- LG a
- LG b
Cho hai phương trình\[{x^2} - 5x + k = 0\,\left[ 1 \right]\] và \[{x^2} - 7x + 2k = 0\,\left[ 2 \right]\]
LG a
Với giá trị nào của k thì phương trình [1] có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia ?
Lời giải chi tiết:
Điều kiện để phương trình [1] có nghiệm là \[{\Delta _1} = 25 - 4k \ge 0.\] Với điều kiện đó, gọi hai nghiệm của [1] là\[x_1\]và \[x_2\]. Theo điều kiện của đề bài, ta có :
\[\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = 5 \hfill \cr {x_1}{x_2} = k \hfill \cr {x_2} = 2x_1 \hfill \cr} \right.\]
Từ đó suy ra \[k = \dfrac{{50}}{9}.\] Khi đó, [1] có hai nghiệm là \[{x_1} = \dfrac{5}{3}\] và \[{x_2} = \dfrac{{10}}{3}\]
Chú ý. Trong mỗi lời giải trên, ta nên lựa chọn cách đánh số các nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia được thể hiện bởi hệ thức \[x_2 = 2x\]. Nếu không lựa chọn cách đánh số các nghiệm như vậy thì điều kiện nghiệm này gấp đôi nghiệm kia được diễn tả bởi hệ thức \[\left[ x_1 - 2x_2 \right]\left[ x_2 - 2 x_1 \right] = 0.\]
LG b
Với giá trị nào của k thì phương trình [2] có hai nghiệm \[x_1\]và \[x_2\]thỏa mãn \[x_1^2 + x_2^2 = 25\,?\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện để phương trình [2] có nghiệm là \[{\Delta _2} = 49 - 8k \ge 0.\] Với điều kiện đó, gọi hai nghiệm của [1] là x3và x4. Theo điều kiện của đề bài ta có :
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_3} + {x_4} = 7}\\{{x_3}{x_4} = 2k}\\{x_3^2 + {\rm{x}}_4^2 = 25}\end{array}} \right.\]
Từ đó suy ra \[k = 6\]. Khi đó, [2] có nghiệm là \[x_3=3\] và \[x_4=4\].
c. Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là \[{\Delta _1} \ge 0\] và \[{\Delta _2} \ge 0,\] tức là \[k \le \dfrac{{49}}{8}.\] Với cùng kí hiệu như trên, theo đề bài ta có hệ :
\[\left\{ {\matrix{{{x_1} + {x_2} = 5} \cr {{x_1}{x_2} = k} \cr {{x_3} + {x_4} = 7} \cr {{x_3}{x_4} = 2k} \cr {2{x_1} = {x_3}} \cr} } \right.\]
Từ đó ta có hai kết quả sau :
k = 0. Khi đó phương trình [1] có hai nghiệm là \[x_1=0\]và \[x_2=5\], phương trình [2] có hai nghiệm \[x_3=4\]và \[x_4=7\][thỏa mãn điều kiện của bài toán vì \[x_3=2x_1\]].
k = 6. Khi đó phương trình [1] có hai nghiệm\[x_1=2\]và \[x_2=3\], phương trình [2] có hai nghiệm\[x_3=4\]và \[x_4=3\][thỏa mãn điều kiện của bài toán vì\[x_3=2x_1\]].