Đề bài
Cho tam giác đều ABC. Vẽ đường vuông góc với BC tại C cắt AB tại E. Vẽ đường vuông góc với AB tại A cắt BC tại F. Chứng minh ACFE là hình thang cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang
Hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau là hình thang cân.
Lời giải chi tiết
Gọi I là giao điểm của AF và CE.
Ta có hai tam giác vuông BAI và BCI có \[AB=BC\] [do tam giác ABC đều], cạnh BI chung
Suy ra \[\Delta BAI = \Delta BCI\][cạnh huyền- cạnh góc vuông] \[ \Rightarrow IA = IC\]
Xét hai tam giác vuông AIE và CIF, ta có:
IA = IC [cmt]
\[\widehat {AIE} = \widehat {CIF}\] [đối đỉnh]
\[\widehat {IAE} = \widehat {ICF} = {90^ \circ }\]
Suy ra \[\Delta AIE = \Delta CIF[g.c.g]\]
\[\Rightarrow AE = CF\] [ hai cạnh tương ứng]
Mà BA = BC [gt]
\[ \Rightarrow AE + BA = CF + BC\] hay BE = BF.
Do đó \[\Delta EBF\] cân có \[\widehat B = {60^ \circ }[gt]\] nên là tam giác đều \[ \Rightarrow \widehat E = \widehat F = {60^ \circ }\]
\[ \Rightarrow \widehat E = \widehat {BAC} \Rightarrow AC// EF\] [cặp góc đồng vị bằng nhau]
Suy ra ACFE là hình thang có \[\widehat E = \widehat F \] nên ACFE là hình thang cân.