Hàm số liên tục tại 1 điểm là gì
09:54:3109/01/2020 Bài viết dưới đây sẽ giúp ta biết cách xét tính liên tục của hàm số, vận dụng giải các dạng bài tập về hàm số liên tục như: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm (x=0), trên một đoạn hay một khoảng, tìm các điểm gián đoạn của hàm số, hay chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm. I. Lý thuyết về hàm số liên tục (tóm tắt) 1. Hàm số liên tục tại 1 điểm - Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu:
- Hàm số f(x0) không liên tục tại điểm x0 thì x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x). 2. Hàm số liên tục trên một khoảng - Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. - Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoan [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và:
3. Một số định lý cơ bản về hàm số liên tục • Định lý 1: a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. • Định lý 2: - Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó: a) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) - g(x) và f(x).g(x) liên tục tại x0. b) hàm số • Định lý 3: - Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0. II. Các dạng bài tập về hàm số liên tục ° Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0. * Phương pháp: - Bước 1: Tính f(x0) - Bước 2: Tính - Bước 3: So sánh: - Nếu - Nếu - Bước 4: Kết luận. * Ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x3 + 2x - 1 tại x0=3. ° Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): - Ta có: f(x) = x3 + 2x - 1 ⇒ f(3) = 33 + 2.3 - 1 = 32 ⇒ f(x) liên tục tại x0 = 3. * Ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11): a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x0 = 2, biết:
b) Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x0 = 2. ° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11): - Ta có: g(2) = 5.
⇒ g(x) không liên tục tại x0 = 2. b) Để g(x) liên tục tại x0 = 2 thì:
- Vậy chỉ cần thay 5 bằng 12 thì hàm số liên tục tại x0 = 2. * Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 1.
° Lời giải ví dụ 3: - Ta có: f(1) = 1
⇒ Vậy hàm số f(x) không liên tục (gián đoạn) tại điểm x = 1. * Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 0.
° Lời giải ví dụ 4: - Ta có: f(0) = 02 - 2.0 + 2 = 2.
⇒ Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0. ° Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn. * Phương pháp: - Áp dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó. - Nếu hàm số xác định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó. * Ví dụ 1: Cho hàm số Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng (-7;+∞). ° Lời giải: • Khi x > 2 thì f(x) = x2 - x + 4 là hàm liên tục trên khoảng (2; +∞). • Khi -7 < x < 2 thì - Hàm số y = x - 2 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng (-7;2) - Hàm số y = x + 7 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng (-7;2) ⇒ hàm số ⇒ hàm số - Mặt khác: Vậy hàm số • Khi x = 2 thì f(2) = 22 - 2 + 4 = 6.
⇒ Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2. - Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-7;+∞). * Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số sau liên tục: ° Lời giải: • Khi x < 3 thì f(x) = 1 là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng (-∞;3) • Khi 3 < x < 5 thì f(x) = ax + b là đa thwucs nên nó liên tục trên khoảng (3;5) • Khi x > 5 thì f(x) = 3 là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng (5;+∞). • Khi x = 3 thì f(3) = 3a + b
⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 3 thì:
• Khi x = 5 thì f(5) = 5a + b
⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 5 thì: Từ (*) và (**) ta có: - Vậy khi a = 1 và b = -2 thì hàm số f(x) liên tục trên R, khi đó:
* Ví dụ 3 (Bài 4 trang 141 SGK Đại số 11): Cho các hàm số ° Lời giải ví dụ 3 (Bài 4 trang 141 SGK Đại số 11): • Hàm số x2 + x - 6 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 và x ≠ -3. ⇒ TXĐ: D = R{-3;2} - Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (-∞;-3), (-3;2) và (2;+∞). • Hàm số g(x) = tanx + sinx xác định khi và chỉ khi:
- Hàm số g(x) liên tục trên các khoảng: ° Dạng 3: Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) * Phương pháp: x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu tại điểm x0 hàm số không liên tục. Thông thường x0 thỏa mãn một trong các trường hợp sau: 1) f(x) không tồn tại 2) 3) * Ví dụ: Cho a và b là hai tham số, tìm các điểm gián đoạn của hàm số sau:
° Lời giải: - TXĐ: R nên ta chỉ xét sự gián đoạn của hàm số tại các điểm x = 0 và x = 3. • Tại x = 0. - Ta có: f(0) = a và
⇒ x = 0 là điểm gián đoạn của hàm số. • Tại x = 3. - Ta có: f(3) = b và - Nếu - Nếu ° Dạng 4: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm. * Phương pháp: 1) Chứng mình phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm - Tìm hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0 - Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] - Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (a;b). 2) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm - Tìm k cặp số ai, bi sao cho các khoảng (ai; bi) rời nhau và: f(ai).f(bi) < 0, i =1, 2,... , k - Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xi (ai; bi). 3) Khi phương trình f(x) = 0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho: - f(a), f(b) không còn chứa tham số hoặc còn chứa tham số nhưng dấu không đổi. - Hoặc f(a), f(b) còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm. * Ví dụ 1 (Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng phương trình: a) 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm. b) cosx = x có nghiệm ° Lời giải ví dụ 1 (Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11): a) Đặt f(x) = 2x3 – 6x + 1 - TXĐ: D = R - f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R. - Vậy ta có: f(-2) = 2.(-2)3 – 6(-2) + 1 = - 3 < 0 f(0) = 1 > 0 f(1) = 2.13 – 6.1 + 1 = -3 < 0. ⇒ f(-2).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1) ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm. b) Xét hàm số g(x) = x – cosx liên tục trên R. - Do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có: g(-π) = -π – cos(-π) = -π + 1 < 0 g(π) = π – cosπ = π - (-1) = π + 1 > 0 ⇒ g(-π). g(π) < 0 ⇒ Phương trình x – cosx = 0 có nghiệm trong khoảng (-π; π) ⇒ Phương trình cosx = x có nghiệm. * Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình (1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m. ° Lời giải ví dụ 2: • Đặt f(x) = (1 - m2)x5 - 3x - 1 - Ta có: f(0) = -1; f(-1) = m2 + 1 ⇒ f(0).f(-1) = -1.(m2 + 1) = -(m2 + 1) < 0, ∀m ∈ R. - Mặt khác: f(x) = (1 - m2)x5 - 3x - 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [-1;0] ⇒ Phương trình (1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ (-1;0) ⇒ Phương trình (1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m. * Ví dụ 3: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) thỏa mãn 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh phương trình có nghiệm trong [0;1/3]. ° Lời giải ví dụ 3: • Đặt f(x) = ax2 + bx + c ; (a ≠ 0) liên tục trên R - Ta có:
- Vậy phương trình ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) có nghiệm trong đoạn [0;1/3].
Hy vọng với bài viết Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt. |