- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Chứng minh rằng:
LG a
Hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau là một phép quay.
Lời giải chi tiết:
Giả sử cho hai phép đối xứng trục \[{Đ_a}\] và \[{Đ_b}\] có trục a và b cắt nhau tại O, còn F là hợp thành của \[{Đ_a}\] và \[{Đ_b}\].
Lấy hai điểm A, B khác O lần lượt nằm trên a, b sao cho góc AOB không bù và đặt \[\varphi = \left[ {OA,OB} \right].\]
[Chú ý rằng khi đó \[\left| \varphi \right| = \widehat {AOB}\] là góc hợp bởi hai đường thẳng a và b].
Với mọi điểm M khác O, giả sử \[{Đ_a}\] biến M thành \[{M_1}\] và \[{Đ_b}\] biến \[{M_1}\] thành \[{M_2}\].Khi đó, nếu gọi H và K lần lượt là trung điểm của \[M{M_1}\] và \[{M_1}{M_2}\] thì có:
\[OM = O{M_1} = O{M_2}\]
Và \[\left[ {OM,O{M_2}} \right] = \left[ {OM,O{M_1}} \right] + \left[ {O{M_1},O{M_2}} \right]\]
\[\eqalign{
& = 2\left[ {OH,O{M_1}} \right] + 2\left[ {O{M_1},OK} \right] \cr
& = 2\left[ {OH,OK} \right] = 2\varphi \cr} \]
Vậyphép hợp thành F là phép quay tâm O góc quay \[2\varphi \]
LG b
Mỗi phép quay đều có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau, bằng nhiều cách.
Lời giải chi tiết:
Giả sử Q là phép quay tâm O góc quay \[\varphi .\]
Ta lấy đường thẳng a nào đó đi qua O và b là ảnh của a qua phép quay tâm O góc quay \[{\varphi \over 2}\] thì hợp thành của hai phép đối xứng trục \[{Đ_a}\] và \[{Đ_b}\] chính là phép quay Q [theo câu a].
Hiển nhiên có thể chọn a bằng nhiều cách khác nhau.
LG c
Hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép quay.
Lời giải chi tiết:
Nếu F là hợp thành của 2n phép đối xứng có trục đối xứng đồng quy tại O thì F là hợp thành của n phép quay có tâm O và do đó F là một phép quay.
LG d
Hợp thành của một số lẻ các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép đối xứng trục.
Lời giải chi tiết:
Giả sử F là hợp thành của 2n + 1 phép đối xứng trục có các trục đều đi qua O.
Gọi \[{Đ_a}\] là phép đối xứng đầu tiên, thì 2n phép đối xứng trục còn lại có hợp thành là phép quay Q tâm O.
Ta xem Q là hợp thành của hai phép đối xứng trục, trong đó phép thứ nhất là \[{Đ_a}\] và phép thứ hai là \[{Đ_b}\].
Như vậy, F là hợp thành của ba phép đối xứng trục: \[{Đ_a}\], \[{Đ_a}\] và \[{Đ_b}\].
Vậy F chính là phép đối xứng trục \[{Đ_b}\].