Hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} + 1000{x^2} + 0,1\] liên tục trên R. Ta có \[f\left[ 0 \right] = 0,1 > 0.\] Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left[ x \right] = - \infty \] nên tồn tại một số âm a sao cho \[f\left[ a \right] < 0.\] Vì \[f\left[ 0 \right]f\left[ a \right] < 0\] nên, theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \[c \in \left[ {a;0} \right]\] sao cho \[f\left[ c \right] = 0.\] Số \[x = c\] là một nghiệm âm của phương trình đã cho.
Đề bài
Chứng minh rằng phương trình
\[{x^3} + 1000{x^2} + 0,1 = 0\]
Có ít nhất một nghiệm âm.
Lời giải chi tiết
Hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} + 1000{x^2} + 0,1\] liên tục trên R. Ta có \[f\left[ 0 \right] = 0,1 > 0.\] Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left[ x \right] = - \infty \] nên tồn tại một số âm a sao cho \[f\left[ a \right] < 0.\] Vì \[f\left[ 0 \right]f\left[ a \right] < 0\] nên, theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \[c \in \left[ {a;0} \right]\] sao cho \[f\left[ c \right] = 0.\] Số \[x = c\] là một nghiệm âm của phương trình đã cho.