 a(l + cot«) + cos 2 a( 1 + tan a) sin a + cosa 0 2 2 2 2
58. sin a tan a + 4sin a- tan a + 3 cos a= 3. (Giả sử các biểu thức đã cho đều có nghĩa). Dooktoan.com 199 6.29. Cho tana + cota = m, hãy tính theo m
59. |tan a - cota 2 2
60. tan a + cot a ; 3 3
61. tan a + cot a. 6.30. Cho sina 4- cosa = m, hãy tính theo m
62. sinacoso;; 3 3
63. sin a + cos a ; 6.31. Chứng minh rằng :
64. sinứí - cosa J \ „-6 6
65. sin a + cos a. ,1-cosa /1 + cosa ' 1 + cosa + V 1 - coso: sina
66. 1 + cosứr il-cosa 2cosa 1-cosor \l + cosa sina (Giả sử các biểu thức đă cho đều có nghĩa) §3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦẦ CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT 6*32* Đơn giản biểu thức : /
67. cos % \ V
68. sin(ớ: — k) ;
69. cos(tĩ -a) + sin f K N a + V 2 ) /
70. cos 71 — - a ', Jn '
71. sin — — a \ /
72. cos 3 tĩ V 2
73. a \
74. cos / / 7I \1 -sin / / 7l x i + a \ í 3ti ì ( 7n) / 7tĩ')
75. sin — - a
76. cos a - —-
77. sin a - / V 2 / l 2 J V 2 J /
78. cos ,T~ a í 3 TI
79. cos(ti - a) + cos - a booktoan.eem y 4- cos( 2 ti - a) ; 200
80. sin '5% \ x 0~ a . \ I (
81. cos 1371 V 2 /
82. a
83. 3sin(ứr— 5rc) - 2sina — cos a ;
84. cos(5n + a) - 2sin 11 n
85. a V / \ )
86. sin f 1 Iti n —+ Oi V 2 J 6.33. Chứng minh rằng với mọi a ta có :
87. sin
88. cos 5n \ '3ti 1
89. a

    = - sin

    _{r - ct l 4 V 4 ■) / 2n N (n \ a}
90. —cos -r + a \ 3 > K3 J
91. cos r 2n V 3 / = cos 47C
92. a V 6.34. Không sử dụng máy tính và bảng số, hãy tính :
93. sin315° ; cos930° ; tan405° ; cos750° ; sinll40° ;
94. cos630° - sinl470° - cotl 125° ;
95. cos4455° - cos945° + tan 1035° - cot(-1500°). 6.35. Tính , 71 271 8tt
96. cos— + cos-77- + ... + cos—; 9 9 9 ,..971 . 2 . 2 71 -2 2rc . 2 5 tĩ . 2 771
97. sin -T + sin -7 + sin -7 + sin —- + sin —f + sin 3 6 9 9 18 18 ; , 2 TC 2 571 2 71 2 1 Itĩ 2 1371 2 271
98. cos - ^{+ cos —- + cos — + cos + cos 1 + cos -77-; 3 6 9 18 18 9 ,, 71 2rt 9 tĩ}
99. C0S-J + C0S-J- + ... + COS-ỊT 1 ; „ . 7t .271 . 9 tc
100. sin- + sin— + ... + sin — d —r 6.36. Giả sử trên đường tròn lượng giác, điểm xác định bởi số a nằm trong góc phần tư I, II, III, hay IV của hệ toạ độ vuông góc gắn vói đường tròn đó (không nằm trên các trục toạ độ). Khi đó điểm xác định bởi các số : a + ^{; a + TC ; a - ; -a ; -a + -a + 7Ĩ nằm trong góc phần ỉ?}201 Điểm xác định bởi Nằm trong góc phần tư a I II III IV n a+ 2 II a + n n a 2 -a n
     a+ 2 -a+n 6.37. a) Trên đường tròn định hướng tâm o cho ba điểm M, iV, p Chứng minh rằng M, N là hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng OP khi và chỉ khi sđ( OP, OM) + sđ( OP, ON) = kln (k e Z).
101. Trên đường tròn lượng giác, xét các điểm M, N, p xác định theo thứ tự bời các số a , /3, ỵ. Chứng minh rằng M, N là hai điểm đối xứng nhau qua dường thẳng OP khi và chỉ khi a+ j3= 2ỵ+ kln (ke Z).
102. Tìm điều kiện để hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định theo thứ tự bởi các số a , /3 đối xứng nhau qua dường phân giác của góc phần tư II (và IV) của hệ toạ độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác.
103. Hỏi các điểm ừên đường ữòn lượng giác xác định theo thứ tự bởi các số TU TU 5 TU 1 3n 4 ’ 2 ’ 6 ’ 12 ’ c ° pkải ĩà các đỉnh của một hình thang cân hay không ? 6.38. Chứng minh rằng, với mọi a, với mọi số nguyên k, ta có : sin cos r , tĩ N a + V 2 J a-+kị 2 tan a + k~z V 2 J (-l) y sino; nếu k = 21 (-l)cosứr nếu k = 21 + 1 ; ( - 1) cos a: nếu k = 21 (-l) ,+1 sinữ nếu k = 21 + 1 ; tan a nếu k = 21
104. cot a , nếu k =21 + \ boaỄct (khi các biểu thức này có nghĩa). oan.com 202 6.39. Tính cos-^ và sin bằng "phương pháp hình học' o 0 như sau : Xét tam giác vuông ABC với . n AB Sm T " ~BC 'X n. % rc V rc AC

     A = r c= 8 th ' cos 8 = BC ■ Bằng cách xét điểm E trên cạnh AC sao. cho AE = AB (h. 6.4), hãy chứng minh rằng :

     n v2 + -slĩ K \2 - yfĩ C0S 8 “ 2 ’ sin 8 = 2 6.40. Chứng minh công thức tan-- - - Sin Qr —

     6 6 2 1 + cos a 71 (với 0 < a <-ị) bằng "phương pháp hình học"' như sau :

     ĩl 'l Xét tam giác vuông ABC với A - B = a Bằng cách vẽ đường phân giác BD của góc B (h. 6.5), từ tính chất , hãy suy ra rằng : AB BC Hình 6.4 a tan—- = ■ 2 1 + cos a sino; T „ . , n

     Hãy tính tan 12 Hình 6.5 n 6.41. Chứng minh công thức cos2«r= 2cos a- 1 (với 0 < a < -ị) bằng "phương pháp hình học’’ như sau :

     ^{Tl Xét tam giác vuông ABC với A - B = a . Kẻ đường trung trực của đoạn BC cắt AB tại ,} „ AI AB ỉ. Dê thấy : cos2a = — ; cosa = —rp; ỈC BC (h. 6.6); từ đó hãy suy ra cos2a = 2cos 2 o; - 1. Hình 6.6 booktoan.com 203 §4. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 6.42. a) Viết 7C 12 n ĩi ĩ_{4 71 1 71 V. 12 = 2 ‘ 6 ' rô dùng công thức c( ^{ng ’ công 71 nhân dôi để tìm các giá trị lượng giác sin, côsin, tang của góc bằng 1 Ẩmề hai cách khác nhau và đối chiếu các kết quả tìm thấy.}}
106. Tính sin, côsin, tang của các góc 75°, 105°, 165° (không dùng máy tính bỏ túi). 2tĩ 6.43. a) Tính X = cos bằng ' phương pháp hình học" như sau : Xét tam giác cân ABC với B = c = . kẻ đường phân giác BD của tam giác dó. Từ tính chất (h. ố.7) hãy suy ra 4x 2 + 2x - 1 = 0. BA ŨA
107. Từ đó tính cos- ^,sin-, tan- ^{w/ w ĩ}
108. Tính sin, côsin, tang của 18°
109. Viết 6 = 36 - 30, tính sin, côsin cùa 6° Thử lại bằng máy tính bỏ túi.
110. „ 3 6.44. Cho cosor= -J, sinỡr > 0 ; sin/? = ^{, cos/?< 0. Hãy tính cos2 a, sin2 a, cos2/?, sin2yổ, cos(« + /5), sin(a- p ). 6.45. a) Cho cosa = 0,6 và 0 < a < -Ệ-. Hãy tính cos-}-; sin -; tan-^{-. 2 2 2 2}
111. Cho sin/?= jVã ■—< p< K Hãỵ tính cos- ; sin-^ ; tan-ệ A Hình 6.7 6.46. Cho cosa = m.
112. Hãy tính cos2«; sin 2a; tan 2 2ứr theo m (giả sử tan2a xác định).
113. Hỏi sin2o:; tan2« có xác định duy nhất bởi m hay không ? 6.47. Cho sin a = m. Cũng câu hỏi như ỏ bài 6.46. booktoan.com 204 6 . 48 . Cho cosa = m. Hãy tính cos 2 ; sin 2 ; tan 2 y theo m (giả sử tan-y xác định). ẩL jL £ £ . (X 6.49. a) Tính sin a, cos a theo tan—- = t . 1 X TT- , 1 — cos a 1 . . - a
114. Hay tính —:-+ -+ 4sin a theo tan— = t . sin a tan a 2 6.50, Giả sử các biểu thức sau có nghĩa, chứng minh rằng :
115. tan <2 = sina + sin2# _* 1 + cos a + cos 2 a ’ ,. 2 2 sin 2a - sin 4a
116. tan a = ' T 2sin2ứr + sin4ứ: 6.51. a) Chứng minh rằng với mọi a, /?, ta có : 2 2 , 2 n . , . sin (a + p) = sin ớ: + sin /? + 2sinasin/x;os(a + /3).
117. Biết cos a + cos/? = m ; sinớr + sin/? = n, hãy tính cos(a - P) theo m và n.
118. Biết cos 2 or + cos 2 /? = p. Hãy tính cos (<2 - /?)cos (a + /?) theo p. 6.52. a) Chứng minh rằng nếu cos(a + ýỡ) = 0 thì sin(a + 2/?) = sina.
119. Chứng minh rằng nếu sin(2a + Ịĩ) = 3sin/? và coscr 9É 0, cos(a +P) 9* 0 thì tan(a +/?) = 2tan a. 6.53. Chứng minh
120. 4cosl5°cos21°cos24° -COSỈ2 0 -cosl8° = 1 + 2 >
121. tan 30° + tan 40° + tan 50° + tan 60° = ^{^cos20° ;}
122. 1 1 = 2 ; sin 18° sin 54°
123. tán9° - tan27° - tan63° + tan81° = 4. 6.54. Chứng minh , sinx + siny . X + y ắ x .
124. -— < sin—-— với mọi X, y đéu không âm và X + y < 2n. Á* , , cosx + cosy X + y , . n
125. — < cos——— với mọi X, y thoa mãn -n < X + y < n. ẩL> Ẩmt 6.55. Chứng minh
126. -ì 7 ::ir = tan(a + /?) (khi các biếu thức có nghĩa). cosa - sin/?sin(a + /?) booktoan.com 205 6.56. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện : . . , cos B + cos c .
127. sú1y 4 = thì tam giác ABC là tam giác vuông ; ,, sin,4 cosô + cosC .. .. ,
128. "" n = — thì tam giác ABC là một tam giác vuông hoặc sin B cosC + cos/l một tam giác cân. 6.57. Xét các biểu thức s = sin ứ; + sin2ũí + sin3a + ... + sin«a, 7 = 1 + cosa + cos2a + cos3a + ... + cos na (n là một số nguyên dương). Chứng minh : . C-OC _.na (n + l)a « ... na . (« + V)a
129. Ssin — = sin-—-sin ; b) 7sin — = cos-r-sin——-—. « + Á 6.58. Chứng minh : . . 271. 4tĩ . 6rc 1 71
130. sin— + sm— + SU1-—- = — cot- ; 7 7 7 2 14 , . 7Ĩ 3rc 5 tĩ 7ít 9 tx 1
131. cos— + cos— + cosJY + cos Tị + cos -_{Ỷ = -ị ; ,2te 471 ÓTt 8 tt IOtĩ 1}
132. cos— + cos yj" + cos-j-j- + cos^Y + cos- - = Ỷ ; .. . 71 , 2n . IOti 7ĩ
133. sin + sin + ... + sin-7-7- = cot—77 11 11 11 22 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG VI 6.59. Cho sinớr - cosứr = m. Hãy tính theo m
134. sin <2 cosc?; b) Isinữí +coscd ;
135. sin 3 or-cos 3 «; d) sin 6 a+cos 6 «. 6.60. Tính
136. sín 2 15° +sin 2 35° + sin 2 55° + sin 2 75 0 ;
137. sin 2 £ + sm 2 ^{+ sm 2 ạ + sín 2 Ị2 ; 0 0 0 0}
138. cos 2 A + cos 2 |5 + cos 2 ÍỊ + cos 2 Ịs + cos 2 |s + cos 2 iis

     12 12 12 12 12 12

     ^{booktoan. com 206 6.61. Giả sử phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, (ac * 0) có hai nghiệm là tan <2 và tan /ổ. Chứng minh rằng ỡ.sin 2 (<2 + P) + ồ.sin(a+/?)cos(o! + yổ) + c.cos 2 (or + p) = c. 6.62. Chứng minh rằng với mọi ot mà sin2or} 0, ta có f 1 sìn(cotoí) + sin(tanor) = 2sin \sm2a ; cos(cot2«). 6.63. Chứng minh công thức cos(« - P) = cosorcos/? + sinossin/? c (với 0 < p < a + . Từ đó suy ra Hình 6.8 công thức trên. 6.64. Chứng minh rằng cos 22 2 ' + ' ^{+ V 2 + \Ỉ2 6.65. a) Chứng minh cos “ coscos - 1 = -2 bằng cách nhân cả hai vế y y 9 0 với sin 2n 1 \ /^1 /, . , ì 2 tc 8tĩ 5 71 TL 5 71}
139. Chứng minh răng cos — 4- cos — = 2 cos — cos — = cos ,,..2tc 471 _ 8tc - Từ đó suy racos — + cos —- + cos -7-- = 0 .
140. v . u.„1_ 2 2tc 2 4tĩ 2 8tĩ 3
141. Từ b) suy ra ràng cos —— + cos —7- + cos _{= . 9 9 9 2}
142. Từ b) và c) suy ra rằng : _27T_4tc __4rt_8 tc 871 2tĩ cos cos + cos Ỷ cos -ặ- + cos -ệ- cos -Ẹ- booktoan.com 3 4 207
143. Từ a), b) và d) suy ra rằng : / X - cos 2k / V X - cos 4ĩz r \ X - cos 871 \ V = X 3 + từ đó ta có 1 -cos 2ĩi V 1 -cos 471 ) V 1' — cos 871 \ V 3 8 Suy ra . K . 2n . 4n
144. sin 9 sin ^9 sin 9 8 ■ . 5n . In . Sn V3 • sin 9 sin 9 sin 9 8 ■
145. Từ e) suy ra rằng .71 2n . 3tĩ . 4tĩ . 5tĩ . 6 71 7tĩ 8tt 9 sin ị Sìn =ệ sin sin Ỷ sin Ỷ siỉl 9 sin 9 sin 9 256 (Chú ỷ. Người ta chứng minh được rằng không thể dùng thước và compa dể dựng đa giác đều chín cạnh nội tiếp trong một đường tròn cho trước). 6.66. Chứng minh rằng cos 2 (ỵ - à) + sin 2 (ỵ - f3) - 2cos(/ - ứr)sin(/ — P)sm(a - p) = = cos 2 (a - /3). 6.67. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức sin 4 a + cos 4 a . 6.68. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức sin 6 a + cos 6 a. GIỚI THIỆU MỘT SỐ CÂU HỎI TRAC nghiệm khách quan Đối với các bài từ 6.69 đến Ớ.78, hãy tìm phương án trả lời đúng trong các phương án đã cho. 6.69. sin bằng : ... 471 7 z . 7t ĩl (A) cos-^{- ; (B) cos-Ịr ; (C) 1 - cos-} 1 ; (D) -cos-ị. 208 booktoan.com s (■T/v -7Ĩ 7C Tt 4 tc - ì. 6,70. sin—cos—+ sin^cos-- băng (A) 1 ; ;

     (B) - 7^ ; (C) 73 ; (D) 0. (D) -73. (D) -73. 6.73. Giá trị lớn nhất của biểu thức sin 4 a + cos 4 a là ♦ (A) 1 ; ( B) ^ ; (C) ị- ; (D) Không phải ba giá trị trên. 6.74. Giá trị lớn nhất của biểu thức sin 4 OL + cos 7 a là : (A) 2 ; (B) 1 ; (C) ; (D) Không phải ba giá trị trên. 6.75. Giá trị bé nhất của biểu thức sin 4 a + cos' a là : (A)-2; (B) -1 ; (C) -I ; (D) 1. 6.76. Giá trị lớn nhất của biểu thức sin 1 " a + cos 12 a là : (A) 2; (B) i ; (C) 1 ; (D) I 6.77. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức —2;-3 tan 6 a là : cos 6 a (A) 4 ; (B) -3; (C) 1 ; (D) 2. booktoan.com M-BĨĐS10.NC - A 209 6.78. Với mọi a, biểu thức

     r ( TT \ 71 ( 2 71 x í 97x1 cosa + cos a + -7
146. cos a + — 1 +... + cos a + —— V 5 ) V 5 ) K 5 ) nhận giá trị bằng (A) 10 ; (B) -10 ; (C) 0 ; (D) Không phải ba giá trị trên.
147. ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI 6.1. a) Sai : (Om, Ov) = a thì có vô số số nguyên Ấ: để a + k2n < 0.
148. Sai : ( Ou, Ov ) = a thì (ớv, Ou) = —a + k2n, do đó có vô số số nguyên k để -a + k2n > 0 .
149. Sai : Với ( Ou, Ov) và lấy Ou' = Ov, Ov' = Ou thì ( Où, Ov') = Á (ơv, Ou) = -y nhưng uOv = vOư = u'Ov'
150. Đúng : = 2n - Y <- = -271 - Y ; mOv = -7- u'Ov' 6 6 6 6 6
151. Đúng : Vì hai góc lượng giác đó có số đo dạng a + k2ĩi và a + /2tĩ (k, l e Z), 0 < a < 2n.
152. Sai : vì (ỠM, Ov) =-y ; ( Ov , Ou) = --Ệ có uOv = u'Ov' nhưng n 2 í ^\ 7t — 71 6 . 2 . a) 135° ; b) 120° ; c) 330° ; d) (77,1429)° 77°8’34";
153. 2,3 s 131°46'49";
154. 4,2 240°38’32" 71 6.3. &)-Ị ;
155. 5tĩ
156. 2tc
157. 5ti Ĩ 2 6.4. Gọi A, B là hai điểm tiếp xúc của dây curoa theo thứ tự với đường tròn tâm / và tâm ĩ (A, B nằm cùng phía đối vối đường thẳng IJ). Ta có booktoan.com 210 14-8TDS10.NC - B cosBJI - 1 = Ị- (r = 1 là bán kính của đường tròn tâm /, d 8 2 R - 5dm là bán kính của đường tròn tâm /, d = 1J - 8dm là khoảng cách giữa hai tâm). Vậy BJỈ = a = J Dễ thấy chiều dài dây curoa bằng :
158. a) + ra + dsina] = 2 / V 1 Itt
159. 4Vãì 36,89 (dm). 6.5. Các tia sáng mặt trời chiếu song song xuống mặt đất: ở Xy-en (kí hiệu là 5) chiếu thẳng góc với mặt đất, ở A-lếch-xăng-đri (kí hiệu là A ) tạo với phương thẳng dứng một góc (7,1)° nên số đo cung tròn AS là (7,1)° Gọi R (km) là bán kính của Trái Đất, thì do độ dài cung tròn AS bằng 800km, 4 . . „ 800 800.180 A £? sr /1 \ suy ra được R = -= 7 — 6456 ( km) . ít ,,, Ítx7,l X 7,1 180 ,, A .... . . 4000000 . . , 6.6. Trong một giây, bánh xe quay dược — — «6,4 (vòng). 60.60.55. Tí 6.7. a) Diện tích hình quạt tròn với bán kính R và góc ở tâm a là jiR~ 1 _ ọ s = = ^-R 2 a .TừâóS = R & a = 2. 2ĩĩ 2
160. Chu vi hình quạt tròn nói trên là c = 2R + Ra. Hai số dương 2 R và Ra có tổng không đổi nên tích 2R.Ra = 45 dạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 2 R = Ra <=> a = 2.
161. Hai số dương 2 R và Ra có tích 2 R.Ra = 45 không đổi, nên tổng 2 R + Ra = c đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 R = Ra <=> a = 2. . ,, 6378.14 .n 6.8. Độ dài cung kinh tuyến đó là 180 1558 (km). 6.9. a) 420° ; b)-612°; c) 390° ; d) -1,72 « - 98 0 32'55". 6.10. a) 0,349 ; b) - 2,513; c) « 34,959 ; d) 0,055. 6.11. Các góc lượng giác ( Ou, Ov) có số đo là ^{+ k2n = (lOk + 1)}- k € z. Vậy trong các số đo đã cho chỉ có sô .. 3171 booktoan.com 211 6.12. Các số a cần tìm theo thứ tự là ^{;a*Ị ,889ĩĩ ~ 5,934. 6.13. Các số ằ cần tìm theo thứ tự là : 35 ; 28° ; 108° ; (2Ọĩt)° (» 62°49'55"). 6.14. a) Nếu một góc lượng giác ( Ou , ớv) có số đo a, - n < OL < 7t, thì mọi góc lượng giác (ơw, ớv) khác có số đo a + k2n (k G z (0Ị), nhưng dễ thấy a + kin Ể (-7T ; Tt], với k nguyên khác không, vậy góc lượng giác đó là duy nhất. Khi hai tia Ou, Ov đối nhau thì một góc lượng giác ( Ou, Ov) có số đo là TE và 71 cũng là số đo rađian của góc bẹt uOv. Khi Ou, Ov không đối nhau thì sỏ đo góc hình học uOv là J3, 0 < J3}
162. Số đo góc hình học uOv cần tìm theo thứ tự là 5tc í 5n 271 T ’ T ; ~9 : 1,336 (do 2003 * 319.271- 1,336 và - 7 Ĩ <-1,336 < 7 ĩ); 140°; 125°; 145°; 157° 6.15. a) Viết a = a ữ + k 0 2n , - 7 Ĩ < a 0 < n , (Ấ : 0 e Z) và p = P ữ + , - 7Ĩ < < 7C , (/ 0 G Z), ta có |a 0 | là số đo củai/ớv, | 0 | là số đo của u'Ov' Hai góc hình học bằng nhau khi và chỉ khi l«ol= m <=> Po = a 0 h °ặ c «0 = -p 0 <=>/?-«= klĩi hoặc Jổ+ a= k2n, (k e Z).
163. Cặp góc hình học ứng với cặp góc lượng'giác Có sô đo 1371 và 1 Itĩ ,, , . / Có số đo — 3 — và — 6 1 Itĩ là bằng nhau 1371 11 K -T” T— = 47t là bằng nhau Íl3n r 117C> \ = 4rc l 6 V 6 J / booktoan.com 212 Có số đo — 7 - và \ln . 1 5tc ,, , 1 là bằng nhau / 17n ( 1571 A l 4 J = 871 Có số đo 731tĩ „ -1 ỈTt , 5. í 30 và 30 là bằng nhau 73171 -ì ìn 30 + 30 = 24 + . . 200371 —121 Itc ằ Có số đo — 7 — và- 7 1 — là không băng nhau (đo 8 2003+ 1211 8 8 3214 A . 2003- 1211 792 không nguyên và —— 8 8 8 = 99 không chẵn). 6.16. • N trùng với M khi và chỉ khi có số nguyên / để = 6 + h a y

     k = 133(1 + 12/). Do Ả: € N nên / e N. • N đối xứng vói M qua tâm của đường tròn khi và chỉ khi có số nguyên / để

     = +(2/ + 1) 71 Q(= 133(7 + 12/). DoẨ: e N nên / e N.

     798 6 6.17. Cách 1. Dùng hình vẽ, dê dàng suy ra các kết quả sau I3jr _ • PN = PM <=> sđ AP = —+ kn (k e Z) (có hai điểm p như thế ứng với

     ^{I k chẵn và k lẻ). . 7 71 • NP = NM o sđ AP = + /c2tĩ (* 6 Z). 6 • MP = MN <=> sđ AP = —^r + ảt2tc (ắ: e Z). Cức/ỉ 2. Với ba điểm phân biệt M, N, p trên đường tròn định hướng tâm o gốc A, dễ thấy PM = PN khi và chỉ khi POM = PON nên theo bài tập 6.15 và do M khác /V, ta có sđ ( OP , OM) + sđ ( OP , ON) = k2n (k G Z), tức là sđ (OA, OM) - sđ (OA, O/ 5 ) + sđ (OA, 07/) - sđ (OA, OP) = /c2ti (k e} )' booktoan.com 213 0: 1 /"V Vậy PM = PN <=> sđAP = -^{(s đAM + s âAN ) + kn (k e Z). Từ đó suy ra các kết quả ở cách 1. 6.18. • Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các sô'-} + k— , (k £ Z) là bốn điểm của hình vuông nội tiếp đường tròn đó, có hai cạnh song song vói OA (o là tám, A là giao của đường tròn với trục hoành (là gốc của dường tròn lượng giác)), (chỉ cần lấy Ẩ: = 0, 1,2, 3). Tí • Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các sốk-ị. (k e Z), là các đỉnh của lục giác đều nội tiếp đường tròn đó, trong đó một đỉnh là gốc A của đường tròn lượng giác (chỉ cần lấy k = 0, 1, 2, 3, 4, 5). 7 7 2 71 • Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các sốk. ( k £ Z), là các đỉnh của ngũ giác đều nội tiếp đường tròn đó, trong đó một đỉnh là gốc A của đường tròn lượng giác (chỉ cần lấy k = 0, 1, 2, 3, 4). 6.19. sin côsin tang Ghi chú 120° V3 1 -73 2 2 o o co 1 1 73 75 2 2 3 -225° 4Ĩ 72 -1 2 2 (-225 = -360 + 135) 750° 1 2 73 2 73 3 (750 = 720 + 30) 1 73 73 510 2 2 3 (510 = 360+150) 214 booktoan.com sin côsin tang Ghi chú 571 1 4 2 2 7ĩt 2 -1 0 không xác định ln 2 ■ 4 rc
164. 4 ” 2

     5ĩĩ ■S 1 — >/3 5ĩt = 3 2 2 3 3 -IOtc yỊỈ 1 ->/3 IOtx . 2.ÍX = -4 71 + 3 2 2 3 3 17ĩt yỊĨ 1 -y/ỉ 17tc = 6n-Ị 3 2 2 3 3 6.20. Điểm xác dịnh bởi a nằm ở góc phần tư II thì điểm xác định bởi a - 1 t nằm ỏ góc phần tư IV. ĩt

     ^{- a nằm ở góc phần tư IV. Á* n a + -}- nằm ở góc phần tư III. 3 n
165. a nằm ở góc phần tư II. 6.21. Kí hiệu M là điểm thuộc đường tròn lượng giác xác định bởi số a thì: Dấu sin côsin tang 71 < < y => M e (III) — — 4- 3n 7n /TX r\ —-< a< -Ỵ => M e (IV) — — < a < 2n => M e (IV) —
166. — 2k < a < 2,5jĩ => M € (I)
169. ^{IOtc /TTTV 3 n< a< -y- => M e (III) — — 4- 5tc llĩi /TT . < a< —ì~=> M e (II) 2 4}
170. — — (Các kí hiệu (I), (II), (III), (IV) theo thứ tự chỉ các góc phần tư I, II, III, IV) booktoan.com 215 6.22. M có toạ độ (x ; y) * (0 ; 0), đặt sđ ( Ox , OM) = a thì cosứr = X 7 x 2 + y 2 ; sin <2 = y V X 2 + y 2 • Vậy M cosor sinor tana cotữ M{ 3 ; -4) 3 4 4 3 5 5 4 M(4 ; -3) 4 3 3 4 5 5 4 3 M(-12 ; -9) 4 3 3 4 “5 4 3 M(-1 ; 1) SỈ2 Jĩ -1 -1 2 2 6.23. /4 = -ị ; B = 0. 't Ĩcĩí 6.24. • Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các số —(£ e Z) là các đỉnh của ngũ giác đều nội tiếp đường tròn đó mà một đỉnh là A(1 ; 0). Từ đó quan sát hình ta thấy : Ấr2ĩu sin—y- (k e Z) có năm giá trị phân biệt, cos —(k e Z) có ba giá trị phân biệt, 71 tan —(k e Z) có năm giá trị phân biệt. Các diêm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các sồ' -2- (k e Z) là các đỉnh của một lục giác đều nội tiếp đường tròn đó mà một đỉnh là A(1 ; 0). Từ đó quan sát hình ta thấy : tan y (ấ € Z) có ba giá trị phân biệt (cụ thể là 0 ; \Ỉ3 ; _{\Í3 ). booktoan.com 216 6.25. sin 10° « 0,174 ; cos2 =5 0,940 ; tan0,364 ; cot( 1,35)} 0,224. y y 6.26. a) co s# = -j+-. sin# < 0 nên sina 25 12 12 '“169 T3' dođÓlan “ í cotơ = — 12
171. sin# =-2 cos a < 0 nên co sa . 16 -3 Tív -4 1 - — = —. 1 ừ đó suy ra tan# = 25 3 ■ cot# = —— 4 15
172. tan« — —. cos# < 0 nên cos# = — 8 1 + 1 8 .... .. 15 . 225 =—,từđó S ina = -ỊÌ ; 64 cotữ = 8 15 6.27.
173. cot# = -3, sin# < 0 nên sin# = — tan# =—ì 3 2sin# + 3cos# 2tan# + 3 9 1 1 1 + 9 Vĩõ , từ đó cosa = 3 y/ịõ ’ 4sin#-5cos# 4tan#-5 ý khi tan# = 3. 3 sin # - 2cos # 3 tan a — 2 5sin # + 4cos 3 # cos 2 #(5 tan 3 # + 4) 3 tan# - 2 /. 2 \ 20 5tan J ữ + 4 ( 1 + tan # I = 139 khi tan# = 3 6.28. a) tan 2 # - sin 2 # cot 2 # - cos 2 # sin 2 # r U-i' Vcos a cos 2 # Lsin 2 # . 2 2 sin ứítan ứr cos 2 acot 2 # = tan a . , sinớí + cosớí - cosa(tanơ +1) ị 2 t \/ V
174. - — =-—y-= (tan a 4- l|(tana 4-1) eos a cos ữ ' ' 2 3 = 1 + tan# + tan ữ + tan #. booktoan.com 217
175. Jsin 2 a{ 1 + cot a) + cos 2 ơ(l + tana) -V . 2 2 sin <2 + sinorcosa + cos (2 + cosơsina = J(sin <2 +- cõsaỷ = sin <2 + cosa .2 2 2 2 2
176. sin "<2 tan a + 4sin ữ — tan a+ 3 cos ỡ! = -tan 2 a cos 2 a + 4sin 2 a + 3cos 2 <2 = 3(sin a+ cos a ) = 3. 6.29. Cho tana + cot <2 = m , ta có : 2 2 2 « 2 ~
177. tan a + cot (2 = (tan <2 + cotứr) - 2tana C 0 t (2 = m - 2. 2 2 2 « 2
178. (tanor - cot< 2 ) = tan <2 + cot (2 -2tanacot<2 = m -4. Vậy tan a - cot <2 từ đó m l > 4) /2 7 , = Vm - 4 (đế ý răng, do tan< 2 .cot< 2 = 1, nên tan« + cotữ 2 , 3 3 / 3 3
179. tan <2 + cot <2 = (tan <2 + cot< 2 ) - 3taní2cotứr(tana + cota) = m - 3m. 6.30. Cho sinơ 4- cos <2 = m, ta có : . . 1
180. sm <2 cosa =— 2 (sin a + cosữì - 1 m 2 — 1 2 2 2
181. (sina- C0S<2) =1-2 sinứ;cosa= ì- (m - 1) = 2 - m , từ đó sina -cosct = \l2-m 2 (lập luận này cũng chứng tỏ rằng, nếu sina +cos <2 = m thì 2 - m 2 >0, tức là ta luôn có jsin a + cosorị < \Ỉ2 ; còn có thể suy ra bất đẳng thức này từ nhiều lập luận khác). .3 3 3 t
182. sin a + cos "a= (sina + COSÍ2) - 3 sina cosa (sino: + cosa) -3 = m -3 '2 ^ m - 1 V m m = ( 3 -
183. sin 6 or + cos 6 a = (sin ? a + cos 2 ữ) 3 -3sin 2 ớr cos 2 <2 (sin 2 a + cos 2 a) \2 = 1-3 / 9 m 2 - 1 A o —3/72 + 6m + 1 4 / booktoan.com 218 , „ , 1 -cosa . 1 + cosa 6.31. a) J + J- - 1 + cosa V 1 - cosor 1 - cosor + 1 + cosa 2 sinứr Ịsìn a\ Ỷ Ị(l + cosa ) 2 sin 2 a . (Chú ỷ rằng lcosơl < 1).
184. 1 + cos a 1 - cosa 1 - cos a 1 + cos« cosa ) sin 2 a 1 + cos« - l + cosa 2 cosa 6.32. a) 0 ;
185. 0 ; sina
186. 2 sina; sm a 6.33. a) sin b)cos sinữr;
187. 0 ì
188. 0 ;
189. 2 cosa.

     ( 5rt ] / 3rc 1 / 3 tĩ \

     ^{3jĩ \ -7- -h a = sin 2 71 - —— + a}
190. sin —
191. a — —sin A~ a 4 V / V 4 / V 4 ) l 4 / c)cos / I V / ỉ V a - 2 % T 2 tt \ / \ /
192. -cos 2ĩi a -
193. TC \ = — cos r TC X , a+ 3 a - ( 4 71 ì ( cos a + —- - 2n = cos a + ——- { 3 l 3 ) 634 . a) Đáp số theo thứ tự là 4Ĩ VI 2 ’
194. 4 2 ’ 1 ; VI. 2 ; VI
195. -1 + VI 6.35. a)cos^ + cos 9
196. ... + cos- ^{= 0 , do cos(ti — à) = — cos a.}
197. Do sin ^7 = sin 3 V „ . 7ít / Do sin--r- = sin lo ~ ‘ 571

     Do sin— = sin

     Tí Tí ^{Tí 71 2~9' " / / -} \ % * . 2 n . .2 n 1 = COỒ— nên sin —- -f sin — = 1 . 6 3 6 K 2 7 71 , 2 ^{1 = co$-} nênsin + sin — = 1 . 9 1 8 9 18 \ 7t 2ĩt 2 _ 9~ / 2tĩ . . 2 2ỉt . 2 5ti = cos —- nên sin + sin —— = 1 . 9 9 18 . 2 . 2 ^{. ■ 2 . ■ 2 -2 5 tC -2 771 Vậy sin -7 + sin + sin 77 + sin - 7 - + sin —- + sin - 75 -= 3. 3 0 1 _ 9-., 9 lo lõ booktoan.com 219}
198. Do cos „ 1171 Do cos——- = cos 18 / 5tĩ'' í n TC
199. cos — + — l ổ J L2 3 J V
200. 1371 / Do cos—— = cos / n 7t x 2 + 9) . 7t „ 7 n 2 5it . = -srn —, nêncos -ị + cos = 1. . 71 . 2 71 2 1 ỈTt . = -sin —. nên cos 77 + cos --77- = 1 • 9 9 18 18 V 71 271 v 2 + 9~j .271 4 _ 2 Ị 3 tI . ...2 271 , = -sin — , nên cos «—- + cos — = 1

     9 18 9

     2 71 2 571 2 71 . .2 1 Itĩ _2 1 3tc _2 2tĩ Vậy cos ^{7 + cos} + cos 77 + cos + cos -777- + cos — = 3 . 3 6 9 18 18 9 JN ~ 6 tĩ /
201. Do cos-r- = cos cos 5 871 V 71 Tt H—— \ 71 ln 2iz = -cos— ; cos— = -cos — 3tĩ_9tt ... 471 , — = —COS—— ; cos——- = — cos—-; COS71 = —1 nên 5 5 5 5 71 2tt 971 cos— + cos — + ... + cos—■ = —1 .
202. Tương tự đối với sin, nhưng ở đây sin7t = 0, ta có : ■ 71 . 271 , 971 sin-- + sin — + ... + sin — = 0. {Chú ỷ : Ta cũng có thể xét thập giác đều có các đỉnh là A k là các điểm trên đường tròn lượng giác, xác định bởi các số (k = X ; 2 ; 3 ; 4 ;... ; 5 9 ; 10) và nhận xét rằngOAỵ + OA 2 + ... + OA xũ = õ). 6.36. Điểm xác định bởi Nằm trong góc phẩn tư a I II III IV ĩí a+ 2 II III IV I a+ n III IV I II 7C a 2

     IV I II III -a IV III II I n

     ữ+ 2 I IV III II -a+ 7t II I IV III booktoan.com 220 6.37. a) Theo mô tả của cung lượng giác, hai điểm M, N trên đường tròn định hướng tâm o là hai điểm dối xứng qua đường thẳng OP (P thuộc đường tròn đó) khi và chỉ khi sđ PM+&dPN = k2n (k e Z).
203. Từ câu a) nếu M, N, p thuộc đường tròn lượng giác xác định theo thứ tự bởi các sô a, j3, ỵ thì M , N là hai điểm đối xứng qua đường thẳng OP khi và chỉ khi a- ỵ+ /3- ỵ= kln tức là a + fì~ 2ỵ+ k2n, (k G Z).
204. Coi p xác định bởi sô —7- thì hai điểm M, N xác định theo thứ tự bởi a, P là hai điểm đối xứng nhau qua OP (đường phân giác của góc phần tư II và IV) khi và chỉ khi a + J3= + k2n.
205. Coi các điểm /4], A 2 , A 3> A 4 trên đường tròn lượng giác xác định theo thứ tự bởi -7 ; ; ₂ ; - 777 -. Ta phải chứng minh A]A 2 A 3 A 4 là hình 4 ’ 2 ’ 6 ’ 12 thang cân. Cách 1. Hai cặp điểm A] và A 4 ; A 2 và A 3 đối xứng nhau qua cùng một . , n 1 3tc k 5n 4n đường thắng do -ị + -jy 2 + 6 = 3 Cách 2. Góc hình học A|ỠA 2 có sô đo "Ị = J và góc hình học 1? 1/ A 3 OA 4 có số đo w? = 4 ' nê " ^{=/tjỡẨ4 6.38. • sin f 71 N a 4- 21-ị ì ■ = sin(ứr+/ 71 ) = (-1) sin a ; V sin 71 a + (21 + 1 )-} = sin a + ^ + tn = (- 1 ) booktoan.com sin / \ 71 a+ 2, V L )
206. (-l/cosứí. 221 cos / \ a + 2 /Ị V 2 / = eo$(a + ỉn) = (-l/cosứí ; cos a + [21 + i) n
207. cos V 71 ,
208. —- + /tc 2 =(- 1 )' / cos / \ n a+ 2 \
209. (-!)'(- sin a) - (-l) m sin
210. (21 + l)-£ = -cot a . 6.39. Coi AB có độ dài là 1 thì dễ thấy AE = AB - 1, BE = CE = yÍ2 ; AC = AE + EC=ì+yỈ2 ;BC=J 1 + (l + V 2) 2 = ^{2(2 + a/ĨỊ'. pyiv . , lĩ Từ dó cos| =} 1 + 4Ì V 2 + V 2 TC /1S sin 8 " sc :(2 + V2 ) 1 V2-V2 6.40. Ta có AD DC AC-AD AC AD AB AB~ BC _BC BC AB' Bc'

     „ AĐ Từ đó AS 1 + V AB ~BC \ ^ / ——-> tức là tan —(1 + cosor) = sina, suy a sina tan — = -——- 2 1 + coscu ,.7Ĩ .... 71 Với a = -7 ta được tan — = 6 12 1 1 / \ ,. + f booktoan.com 2 + "\/3 = 2~s. 222 6.41. Dễ thấy BI = IC,

     - AI AI AB-BI AB AB IBM , nên cos 2 or = —— = - =-—— = —— - 1 = ——.——- 1 , IC BI BI ' Bĩ BC BI . AB BM a „ 2.. , mã C0SŨT= —— = ——, nên cos2 a= 2cos ữ - 1. BC BỊ 6.42. a) sin n Ũ f(V3-I ) = s cos TU 12 4(^ +1) .^z tan 7t 12 = 2 - 73.
211. sin75° = cos

     71 12 ’ cos75° = sin 7t tan75° = 12 ’ 1 tan 71 Ũ = 2 + 73. sin 105° = cos 71 12 ’

     , 0 . 7t

     COS105 = - sin 12 ’ tan 105° = tan 71 12 sinl65° = sin 7t 12 ’

     , £ c O tt COS165 = - cos 12 ’ tan 165° = - tan 71 12 o «rr 6.43. a) Dễ thấy BC = BD = / 4 Z), nên dặt BC = a, AB = b thì cos-^- = (1) 5 2 b
212. , DC Ta có DA BA BC b-a suy ra a a b = . . tức là iiỉ a b a 1 ( 2 ) 1 - 2 cos Từ ( 1 ) và (2) ta có 2 cos 2 71 2n ■ = 2 cos— hay 4cos 2 ^{+ 2cos— ĩ- -1 = 0, tức là 4x 2 + 2x - 1 = 0 . (3)}
213. Giải phương trình (3), ta được X = -1-75 hoạc X = -1 + 75 2tĩ -1-75 - 2rt 75-1 Từ đó cos~~ =-—-— < 0 (loại) hoặc cos— = —-—-• Suy ra booktoan.com 223 6 . 44 . n COS 5 1 + cos 2it I -— — Ị 3 -I- \Í5 \Í5 + 1 " V - 8~ 4 ; . 7t Sin- - 1 - cos 2n . n sin — 4 5 IX cos— 71
214. sin 18° = sin = sin 71 cosỊ8° = COS ỊQ = cos ' \ Tí U‘5Ì '1 n' . _ n 1 - cos-r 1 + COS^- = ì ^{( 5 +} ) U.1• = lí.= .ll - cosl8°
215. sỉn6° = sin(36°-30°) = sin / 7E TC X V 5 6 . K n Tí . Tí = sin —cos— - cos sin' 5 6 5 6 \Ỉ3 . Tí 1 n 1 --T-sin~-r - C0S“ = — 2 5 2 5 8 ( 0,1045). cos6° = cos(36° - 30°) = cos r „ „\ n K 5 6 / Tí 71 . Tí . Tí
216. COS--COS — 4- sin-rsin — 5 6 5 6 \Ỉ3 n ỉ . n 1 -x-cos-r + — sin — = — 2 5 2 5 8 71(75 +l) + 2(5- _{Sị (} 0,9945).

     cos2or = 4 ; sin 2(2 = 8 8 cos2/? 7 25 ’ sin 2/? = - 24 25 / C0s(<2 + p) - - J 1 + 4~1 \ \ ún(a ~ p) =-\ịsỉĩ + ị \ 51 4 y booktoan.com 224 Gợi ỷ.

     3 A . [ 9 " _ síĩ co sa = —. sũm> 0 nên sina = J 1 - — = —— 4 V 16 4 3 o /9 sin/?=—> cos/? < 0 nên cos p = -J 1 - 4
217. 5 ’ , . a /1 4- COSÚT 2>/5 6 . 45 . a) cos— = J - Y — = -5 . a Ịl — cosa J~5 sừl 2 = ~2~ = 5 ’ a 1 tan— = —- 2 2
218. cos /? = -J 1 - 25 4 5 ’ cos = 2 2 JĨÕ ’ 1 tan-ệ = 3. 2 6.46. a)cos2o; = 2cos 2 <2 - 1 = 2 rrr - 1 ; 2 2 2 . 2/1 2 2/1 2 x sin 2«=4sin
219. Không, chẳng hạn COS 7 T = cos V 3 y
220. nhưng . 2 ĩt \Ỉ3 sin—r 1 = / sin 2ĩi \ V 3 / -V 3 271 ; tan = ->/3, tan / 2 ít'' / 4 2 - 2 6 . 47 . a) cos2a = 1 - 2sin a = 1 - 2m ; 2 sin 2 <2 = 4 sin ứ: cos or= 4sin or(l -sin a) = 4m (\ - m ); . 2 • 2 . 2 tan 2 2a - sin 2 2a 4m 2 (l - m 2 ) cos 2 2« (lbo^feẳn.com 15-BTĐS10.NC - A 225 Tt
221. Không, chẳng hạn sin y = sin ' 2 ịc' v3 y 75 nhưng sin 271 73 / í sin 2 . 2 tĩ V 71 tan 2 tt = - 75 , / tan 2 . 2 n \ \ / = 75 . . 2 ơ 1 + cosữ 1 + m 6.48. cos =— = ——— ; 2 2 2 , lữ 1 -cos a 1 - m sin — =-= ——— ; 2 2 2 2 cc 1 — m tan = ; 2 1 + m . a a -. a 2 ữ 6.49. a) sinơ = 2 SÙI — cos — = 2 tan—cos — = 2 1 1 + t ,-x V « (giá sử cos— cosa = 2cos 2 - 1 = 1 + tan 2 a -1 = 1 -V 1 + r (giả sử cos^-
222. Khi sin a cos a 0, ta có 1 -cosúr 1 . . 1 , . H- : -I- 4sina = —-+ 4 sin ú: sina tan a sinor cc 2 Vậy khi í = tan—^Ovàí 1, ta có 1 - cos a 1 . „ . H- : — + 4sina = sinor tan a t 4 + 18í 2 + 1 2/(1 + r 2 ) . , sina + sin2a sinớríl + 2coso:) 6.50. a) I Sĩẩsềt =-—-T—-— 1 + coso: + cos2a 1 + coscr + 2cos 2 a — 1 sina(l + 2cos«ì cosa(l + 2cosa) = tana.
223. 2 sin la — sin Aa 2 sin 2a (1 - cos 2a ) sin 2 a 2 sin 2a + sin 4a 2sin2a(l + cos2a) cos 2 # booktoan.com = tan a
224. 0 ). 0 ). 226 15-8TĐS10.NC • B 2 ỵ 2 6.51. a) sin (a + p) - (sinor cos/? + sin/?COSỚỘ" = sino: cos 2 /? + sin 2 /?cos 2 a + 2sinor cosa sin/?cos/? = sin 2 «(l - sin 2 /?) + sin 2 yổ(l — sina) + 2sìnacosorsin/? cos/? = sin ứ + sin 2 /?- 2sin 2 a sin/? + 2sin« cosasin/? cos/? = sinoí + sin 2 /? + 2sina sin/?(cosa cos/?-sina ún/ỉ) = sin 1 a + sin 2 /? + 2sinú! sin/? cos(or + P).
225. m + 71 = (cos« + cos/?r + (sina + sin/?) -cos 2 a + sin 2 or + cos 2 /?+sin/? + 2(cosúí cos/? + sinorsin/?) = 2 + 2cos(
226. cos(a - fĩ)cos(a + (3) 1 1 , , „ .= ^{-(cos2or + cos2/?) =} -(2cos z a - 1 + 2cos p - 1) = COS 2 « + cos 2 /? - 1 = /7 - 1. 6.52. a) Nếu cos(a +/?) = 0 thì sin(ữ + 2/?) = sino: cos2/? + sin2/? cosor = sin < 2(1 - 2sin 2 /?) + 2sứi/?cos/?cosor = sina + 2sinyớ(- sin< 2 Sin/?+còsỡrcos/?) = sìnor + 2sin/? cos(a + p) = sina.
227. Ta có sin(2a + yỡ) = 3sin/?<=> 2sinacosứ!cos/? + (2cos a- l)sin/?= 3sin/? cosasin (<2 +/?) = 2sin/?. (1) Mặt khấc 4 sin(2ú: + /?) = 3sin/? <£> 2sino;cosorcos/?+ (1 - 2sinặ)sin/? = 3sin/? <=> sinũícos(o! + /3) = sin/?. (2) Từ (1) và (2) suy ra cot a tan (a+.B) = 2. Do đó tan(ữ + B) = 2tana. booKtoan.com 227 6.53. a) 4cosl5°cos21°cos24° - cosl2° - COS18 0 = 2cosl5°(cos45° + cos3°) - 2cosl5°cos3° = 2cosl5°cos45° = cos60° + cos30° = 7 T+-Ặ- 2 2
228. tan30° + tan40° + tan50° + tan60° =- ! ^{90 ° — +- S j” 9Q — cos30°cos60° cos40°cos50° cos90° + coslO 0 + cos90° + cos30° 4cos20°cosl0° ịcosl0°cos30° - coslO°cos30° 2 = -ẬrCos20° = cos20° V3 3}
229. 1 1 sin 54° - sin 18° 2 cos 36° sin 18° 2 cos 36° sin 18° sin 54° sin 18° sin 54° sin 18° sin 54° sin 54° 2cos36° cos 36° = 2.
230. tan9° - tan27° - tan63° + tan81° = tan9°+ tan81° -(tan27° + tan63°) / V sin 9° sin 81°
231. v / sin 27° sin 63° N GOS 9° cos 81° 1
232. 1 _— cos27° COSÓ3 0 / 1 sin9°cos9° sin27°cos27° sin 18° sin 54° = 2.2 = 4. , CA , sin* + siny . X + )> X - y X + y ẳ 9.54. a) —— 7 —— - = sin———cos— -X- < sin———. (Vơi chú ý rang sin - + - > 0 do 0 < - ~ - < 71 và cos - < 1) z z cos + cos V X + y X — y * + y -——— = cos—-—cos——■ < cos—— 2 2 2 2 cos——— > 0 do < 7 - và cos 2 booMoan.óbm 2 (Vói chú ý rằng x-y 2 SI). 228 6.5S. sìna + sin/?cos(a + /5) cosa - sin yổ sin (a + j3) sina + ^Tsin (a + 2/5) - sino;] __ cosa + ;ị[cos(a + 2/5) - cos«] sin(a + 2/5) 4 - sina 2sin(ứr +/5)cos/5 , V cos(úr + 2/5) + cosa 2cos(ứr +/5)cơS/5 ^{6.56. a) Vì sinA = 2sin}-fcos : - và

     2 2 cosB + cosC sin 5 + sinC „ B+C B-c 2 cos—-— cos- cos 2 = / V n 2 A' V sin

     .B + C B-C 2 sin—-— cos—T— sin /
233. ■K 2 \ cos ,5 . . cos B + cos c - 2 A , , - nên dê thấy : sin A = 7 —:— — <=> 2cos = 1 o cosA = 0 sin B + sin c 2 <=> A là góc vuông,
234. Cách 1 sin A A A cos B + cos c sin 2 C0S 2 0 . B — B sin 2 C0S 2 sinB cosC + cosA .A B - c sin — cos——— 2 2 ,_B C-A sin — cos——— 2 2 A _c-A B B - C <=> COSyCOS- y — = cos —cos--- c <=> cos— + cos 2 ( . cì /-7 V 2 J r \ = cos / o cos \ A-ị \ = cos / V s 2 c
235. COS 2 <=> , c „ c A ~ ■— B-^{r 2 2 A = B A +B =c booktoan.com 229 to} to ^ Cách 2 sinA cosB + cosC ... . , . 77 ' _{= 7777, 7 77—7 <=» sin Acos A - sinBcosB = cosCísinB - sinA) sinB cosC + cosA <=> ị- (sin2A - sin2ổ) = cosC(sin£? - sinA) Á* cos(A + B) sin(A -B) = 2cos c cos ” sin . A — B A — B A — B A + B o - cosCsin—-—cos— 7 — = -cosC sin—-—cos—-— . A-B( A+B o cosCsin cos—— V 2}
236. cos A-B \ = 0 . A . B . A - B - <=> cos Csin 7- sin—sin——— = 0 » 2 2 2 cosC = 0 .A-B sin—-— = 0 o c vuông yv ^{Ả = B. 6.57. a) Với k= 1,2, 3,.... n, ta có . , . a 1 sin ka sm —- = — 2 2 cos ( 2 k - ì)a (2k + ì)a}
237. cos nên „ . a _ 1 S.sin —= -7 2 2 / a 3«'ì / cos — - cos 77 2 2
238. / 3a 5a cos—- - cos—- \ V
239. ... + /
240. ( 2/2 - 1 )a (2 n + 1 )a cos--— 1 -CQS V \ y 2 / V a ( 2/2 + 1 )a cos — - cos———- 2 2 V / . na . (n + 1 )a = sưi—— sưi-—-—
241. Với k = 1» 2,- 3, n , ta có , . ứr 1 cos ka sin— = — 2 2 ( 2 £ + i)a . ( 2 Ấ:-l)ú? sin-- 2 ^{-sin- booktoan.com 230 nên „ . a . a \ l sin — = sin — + — 2 2 2 ( . 3 a . a) ( . 5a . 3 a 'ì sin}-
242. sin-—
243. S1Ĩ1-—
244. sin „ (N 2j l 2 2 J
245. ... +
246. Ị 2 (2n + )a (2n - l)a sin---sin V \ ) 7 sin V (2 n + 1)<2 . a
247. ——-—V sin—

     2 2 Y J na . (n + ì)a = cos—-sin-—-— 6.58. a) Ta có .271 % \ r sin-—sin — = — 7 7 2 .471 .71 1 sin—-sin— = — 7 7 2 . 6tc . 7Ĩ 1 sin—-sin— = — 7 7 2 7Ĩ 3tĩ cos — - cos — 7 7 /

     3tu 5tc ^ cos —— - cos— 7 7
248. ( 5tĩ v cos—- - COS7Ĩ l 7 Từ đó ( 2n l sin 7 . 471 . . 6tc n
249. sin--- + sin— 7 -

     / . 71 1 sin — = — 7 2 / TC v 1 + cos-y = cos 2 71 14

     7t Do sin-y ~ . 7t_7t 2sin-— cos—. ta suy ra 14 14 .271 . 4tc , . 6tĩ sin^r- + sin^r- + sin-3 1 7 7
250. Với k = 1,2, 3, 4, 5 ta có (2£ — ĩ) TC 7t 1 cos-— - - sin-- = — 11 11 2 1 _ 7C ^{-cot-y 2 14 ' L _2kn (2k-2)n sin-—-—sin— 11 11 nên nếu gọi B là vế trái của đẳng thức ở câu b) thì}
251. 7C 1 B SŨ1-7=X 11 2 ( . 2n \ f . 4 tĩ . 271 N ( . 107t 00 sin ,, 1 (/> B c
252. sin ,' sin i ■ +... +
253. sin-— 11 / l 11 ũ] l 11 11 J 1 . 1 Otĩ = ịsin^i Từ đó B = ■ 1 . 7t i sin n booktoan.com 231
254. Với k = 1, 2, 3, 4, 5 ta có 2kn . n 1 cos —— sun —— = — 11 11 2 . (2-k + 1Ì7Ĩ . (2Ả: — sin-———--sin—— -2— 11 11 nên gọi c là vế trái của đẳng thức câu c) thì „ . 7t 1 Cs, "TT * 2 / . 3k . 71 sừì u sin n \ í
255. V . 5n 3 n \ sin TT -sin 11 /
256. ... 4- sin Tí - sin . 9it V 11 \ 1 . ít = 2 sm n 1 Từ đó c =~. 2
257. Theo câu a) bài 6.57, gọi D là vế trái của đẳng thức câu d) thì (ở đây n = 10, a= ỷy) . 7t . 10ĩC . n . IOiĩ K D sin— = sin-—- sin— = sin—— = cos— 22 22 2 22 22 Từ đó D = cot n 22 6.59. Cho sina - cosor = m ta có , . 1
258. sina cosa = -2- Ẩm* 2 (sína - coscr) - 1 1 - m
259. (sina + cosa) = 1 + 2sina coscr =\ + -m 2 =2-m Từ đó sina + cosa = V2 - .3 3 3
260. sin a-c os a— (úna- cosa) — 3sin<2 cosa(sin
261. sin a 4- cos a = (sin a 4- cos a) - 3$,in~a cos ứ(sm a 4- cos ar) / = 1-3 1 - m 2 3 \ -3m 4 H- 6 m 2 4- 1 (Chú ỷ. Cũng dễ dàng suy ra các kết quả này từ kết quả của bài tập 6.30 bằng cách dặt a = n — a'). booktoan.com 232 6.60. a) Vì sin75° = cosl5°, sin55° = cos35° nên sin 2 15° + sin 2 35° + sin 2 55° + sin 2 75° = 2. ( 3tĩ k') 3tĩ . 57t /- 7C sin /— oo
262. ” ,= cos— 1 Sin— = = sin —* + -— 2j 8 8 L 8
264. VI siny -2 71 , -2 3tc 2 5tc . 2 7tc nên sin + sin _{+ sin + sin -2- 8 8 8 8}
265. Tương tự n = COS 8 = 2 . _1 Ỉ7C / COS—rz = cos 12 _9ĩt / cos- _{— cos V n 5n — H——— 2 12 \ = -sin 571 12 cos 12 7t I 12 71 3tĩ' —h 2 12 = cos / \ n . 71 — + T}“

     ,2 12 , . 3rc = - sul i

     . . ít

     = —sin 12 nên ta có :

     2 ít , 2 371 2 571 2 7ĩC 2 971 2 H 7 I

     cos Ề + cos Ĩ2 + cos 12 + cos 12 + cos Ĩ2 +cos 12 3 '

     ^{ỉ) Q 6.61. Ta có tana+ tan/? = . tan< 2 tan/?= —■ a a • Nếu cos (CK + /7) 0 thì vế trái của đẳng thức đã cho là 2 2 ưsin («+/?) + ồsin (a+p) cos(or+ /7) + ccos (a + j3)}
266. cos 2 (a + /7)[ữtan(a + /7) + biữĩv(a + p) + c] 1 1 + tan 2 (<2 + jB) <2 tan 2 (« + /?) + ờtan(a + /3) + c XT1 _tana + tanổ b Nhưng ta có tan(a +P) - -—-— - =- 1 - tan (2 tan /7 c - ữ (để ý rằng cos(tìr + /7)*0<=>c;*a) nẽn thay giá trị của tán(úr +P) vào biểu thức (), sau khí đơn giản ta được biểu thức đó bằng c. • Nếu cos(a + j3) = 0 (o tanữ tan/7 =1 «• a = c) thì sin 2 (a + P) = 1, nên vế trái của đẳng thức đã cho bằng ứsin 2 (a +/7) = a = c. booktoan.com 233 6.62. Đặt u = -(tana + cot a), V - ^{(tma - coỉa ) thì u + V = tana. u — V = cotor. Khi đó ta có sin(tanũí) + sin(cota) = sin(« + v) + sin(ỉv - v) = 2sinw cosv = 2 sin Ị 2 / sin a co sa}
267. \ V cosồ: sina .cos 1 í V sinớí cosa cosa sin a \
268. 2 sin = 2 sin / V / V 1 2 sin a cos a .cos f * 2 2 x sin a - cos a \ 2sinacosa y 1 sin2ữr, ■ COS (cot2a). 6.63. Ta có A _BK BH HK BH BA EJ ,„ irpM1LJ L - . .

     C0S< “ - 0 = M “ BE + M = &r H + AE (/ííf£/ là hình chữ

     BH BA EJ EA - , . - = " 777 —““ 4- ■Z 7 , ~ = cosorcosz?+sinasin/?. BA BE EA BẼ H H 6.64. Ta có cos-- = ■ệ-v/2 ; 1 iL 6.65. a) Ta có : • 271 2tĩ sin 9 cos 9 4k cos 9 8tĩ cos-r- 9 1 . 4tĩ 4tĩ 871 1 . 8ti 8tĩ = 2 n 9 C0S 9 C0S 9 = 4 sin 9 COS 9 1 1Ó7I = — sin^-— 8 9 1 = ^{sin r 2n - 2n \ V 1 2 TU 8 $in 9 9 ) 8 booktoan.com 234 Từ đó : 2it 4it 8 7t cos—— cos—- cos —— 2n}
269. Ta có cos»- - + cos

     9 8ji \ 8

     _5tc 7t 571 — = 2 cos — cos— = cos —- = cos 4 71 \ n - V = -cos 4 71 từ đó .271 . 4tc 8tc cos—— + cos - + cos-r- = 0. V _27C _2 Tí , __2 8-rr
270. Do cos= 2cọs ■£ - 1 = 2cos - 1, 7 7 9 _471 2 2tc cos —T— = 2COS —- cos 9 8tt 1 4tĩ o„2 ‘tu , = 2 cos —- - 1 , nên từ b) suy ra 2 2tĩ _2 47Ĩ _2 Stc 3 cos — + cos —r- + cos ~ĩr = — 9 9 9 2
271. Với mọi số Ay B, c ta có : AB + BC + CA = ị. 21 (,A + B + Cỷ - Á 1 - B 2 - c nên 2 tc 4tĩ 4tt 8 te 8tĩ 2 k cos- — cos-—
272. cos-r- cos- + cos- —cos 9 9 9 9 9 9 1 / 2 te 4tc 8 rt^ 2 ( 2 2ti 2 4tĩ 2 8 tc n | “ — cos
273. cos——
274. cos — 1 — cos ——■ + cos —r-
275. cos —

     2 V 9 9 9 J V 9 9 9 )

     Ị 3 3 2 2 4 /
276. Ta có X - cos 2tĩ \ V X - cos 4ti \ / = X 3 - / 2ti cos— + cos V 9 / 4?t X - cos 8tĩ V /
277. cos 8ti \ X 2 + /
278. 2 n 4rc 4n 8te 8tt 2 te \ \ cos—cos 7
279. - + cos —— cos —— + cos —— cos — 9 9 9 9 9 X J 2ti 4tc _ 8 ti v 3 3 v 1
280. cos-^{-cos-ỹ- cos~- = X -} -X + Ỷ booktoan.com 235 Từ đó ^. tức là 8 / 1 - cos 2tĩ \ 1 - cos 4tc \ V í 1 - cos 8tĩ \ ,» ■ 2 , ■ 2 271 „ . 2 4k

     2sin —.2sin —.2sin -2- 9 9 9 3 8 ’ suy ra . 7t . 27t . 4n V3 sin-ỹ. sinsin= -g ■

     J_ . . , . , . 5rt 77t . 8 tc \Ỉ3 Đang thức này lại cho ta sin — SÙI—- sin-r- = -T—• 7 7 7 0
281. Từ e) ta suy ra :

     . 7t . 2tt . 3?r . 4 tĩ . 5tĩ . 67t . 77t . 87t sin 9 sin 9 sin 9 sin 9 sin 9 sin 9 shl 9 sin 9 V3 V3 . 7t 27t 9 = .-4-sin—sin^r-= ——■ 8 8 3 3 256 6 . 66 . Ta có

     2/.. X , ns 1 + COS2 (ỵ - ữ) l-cos2(>-/?) cos 2 <> - à) + sin 2 (7 - yỡ) =- +-^{—— = 1 + ■}■[cos2(/ - a) - cos2(x - P)) = 1 + sin(2/ - a — /?)sin (a - P).

     Từ đó cos 2 (/ - à) + sin 2 (y - p)~ 2cos(j - a)sin(ỵ - /?)sin(a - P) = 1 + sin(2/ - a - /?)sin(a - /3) - 2cos(/ - a)sin(ỵ - P)s'm(a - p) = 1 + sin(ữr - p)[ún{2y - a - p) - 2cos(ỵ - a)ẵin(ỵ - /?)] = 1 + sin(a - P)[ún(2ỵ - a - P) - sin(2/ - a - p)- sin(a - P)] = 1 - sin 2 (a - P) = cos (a - p). 6.67. sin 4 # + cos 4 # = (sin 2 # + cos 2 #) 2 - 2sin 2

     cos 2 a

     = 1 - ^-sin 2 2#. Vậy biểu thức đã cho lấy giá trị bé nhất là khi sin 2 2a = 1.

     booktoan.com 236 6.68. sin 6 # + cos 6 # - (sin 2 # + COS 2 #) 3 - 3sin 2

     cos 2 a(sin 2 # + cos 2 #)

     = 1 - 3sin 2

     cos 2 # = l--rSÌn 2 2#.

     4 Vậy biểu thức đã cho lấy giá trị nhỏ nhất là khi sin 2 2a = 1. 6.69. Phương án (B). 6.70. Phương án (C). (Để ý rằng cos-- = -cos^r).

     ta ĩ 6.71. Phương án (C). 6.72. Phương án (B). 6.73. Phương án (A). (Để ý rằng sin 4 # < sin 2 #, cos 4 # < cos 2 #). 6.74. Phương án (B). (Để ý rằng sin 4 # < sin 2 #, cos 7 # < cos 2 a). 6.75. Phương án (B). (Để ý rằng -sin 2 a < sin 4 a, -cos 2 # < cos 7 a). 6.76. Phương án (C). (Để ý rằng sin 12 # < sin 2 #, cos 12 # < cos 2 #). 6.77. Phương án (A). (Để ý rằng —-2 -3tan 6 # = 4(1 + tan 2 #) 3 - 3tan 6 # chi

     6„ cos a chứa những luỹ thừa bậc chẵn của tan# với hệ số không âm nên nó đạt giá trị nhổ nhất khi tan# = 0, cos# = 1 ). 6.78. Phương án (C). (Để ý rằng các điểm của đường ừòn lượng giác xác định TE bởi các số #, # + V. # + 5 ■ ” ' 5 7 5 đều nội tiếp đường tròn đó hoặc để ý rằng . a + -— là các đỉnh của một thập giác cos# = -cos ( 5iO ( n í Ó7Ĩ ''i ct H" _z

     , cos a +rjr = -cos

     + —-

     V 5 ) V 5 ) k 5 J , .. .) . booktoan.com 237 BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NẢM
282. ĐỀ BÀI
283. Cho A = (0 ; 4), z? = ị xe R I X 2 < 32), c = [xg R I (X — 2Ỵ >3}, D = [ \Í6 ; + 00 ). Tìm (ẨnB)u(Cnỉ)).
284. Cho X là số vô tỉ và a, by c, d là các số hữu tỉ sao cho ad - bc * 0 . Chứng , »_... ax + b ,. .. , minh răng số ——7 là sô vô tí. cx + d
285. Cho mệnh dề chứa biến P(n ): "Nếu tổng các chữ số của số nguyên dượng n chia hết cho 6 thì n chia hết cho 6". P(n ) là mệnh đề sai khi n bằng (A)30 ; (B)33 ; (C)40 ; (D)42.
286. a) Sử dụng máy tính bỏ túi để tính V2006 , máy tính cho kết quả là 44,78839135. Hãy cho biết độ chính xác d của kết quả này.
287. Khi viết a 15,7 ± 0,3, ta hiểu sô đúng a nằm trong khoảng nào ?
288. Cho hàm s ốf(x) = —x + \x + 2\ — \x — 2.
289. Hãy viết hàm số dưới dạng hàm số bậc nhất trên từng khoảng và không chứa dấu giá trị tuyệt đối. (Gợi ý. Xét hàm sô trên mỗi khoảng (-00 ; -2), [-2 ; 2) và [2 ; + co)).
290. Chứng minh rằng y =f(x ) là hàm số lẻ.
291. Vẽ đồ thị của hàm sô y =f(x), lập bảng biến thiên và nêu sự biến thiền của nó trên mỗi khoảng kể trên.
292. Sử dụng đồ thị, hãy tìm các khoảng trên đó hàm số có giá trị dương.
293. Cho hàm số y = X — 4x + 1.
294. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số đã cho. booktoan.com 238
295. 10 . 11 .
296. Gọi (d) là đường thẳng song song với đường phân giác của góc phần tư (!) và đi qua điểm M (0 ; m). Xác định biểu thức của hàm sô có đồ thị (đ).
297. Tìm hoành độ các giao điểm A và B (nếu có) của ( d) và ( p ), và toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB (khi A và B phân biệt). Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :
298. m X - 3m 2 = 9(x + m );
299. I mx + X - 1 - X + 3 I = 0 ;
300. m(x + 6) = X + 2 m + 4 ;
301. I mx + 1 I = 2x + m — 1 , X + a X — a
302. -—- a ơ - X a + X a 2 - X 2
303. Giải các hệ phương trình sau
304. 0,lx - 0,3;y = 0,7 X - 3y = 7 ;
305. ■Jsx - y/3 y = yỊĨ 6x + \fĩy = v5.
306. Cho hệ phương trình : (I) (i a + A)x + ay = 2 (a + 1) (ơ + 2)x + lay = 1.
307. Giải và biện luận hệ (I) theo tham số a.
308. Khi hệ (I) có nghiệm duy nhất (x ; y), hãy tìm hệ thức giữa X và y không phụ thuộc vào a. Giải các phương trình :
309. 13 16 2x 2 + X - 21 2x + 7 X 2 - 9 , . X + 1 . x-2 x-3 X + 4
310. — + —■—— + — " + —7 = 4. X -1 x + 2 x + 3 x-4 Tim tất cả các giá trị của tham số a để phương trình (a + 2) X 2 + 2(ữ + 1 )x + ứ — 2 = 0.
311. Có hai nghiệm khác nhau.
312. Có ít nhất một nghiệm.
313. Có hai nghiệm bằng nhau. booktoan.com 239
314. Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình : X 2 — 6x + 3 + m = 0.
316. 2 Giả sử XịVà x 2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax~ + bx + c = 0 trong đó ac 0. Hãy biểu diễn các biểu thức sau đây qua các hệ số a,b,c :
317. X 2 -X] + XịX 2 b) Xị — X 2 i c) X] — x 2 . Giải các hệ phương trình sau : X + 4y = 9 X 2 + y 2 + X - 2y = 2 ; 4x 2 + y 2 - 2xy = 7 ,(2x - y)y = y ; 1 5(x + y) + 2xy = -19 13xy + X + y = -35.
318. So sánh các số sau đây :
319. V2003 + V2004 và V2000 + V2007 ;
321. \/n + 3 + Vn + 4 và %/n + yfn + ĩ (với n > 0) ;
322. "\/ữ + "\/b và Vớ — c + Vồ" + c , với a> b > c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
323. ứ 2 + 3 . . a 3 . 1 /+1 2 : 2 ;
325. 2
326. a) Chứng minh rằng đối với ba số a, b, c tuỳ ý, ta có a

a + b + c Đẳng thức xảy ra khi nào ?

2. Áp dụng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức fịx) — X + 2 + X + 1 + 2x — 5
3. Cho ba số dương a, b , c. Chứng minh rằng :
4. ac + — > 2 4ãb b) -J= + —7= > iVãb. c yjb v<3 Trong mỗi bất đẳng thức trên, dấu bằng xảy ra khi nào ? booktoan.com 240
5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = X +
8. 1 X - 2 với X > 2 ;
9. a) Chứng minh rằng với mọi số thực ơ, b, c, X, y, z ( xyz 0), luôn có (ax + by + czÝ < (a 2 + b 2 + c 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 ). Dấu đẳng thức xảy ra khi — = — = X y z
10. Áp dụng. Cho X + 2 ý 2 + 3z 2 = 6. Chứng minh rằng X + 2y + 3z <6
11. Giải các hệ bất phương trình
12. X + 1 < 2x — 3 < 5 - 3jc ■ 2jc + 1 < X + 4 x + 3;
13. X 4- 1 < X + 20 Xyjx + 1 > 0.
14. Giải và biện luận hệ bất phương trình Í1 + mx > 0 X - 2 < 0. Giải các bất phương trình : 1- X
15. <0 ; (2x - l)(.v - 2) Giải các bất phương trình :
16. x + 1 + 3x + 2 > X + 7 ; b )iLL> 2jc + 1 3x + 1
17. -5 X + 2 < 10 X -1 Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau :
18. y<2 x>-ỉ X - y < ỉ X + y < 2 ;
19. 2y — x > 2 Ax + 3y > 12 X + 3y < 3.
20. Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau đây luồn dương :
21. ( m 2 + l)x 2 + ( m -l)jc + 3 ;
22. ( SỈ2 - m)x 2 + (m - \Í2 )x + 2 m ít 3 \Ỉ2 booktoan.com Ìố-BTDSIO.NC - A 241 27 .
26. Tim các giá trị của m để mỗi biểu thức sau đây luôn âm :
27. - 4x 2 + (Am + \Ỉ2 )x - m 2 - yjĩ m + 1 ;
28. (5m + l)x 2 - (5m + l)x + Am + 3.

    Giải các bất phương trình sau :

    8 + 4x 2 . 3
29. — — < — + I ; Ax + x 2 x 4 + •* Giải các hệ bất phương trình sau X 2 - ỈAx + 45 < 0 X 2 - 1 lx + 30 > 0 ; 1 _1 X 2 - 4 (x + 2) 2
30. X - 6 < 0
31. X 2 - X - 1 > 0. 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau vô nghiệm :
32. 3x 2 + mx + m + 2 < 0 ; b) (3 - m)x 2 - 2(2m - 5)x - 2m + 5 > 0. Tìm các giá trị của m để phương trình X 4 - 2 mx 2 '+ m — 1 = 0 vô nghiệm. Tìm các giá trị của m để phương trình (m — l)x 2 - (m — 5)x + m - 1 = 0, có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1. Giải các phương trình :
33. X 4 - 18x 2 + 81 = 0 ; b) 4x 4 - 37x 2 + 9 = 0. Giải các bất phương trình :
34. \ -X 2 + 4x - 3 < X - 2 ; b) \Ỉ2x + 5 > X + 1 . Giải các bất phương trình
35. 2x 2 + fex 2 - 8 < 20 ; b) X 2 - 3x - \lx 2 - 3x + 5 > 1. Một nghiên cứu về tuổi của những phụ nữ Mĩ sinh con lần đầu cho ta số liệu sau : Tuổi của mẹ Tần số [15 ;19] 312448 [20 ; 24] 350 905 [25 ; 29] 196365 [30 ; 34] 94 874 [35 ; 39] 34408 booktoan. N = 989 000 com 242 1Ó-BTŨS10.NC - B
36. Dấu hiệu là gì ? Đơn vị điếu tra là gì ?
37. Tim tuổi trung bình các bà mẹ ở Mĩ sinh con lần đầu.
38. Lập bảng phân bố tần suất.
39. Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.
40. Vẽ biểu đồ tần suâ't hình cột.
41. Tìm tất cả các mẫu số liệu kích thước 5 có các tính chất sau : 4 — Các sô liệu trong mẫu là các sô nguyên dương.
42. Sô trung bình là 12, số trung vị và mốt đều bằng 8.
43. Biên độ (hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của mẫu) bằng 18.
44. Chứng minh rằng nếu sin (a -/3) = sin/?, thì tan (a -p) = — •
45. Chứng minh rằng, nếu a + p+ Y = 7Ĩ thì 2 2/1 2 /1 cos a + cos p + cos ỵ+ 2cosaco$/3cosy- 1.
46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 1-cosa 2 - -. 4 ' T~_{TITT -—— + 3, (giả sử cos— 0). 1 + cos a lơ, 2 cos — 2}
47. a) Vói các giấ trị nào của a thì biểu thức sau đây có nghĩa ? sina + sin3a + sin5ớ! + sin7a cosa + cos3a + cos5ứr + cos7a
48. Chứng minh rằng với các giá trị đó của a thì biểu thức đã cho bằng tan4«.
49. Chứng minh rằng vối mọi a, /?, ỵ ta có : cos 2 a + cos 2 /? - cos 2 ỵ - cos 2 (« + J3 + ỵ) = 2cos (a + /ĩ)sm(ậ + /)sin(ỵ + a).
50. ĐÁP SỔ - HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI
51. A = (0;4); B = {~4\ỊĨ\A-JĨ). Vậy A íìỉ = (0;4) c = (-00 ; 2 - \ỉỉ) u (2+ Jĩ ;+co);D = [>/6;+oo). booktoan.com 243 2 . Vậy c n D = (2+ Vã ; +oo). Vậy (A n B) u(C n D) = (0 ; + 00 ). Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ã + . = r là số hữu tỉ. Khi đó cx + d ữx + b = rú? + rcx. Vậy x(rc - a) = b - rd. Nếu rc - a ■£ 0 thì X = b -rd rc ~a là số hữu tỉ, trái với giả thiết. Vậy rc — a do đó rd - b. Nhưng khi đó ad - bc = rcd - rcd = 0. Điều này trái với giả thiết. Giá trị n để P(n) sai khi tổng các chữ số của n chia hết cho 6 nhưng n không chia hết cho 6. Chỉ có duy nhất giá trị n — 33 thoả mãn điều này. Vậy câu trả lời là B).
52. d = 10 -8
53. a e [15,4 ; 16]
54. a) f(x) = -X - 4 khi X < -2 X khi - 2 < X < 2 -X + 4 khi JC > 2.
55. Tập xác định của hàm số là R. Với mọi X, ta có :

    Cách ỉ. (sử dụng tính chất -a\ = |ứ|) : f(-x) = -(-x) + I (-*) + 2- |(-x) -2 Ị = X + \x - 2\ - \x + 2\ = -ị-x + \x + 2| - |jc - 2) = - f(x). Cách 2. (sử dụng kết quả câu a) :

    Nếu X < -2 thì -X > 2, nén f(-x) = -(-x) + 4 = -(-X - 4) = -/(x).
56. Nếu -2 < X < 2 thì -2 < -X < 2, nên /(-x) = -X = -/(x).
57. Nếu X > 2 thì -X < -2, nên/(-x) = -(-x) - 4 = -(_{x + 4) = -f(x). Vậy trong mọi trường hợp ta đều có/(-x) = -/(x), chứng tỏ/(x) là hàm sS 1 2 so le. 244 booktoan.com}
58. Đồ thị (h. 1). y “ Bảng biến thiên : X —00 —2 2 +00 y +00 2
59. (-00 ; -4) và (0 ; 4).
60. a) Học sinh tự giải. Hình ]
61. Hàm số cần tìm là y = X + m.
62. Hoành độ giao điểm của ( d) và ( p) là nghiệm của phương trình V x-Ax+\=x + m, hay X 2 - 5x + 1 - m = 0. (1) Phương trình (1) có biệt thức A = 25 - 4(1 - m) = 21 + 4m. Do đó, nếu 21 4- Am > 0 thì nó có hai nghiệm 5 - SỈ2\ + 4 m . 5 + -s/21 + 4 m Xị = vh.x 2 = Đó cũng là hoành dộ các giao điểm A và ô của ( d) và ( p ). Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB (khi A = 21 + Am > 0) là điểm có tọa độ (x 0 ; y 0 ), trong đó : Xị + x 2 5
63. 2 “ 2 ; 5 y ữ = Xq + m = - + m.
64. a) Ta có m 2 x — 3 m 2 — 9(x + m) o ( m 2 — 9)x = 3 m(m + 3). s 3 Ịfl
65. Nếu m ±3 thì phương trình có nghiệm duy nhất X = —— ■ m - 3
66. Nếu m = -3 thì phương trình có dạng o.x = 0, nghiệm đúng với mọi rel. Tập nghiệm 5 = K.
67. Nếu m-3 thì phương trình ( vó lí)- Tập nghiệm 5=0. 245
68. Biến đổi phương trình về dạng ( m — 1) = 2ịm - 1 )(m - 2). Phương trình có nghiệm duy nhất X = 2 (m - 2) khi m 1 và nghiệm đúng với moi X E R khi m = 1.
69. \mx + X - 11 = |x + 3ị (1) <=> mx + x - 1 = X + 3 hoặc mx + x - 1 = -X - 3.
70. mx + X - 1 = x + 3 <=> mx = 4. (2)
71. Khi m = 0, (2) trờ thành 0. = 4 nên phương trình vô nghiệm ...... 4
72. Khi m 0, (2) có một nghiệm X = —■ ii) mx + x- l=-x-3o(m + 2)x = -2. (3)
73. Khi m = -2 ; (3) trở thành 0.X = -2 nên phương trình vô nghiệm. -2
74. Khi m í- -2 ; (3) có một nghiệm X = ———- m + 2 Kết luận. Với m = 0, phương trình có nghiệm X = -1 ; Với m = -2, phương trình có nghiệm X = -2 ; . 4 2 Với -2, phương trình có nghiệm X = — và X =-— m m + 2
75. Với m = 2, tập nghiệm s = R. Với m = -2 hoặc m = -1, phương trình có nghiệm X = 1 ; Với m 2, m -2, m ^ — 1, phương trình có nghiệm X = 1 và X = -m m + 2
76. Điều kiện của phương trình : X + a. Ta đưa phương trình về dạng 4ax = a. (1) • Nếu <3 = 0 thì (1) có dạng 0 jc = 0, phương trình (1) nghiệm đúng với ■ mọi X e R. Vậy phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi X e R booktoan.com 246 • Nếu a 0 thì (1) có nghiệm X = Ỵ ■ Xét điều kiện X ^ ±ứ, ta có -Ị = ±a o a = ±-j- Vậy khi a # 0, a 5* thì X = -J là nghiệm của phương trình đã cho. Kết luận : Với a = 0, tập nghiệm của phương trình là s = R ; Với a - ị hoặc a = -4, tập nghiệm của phương trình là s = 0 ; Với a 0, a , tập nghiệm s = Ị^-ị
77. a) Hệ có vô số nghiệm JC e R X -1 y =
78. Ta có D = Vĩõ + 6\ỉĩ ; D = 2 + VĨ5 ; D = 5 - 6^2. A y Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (■; y) =

    2 + V 5 . 5-6^2 ì

    ■ " Vĩõ + 6n/3 ’ Vĩõ + 6^3 V
79. a) Hệ có nghiệm duy nhất (jc ; y) = r 4a + 3 _{(2a + 5) ^{ld+6 ’ ứ + 6 / nếu a * 0 và ứ} —6. Hệ vô nghiệm nếu a = - 6 ; Hệ có vô số nghiệm fl 1 \2 / với y tuỳ ý nếu}
80. Khi a 5Ế 0 và a ^{“6, hệ có nghiệm duy nhất (x; y ) =} 4df + 3 (2a + 5) ^ 'v a + 6 a + 6 > X = 4a + 3 ứ + 6 nên ứ = 3 - 6x -——7— ‘ Do đó X — 4 booktoan.com 247 y = -(2a + 5) ữ 4- 6 3-6* ' 4- 5
81. V A V - 4

    /

    + 2

    3-6*

    - 4
82. 6 Vậy khi hệ có nghiệm duy nhất ( ; y) thì y = X 4- 2 10 . a) = - 4. u\ ■ +1 1 , 2 - 2 4
83. Ta có ~ =14 - T> -— — = 1 — -1 - 1 ’ 4- 2 4- 2 - 3 6 4- 3 4- 3 - 4 4- 4 8

    = 1 +

    - 4 nên phương trình đã cho trở thành : 5- 8 5* 4-12 ay ( - 1)( - 4) = ( + 2)( + 3)' 3 + ^{= 0 —1 4-2 4-3 —4 Từ đó phương trình đã cho tương đương với hệ (5* - 8)( + 2)( + 3) - (5* + 12)( - 1)( - 4) ( - 1)( 4- 2)( 4- 3)( - 4) 9* 0 Phương trình thứ nhất của hệ () được biến đổi thành phương trình () X 4- * -} = 0 và có hai nghiệm X 1 = 2 / -1 + '69 \ .„ 1 vàx 2 = 2 /
84. 1 - V \ / VI hai nghiệm này thoả mãn điều kiện thứ hai của hệ () nên chúng là nghiệm của phương trình đã cho. 11 . a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt điều kiện cần và đủ là a + 2 ^ 0 A' = (ứ 4- 1) 2 - (ứ 2 -4) > 0 <=> a - 2 2ứ 4- 5 > 0 o ớ e ^{; - 2)u (-2; 4- oc). booktoan.com 248}
85. Xét các trường hợp sau : • ứ + 2 = 0oư = -2 khi đó phương trình trở thành -2x -4 = 0 o X = -2. • ữ + 2 0 <=> ứ -2. Để phương trình có ít nhất một nghiệm, điều kiện cần và đủ là : A’ = (a + l) 2 -(ơ 2 - 4) >0<=>2đ + 5>0oa>-|. Vậy a e [-ị ; + oo). c ) a ~ ~2 12 . Xét hàm số y = f(x) = X 2 — 6x + 3. Đồ thị hàm số là một parabol quay bề lõm lên trên (h.2) và đỉnh parabol là điểm P( 3 ; -6) ... Do đó parabol có phương trình 2 y = X - 6x + 3 và đường thẳng có phương trình y = -m :
86. Có một điểm chung duy nhất khi m = 6 ;
87. Có hai điểm chung phân biệt khí m < 6 ;
88. Không có điểm chung khi m > 6. Suy ra phương trình X -6x + 3 + m = 0
89. Có nghiệm kép khi m = 6 ;
90. Có hai nghiệm phân biệt khi m<6 ;
91. Vô nghiệm khi m> 6. 2 2 \ bo 13 . a) x 2 x ì + x Ỵ xị = x ì x 2 (x ] + x 2 ) = --ỹ a Hình 2
92. Ta có x ~ x 2 = Ậ X 1 + X 2Ỷ - 4 * 1*2 = ] b - 4 ac booktoan.com a ,17-BTĐSlO.NC - A 249 Suy ra : Nếu .Vị - -V 2 > 0 thì .Y] - ,v 2 = Nếu ,Vị - .v 2 < 0 thì -Vị - ,v 2 = — b l - 4 ac a b l - 4 ac a
93. .Vị - .vỉ = (.Yj - -V 2 )(.Yj + AS ). Sử dụng kết quả câu b) \r.' b ' b - 4ac Nêu .Vị - ,v 2 > 0 thì ,Y| - .vị = — ứ V fl 2 XĨA ... 2 „2 b b -4 ac

    Nêu .Vị — x-ị < 0 thi Xị — aS — — a Q 14 . a) (1 : 2) và

    23 44 N /
94. Nghiệm của hệ là; ri ; 0 V / \ Ti ; 0 , (-1 ; -3) và / \ / Gợi ý. Từ phương trình thứ hai suy ra y = 0 hoặc V = 2x-\
95. Nghiệm của hệ là (-3 ; 4) và (4 ; -3). 15 . a) >/2003 + V2004 > V 2000 + V 2007 ;
96. V tí + 3 + \fn + 4 > \fn + sjn + 7 (n > 0) ;
97. Nhận thấy (\fã + [b Ị = a + b + 2'Ịãb ịyfã - c + sỉĩ) + cj = a + b + 2yfĩã - c)(fr + c); Do (ứ - c)(è + c) = ab — c(a - ti) - c < ab (vì a > b > c > 0), nên 2^(ơ - c)(ò + c) < 2\fãb Vì vậy Jã -ị- \ỉb > Ja - c + \fb~-hc booktoan.com 250 17-BTĐSio.NC-e CN
98. a) 2 . sy a +3 vĩ
99. 2 2oa 2 +2 + l> 2 \la 2 + 2 ■<=> (Vứ 2 + 2 - l) 2 > 0. Do <3 2 + 2 > 2 với mọi (3 nên \Ja 2 + .2 - 1 > 0. Vì vậy bất đẳng thức cuối cùng đúng. Suy ra điều phải chứng mình. .3
100. a a 6 + 1 < ị 2a 3 < a 6 +1 <=> (ứ 3 - ỉ) 2 > 0 (đúng). (Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 1).
101. a) \a\ + \b\ + |c| = (\a\ + |b|) + |c| > \a + b\ + |c| > \a + b + c|. Đẳng thức xảy ra khi \ ab _{0 _ tức a > 0, b > 0, c > 0 hoặc (a + b)c> 0, •}
102. a < 0, í> < 0, c < 0.
103. f(x) = \x + 2| + \x + 11 + |2x - 5| = ịx + 2| + \x + 11 + |5 |j: + 2 + x+1 + 5- 2x\ = 8. Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn tại X = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của/(x) là 8.
104. Với a > 0, b > 0, c > 0 ta có
105. 2*1 —■ > lẰac.^- = 2 -Jãb c V c ac + — > Đắng thửc xảy ra khi ac = — hay b = ac'
106. + _{ị=> 2 í-ịlL = 2 Vãb \Jb \Ịơ \sjab Đẳng thức xảy ra khi a = b.}
107. b) X + x 2 - X - 2 + x _2 + 2> ỉẬx - 2) ^ — +2 = 4 (vì X - 2 > 0). Đẩng thức xảy ra khi X = 3 . Vậy giá trị nhỏ nhất của g(x) là 4. booktoan.com 251
108. a) Cách 1. Từ đẳng thức (ứ 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = = (ax + by + czỴ + ((ax + by + czÝ ay = bx Đẳng thức xảy ra khi bz = cy az — cx tức là a b c X y z Cách 2 (ơx + by + CZ) - a 2 X 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 + 2abxy + 2acxz + 2bcyz < a 2 x 2 + b 2 y 2 + C 2 Z 2 + a 2 y 2 + b 2 X 2 + a 2 z 2 + C 2 X 2 + b 2 z 2 + c 2 y 2 = (a 2 +b 2 +c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ).
109. (x + 2 y + 3z) 2 = (1 JC + yỉĩ.yỊĩỹ + \Ỉ3 .\Ỉ3z)‘ < (X 2 + 2 y 2 + 3z 2 )(1 + 2 + 3) = 6.6 = 36. VI vậy JC + 2y + 3z| < 6.
110. a)

     X + 1 < 2x - 3 5-3*

     + 3 < - 1 . Hệ vô nghiệm.
111. 0 < < 3. Ta có (I) ' Í1 + mx > 0 x-2 <0 ♦ mx > -1 X <2 ( 1 ) ( 2 ) Gọi tập nghiệm của (1) và (2) lần lượt là 5) và s 2 . Khi đó s 2 = (-00 ; 2].
112. Nếu m = 0 thì S] = 0 nên hệ (I) vô nghiệm : s = 0. booktoan.com 252 /
113. Nếu m > 0 thì Si - V 1 -; + co m \ và —— < 2, nên tập nghiệm của hệ (I) là m / s = -;2 X V m í
114. Nếu m < 0 thì Sị = —ao : — V 1 m , ta cần phải so sánh —— với 2. m
115. Nếu m < “ thì < 2, nên s = 2 m / 1 \ V m /
116. Nếu m > -4 thì —— >2, nên 5 =(-00 ; 2]. 2 /77 /
117. a) Tập nghiệm s = ỷ ; 1 1 \ V u (2 ; + oo). y ,x x+1 ^ x-1 (x + l)(3x + 1) - (x - l)(2x + 1)
118. -r——- > -r- r <=> ——- —Ê -ỉ- > 0 2x + 1 3x + 1 (2x 4- l)(3x 4- 1) o +5 ^ +2 , (2x + l)(3x + l) (2x + 1)(3jc + 1) với Xy = -5 - n/Ĩ7 v -5 + VĨ7 va X' Ta lập bảng sau : X -5-VĨ7 1 -5 + VĨ7 1 -00 —— + 00 2 2 2 3 X- X Ỵ 0 + 4-
119. 4- X-X 2 — —
120. 0 +
121. 2x + 1 —
122. 0 +
123. 4- 3jc + 1 — — a 0 + Vế trái
124. 0 -
125. 0 -
126. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là -5-VĨ71 u ị 1.-5 + n/Ĩ7 u í 1 v -ị ; + 00 2 2 ’ 2 \ J booktoan.com J I 253 24 .
127. Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối như sau : X —oo -2 -1
128. 00 \x + 11 —X — 1 —X - 1 0 X + 1 3lx + 21 -3x - 6 0 3x + 6 3x + 6 Vế trái -4x - 7 2x + 5 4x + 7 • Với X < -2, bất phương trình đã cho ữở thành —4x - 7>x + 7o x< -2,8. Do -2, 8 < -2 nên nong trường hợp này, bất phương trình có nghiệm X < -2,8. • Với -2 < X < -1, tacó2r+5>r + 7or>2. Kết hợp với diểu kiện đang xét thì không có giá trị X nào thoả mãn. • Với X > -1 ta có 4x + 7 > X + 7 o X > 0. Do -1 < 0 nên trong trường hợp này, nghiệm của bất phương trình là X > 0. Vậy tập nghiệm s = (-00 ; -2,8) u (0 ; +oo). -S 10 ( 1 Ý ! 0 n2
129. -5 < 10 í 1 ì 2 < í 2 ì X + 2 X - 1 l x + 2 ì [x-lj 0 3(x + l)(x + 5) >0 (x-1) 2 (x + 2) 2 Lập bảng xét dấu ta tìm được tập nghiệm là 5 = (-co;-5] u [-1 ; l)u(l ;+oo).
130. Hình 3 booktoan.com Hình 4 254
131. Tập nghiệm của bất phương trình là miền tứ giác ABCD (kể cả biên) (h.3).
132. Hệ vô nghiệm (h.4).
133. a) Ta có A = (m - 1) 2 - 12(m 2 + 1) = -llm 2 - 2m - 11 = -(llm 2 + 2m + 11) và a = m + 1 > 0. Tam thức luôn dương khi và chỉ khi A = -(lim 2 + 2m + 11) < 0 <=> 1 lm + 2 m + ll>0<=ỉ>m€R.
134. Nếu m = v2 dễ thấy biểu thức luôn dương với mọi X. Nếu m ^{\fĩ thì biểu thức là tam thức có a = y/ĩ - m* 0 và biệt thức À = (m — yỊĨ. ) 2 — 4( \fĩ - m)(2m + 3 v^2 ) = 9m 2 + 2 \Í2 m — 22. Tam thức luôn dương khi và chỉ khi a - y/ĩ. - m > 0 A = 9m 2 + 2\Í2m — 22 < 0. Tam thức/(m) = 9m 2 + 2 %/2 m - 22 có hai nghiệm W| = 1 m 2 = >/2 . Do đó /(m) < 0 khi và chỉ khi ) suy ra} < m<\J2 .
135. a) Tam thức luôn luôn âm khi và chỉ khi m > 9>/2
136. Với m khi đó biểu thức có giá trị là > 0, do đó m không thoả mãn. Với m í —L khi đó biểu thức đã cho là một tam thức bậc hai. booktoan.com Ị 5 255 Tam thức luồn âm khi và chỉ khi a = 5 m + 1 < 0 A = (5 m + l) 2 — 4(5 m + Y)(4m + 3) < 0 o m <- 1. (-4 ; 0) u (0 ; +oo).
137. Bất phương trình được biến đổi tương đương với X 4 +16 2x 2 (x - 2)(x + 2Ỵ
139. Suy ra tập nghiệm là s = (2 ; +oo).
140. 6 < X < 9.
141. 1 < X < 3 và X => -1. à) Bất phương trình đã cho có hệ số a = 3 > 0, để bất phương trình vô nghiệm, điều kiện cần và đủ là : A = m 2 - 12 (m + 2) < 0 <=> m 2 - 12m - 24 < 0 o 6 - 2VĨ5 < m < 6 + 2VĨ5 .
142. Với m = 3, khi đó bất phương trình trở thành -2x - 1 > 0 và bất Với m * 3. Để bất phương trình vô nghiệm điều kiện cần và đủ là :
144. À' = (2 m — 3 - m < 0 ịm > 3 , . <=> ,
145. 2 - (3 - m)(5 - 2m) < 0 [2m 2 - 9m + 10 < 0 <=> m > 3 2 < m < Ậ- 2 256
146. Đặt y = x, y > 0, Khi đó vế trái của phương trình đã cho trở thành /oo = y 2 — 2my + m 2 -1. Điều kiện của bài toán dược thoả mãn nếu phương trình /00 = 0 vô nghiệm hoặc chỉ có hai nghiệm âm. Cách 1. Do À’ = 1 nên phương trình /oo = 0 có hai nghiệm y t = m - 1 và y 2 = m + 1. Ta 'phải có m - 1 < 0 m + 1 < 0, tức là m < -1. Vậy phương trình trùng phương dã cho vô nghiệm khi m < - 1. Cách 2. Do A' = 1 nên phương trình fịy) = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm đó âm khi và chỉ khi —— = 2 m < 0 a < — — m 2 — 1 > 0 , Lư tức là m < -1. Ta có kết luận như trên.
147. -3 < m < 1. Hướng dẫn. Đặt y = X + 1 bài toán trở thành : Tìm m sao cho phương trình (m -1)0' - l) 2 - (m -5 )(y - 1) + m - 1 =0 có hai nghiệm dương phân biệt, tức là phương trình (m - 1 )y 2 - Om - l)y + ĩm-l = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.
148. a) X = ±3.
149. X e\±3-,±
150. a) s = 1; 4-ylĩ \ í u 4 + yfĩ ; 3 booktoan.com 257 w . Gợi ý. Bất phương trình tương dương với hệ : ~x z + 4x - 3 < (x X - 2 > 0 -X 2 + 4x - 3 > 0.
151. 2 )
152. s = '4,2 2 Gợi ý. Bất phương trình tương đương với: , 2x + 5 > 0 (I) \ . /_ hoặc (II) X + 1 < 0 2x + 5 > (x + 1) X + 1 > 0.
153. a) s = 17 2 ’ -2 u 2 ; 17 Gợi ý. Đặt t = V 2x 2 — 8 > 0.
154. s = (-00 ; -1) u (4 ; + co). Gợi ý. Đặt t = vjt - 3x + 5 > 0.
155. a) Dấu hiệu là tuổi các bà mẹ ở nước Mĩ sinh con lần đầu. Đơn vị điều tra là các bà mẹ ở nước Mĩ sinh con lần đầu.
156. Tuổi trung bình là 22,89.
157. Bảng phân bố tần suất Khoảng Tần suất(%) [15 ; 19] 31,6 [20 ; 24] 35,5 [25 ; 29] 19,8 [30 ; 34] 9,6 [35 ; 39] 3,5 258 bookloan.com
158. Biểu đồ hình quạt (h.5)
159. Biểu đồ tần suất hình cột (h. 6) Hình 5 Hình 6
160. Gọi số bé nhất là a. Số lớn nhất là a + 18 > 8. Vậy có thể xảy ra hai trường hợp sau Trường hợp ĩ. Mẫu làa;Ế>;8;8;ứ+l8 (sắp xếp theo thứ tự tăng dần). Khi dó tổng các số liệu là 2ứ + b + 34 = 12 X 5 = 60, suy ra la + b - 26. Vì a < 8 ; b < 8 nên 2 a + b< 24. Vậy trường hợp này không xảy ra. Trường hợp 2. Mẫu là a ; 8 ; 8 ; b ; a + 18 (sắp xếp theo thứ tự tăng dần). Khi đó tổng các số liệu là 2ữ+ 6 + 34 =12x5 = 60. Suy ra 2a + b = 26 hay ồ = 26 - 2ứ = 2(13 - ứ). Vậy b chẵn, tức là b có dạng b = 2 c. Suy ra c = 13 - a. Vì b < a + 18 và a =13 — c nên 2c < 13 - c + 18 = 31 — c. Vậy 3c < 31 hay c < 10. Vì a < 8 nênc > 13-8 = 5. Khi đó b > 10 >8. Tóm lại 5 < c < 10. Như vậy ta có 6 mẫu thoả mãn điều kiện đã nêu là {13 - c ; 8 ; 8 ; 2c ; 31 - c) trong đó c G {5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}. Cụ thể là các mẫu (8; 8; 8; 10; 26), (5; 8; 8; 16; 23), (7; 8; 8 ; 12 ; 25}, {4; 8; 8 ; 18 ; 22), (6; 8 ; 8; 14; 24), {3; 8; 8; 20; 21}. booktoan.com 259 38 . 3sin(ữ - p) = sin(/? - a + à) = sinor cos (a - p) - sin(ữ - yỡ)cos a, rừ đó ta có sincr (3 + cosơ)sin(fif - 0) = sina cos(úf - P) (*), vậy tan(or - P) = - v 3 + cosa (Chú ý. cos (a - P) 0 vì nếu cos(ữ - J3) = 0 thì từ () ta suy ra sin (<2 - (ỉ) = 0, vô lí).
161. Ta có : cos 2 y+ 2cosorcos/?cosx= cos/[cos(rc- (a + P)) + 2cosúrcos^] = cos>{-cosữcos/? + sincr sin/? + 2cosfif cos/7] = cos;KCos(ữ — p) = -cos(ữ + yổ)cos(ữ- P) = sin tìr sin 2 /?- cos 2 ơcos 2 /? = sin 2 ữsìn 2 /?-(l -sin 2 < 2 )(l — sin 2 /3) = — 1 + sin 2 or+sin 2 /?= l-cos 2 ứr-cos 2 /?.
162. Đặt t = tanậ, thỉ 4- \ 7 ^ -+ 3 = 4r- 2(1 + t 2 ) + 3 = 2/ 2 + 1, 2 1 + cosũr _ 2 cc cos — 2 nên giá trị nhỏ nhất đạt được là 1 khi í = 0.
163. a) ơ + kn ; tìr -7 + Ấr-|f : a * 7T + k-- với A: e z. 2 4 2 8 4 Hướng dẩn. Có thể viết mẫu thành (cosũí + cos7a) + (cos3ữ + cos5a) = 2cos4a(cos3ứr + cosa) = 4cosơcos2ercos4a.
164. Hướng dẫn. Viết từ thức thành 2 sin 4a + cosa).
165. Dùng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tổng thành tích. 260 booktoan.com MUCLƯC Trang Chương I. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 5
166. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ 5
167. ĐỀ BÀI 6 §1. Mệnh đề và mệnh đề chứa biến 6 §2. Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học 9 §3..Tập hợp và các phép toán trên tập hợp 11 §4. Số gần đúng và sai số 12 Bài tập ôn tập chương I 12 Giới thiệu một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan 14
168. ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN LỜI GIẢI 16 Chương II. HÀM sô
169. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ
170. ĐỀ BÀI §1. Đại cương về hàm số §2. Hàm số bậc nhất §3. Hàm số bậc hai Bài tập ôn tập chương II Giới thiệu một số câu hỏi trắc nghiêm khách quan 26 26 29 29 32 34 36 37
171. ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI booktoan.com 261 Chương III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 55
172. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ 55
173. ĐỂ BÀI 58 §1. Đại cương về phương trình 58 §2. Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn 59 §3. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai 62 §4. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 63 §5. Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn 66 Bài tập ôn tập chương III 67 Giới thiệu một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan 70
174. ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN LỜI GIẢI 71 Chương IV. BẤT ĐANG thức và bất phương TRÌNH 99
175. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ 99
176. ĐỀ BÀI 102 §1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức 102 §2. Đại cương về bất phương trình 106 §3. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 107 §4. Dấu của nhị thức bậc nhất 109 §5. Bất phương trinh và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 110 §6. Dấu của tam thức bậc hai 111 §7. Bất phương trình bậc hai 112 §8. Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai 114 Bài tập ôn tập chương IV 116 Giới thiệu một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan 120
177. ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN LỜI GIẢI 122 262 booktoan.com Chương V. THỐNG KÊ 172
178. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ 172
179. ĐỀ BÀI 173 §1. Một vài khái niệm mở đầu 173 §2. Trình bày một mẫu số liệu 173 §3. Các số đặc trưng của mẫu số liệu 175 Bài tập ôn tập chương V 130 Giới thiệu một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan 181
180. ĐÁP SỐ HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI 183 Chương VI. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 193
181. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ 193
182. ĐỀ BÀI 195 §1. Góc và cung lượng giác 195 §2. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 195 §3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt 200 §4. Một số công thức lượng giác 204 Bài tập ôn tập chương VI 206 Giới thiệu một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan 208
183. ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI 210 Bải tập ôn tập cuối năm 238
184. ĐỂ BÀI 238
185. ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN LỜI GIẢI 243 booktoan.com 263 Chịu trách nhiệm xuất bán : Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYÊN QUÝ THAO Biên tập ỉẩn đâu : HOÀNG XUÂN VINH - ĐẶNG MINH THU Biên tập tải bản : HOÀNG VIỆT Biên tập kĩ thuật: KIỀU NGUYỆT VIÊN - TRAN THANH HẰNG Trình bày bìa . BÙI QUANG TUÂN Sửa bàn in . HOÀNG VIỆT Chế bàn CÔNG TY cổ PHẦN THẾT KẾ VÀ PHÁT HÀNH SÁCH GIÁO DỤC BÀI TẬP ĐẠI SỐ 10 - NÂNG CAO Mã số: NB003T1 In 10.000 bản, (QĐ:04BT/KH11) khỔ17x24cm. Tại Nhà in Báo Hà Nam. Sô 29 - Đ, Lê Hoàn - TP. Phủ Lý - Hà Nam Số ìn: 410. số XB: 01-2011/CXB/850-1235/GD In xong và nộp lưu chiểu tháng 01 năm 2011. booktoan.com 264 ■ 11 « HUAN CHUÔNG HÒ CHÍ MINH VƯONG MIEN KIM CUONG CHAT LUONG QUÒC TẺ SÁCH BÀI TÂP LỚP 10
186. BẢI TẬP ĐẠI SÓ10
187. BAI TẬP HÌNH HỌC 10
188. BAI TẬP VÁT LÍ 10
189. BAI TẬP HOẢ HỌC 10
190. BAI TẬP NGỮ VÃN 10 (tập một. tập hai) SACH BAI TÀP LỚP 10 - NẦNG CAO . BAI TÁP ĐAI SỐ 10 • BÀI TẢP HÌNH HỌC 10 ♦ BAITÂP VÂTLÍ 10
191. BÀI TÀP TIN HỌC 10
192. 8ÀI TÂP TIẾNG ANH 10
193. BÃI TẬP TIẾNG PHÁP 10
194. BÀ! TẬP TIẾNG NGA 10 BAI TẬP HOÁ HỌC 10 BAI TẬP NGỮ VÃN 10 (tập một, tập hai) BAI TÂP TIẾNG ANH 10 Ban doc CO the mua sach tai : Các c õng ĩ\ Sách - Thiẽr bị Irường học ơ cnc địa phưOTìg. Còng ty CP Đầu tu \ [ì Phat tricn Giáo dục Hà Nội. 1TB Giang vỏ. TP, Hà Nội. Cong i\ CP Đàu Lir \a Phar tricn Giáo dục Phương Nam. 23 1 \gu\cn \'ãn Cư. Quàn 5. TP. HCM. Còng ụ CP Đàu lư \a Phat triền Giáo dục Da Nằng. 15 Ngmền Chi Thanh. TP. Đả Nằns. hoác cac cua hang sach cua Nha xuat ban Giao duc Việt Nam : -Tại TP. I ỉa Noi ;
195. Tạ) TP. Da Nang : -Tai TP. HỒ Chi Minh
196. Tại TP. c ẩn Tho :
197. Tại TP ( án Tho : 5 5 Đirõng 50 4.
198. Tại heTue bán saclì truv ìuvẽn : \\v\. s:\ch24.\n 1 S7 Giang Vò : 232 Ta\ Son . 23 Tràng Tiền : 25 Hân TĨìu\ ôn : 52E kim Mà" 14 3 Nguven Khanh Toan : 6"R Cưa Bắc. ~N Pa>ieur: 24" Hai Phong. 104 Mai Thị Lưu : 2A Dinh Tiòn Hoang. Quận 1 : 240 Trân Binh Trọng : 251 Nguyên Vãn Cừ. Quận 5. 5 5 Đưòng 50 4. \ebsite: \uu.nxbỉĩd.vn booktoan.com Giáỉ14.600đ