Đề bài
Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c.Ta lấy một điểm M trên cạnh BC. Quy M, ta kẻ các đường thẳng ME và MF thứ tự song song với các cạnh AC và AB [E AB, F AC]. Hỏi phải lấy điểm M cách B bao nhiêu để tổng ME + MF = l[l là độ dài cho trước]? Biện luận theo l, a, b và c.
Lời giải chi tiết
Đặt x = MB [điều kiện: 0 < x < a]
Theo định lý Ta lét, ta có:
\[\eqalign{
& {{ME} \over x} = {b \over a} \Rightarrow ME = {{bx} \over a} \cr
& {{MF} \over c} = {{a - x} \over a} \Rightarrow MF = {{c[a - x]} \over a} \cr} \]
Điều kiện \[ME + MF = l\] cho ta phương trình:
\[l = {{bx} \over a} + {{c[a - x]} \over a} \]\[\Leftrightarrow [b - c]x = a[l - c]\,\,[1]\]
+ Nếu b = c [tức là tam giác ABC cân tại A] thì phương trình [1] vô nghiệm nếu \[l c\]; nghiệm đúng với mọi x nếu \[l = c\]. Điều này có nghĩa là:
- Khi tam giác ABC cân tại A và \[l AB\] thì không có điểm M nào trên cạnh BC thỏa mãn điều kiện của tam giác.
- Khi tam giác ABC cân tại A và \[l = AB\] thì mọi điểm M nằm trên cạnh BC đều thỏa mãn điều kiện của tam giác.
+ Nếu b c [tức là tam giác ABC không cân ở A], thì phương trình [1] có một nghiệm duy nhất \[x = {{a[l - c]} \over {b - c}}\].
Xét điều kiện 0 < x < a:
\[0 < x < a \Leftrightarrow 0 < {{a[l - c]} \over {b - c}} < a\]
\[\Leftrightarrow 0 < {{l - c} \over {b - c}} < 1\,\,[2]\]
Với b c nên có hai trường hợp:
+ Với b > c, ta có: [2] \[ 0 < l c < b c c < l < b\]
+ Với b < c, ta có: [2] \[ 0 > l c > b c c > l > b\]
Hai kết quả trên có nghĩa là giá trị \[x = {{a[l - c]} \over {b - c}}\]là nghiệm của bài toán [ điểm M cách B một khoảng bằng \[ {{a[l - c]} \over {b - c}}\]khi và chỉ độ dài \[l\] nằm giữa các độ dài b và c]