- LG a
- LG b
LG a
Chứng minh rằng, nếu \[x y 0\] thì \[{x \over {1 + x}} \ge {y \over {1 + y}}\]
Phương pháp giải:
Biến đổi tương đương về các bđt luôn đúng.
Lời giải chi tiết:
Với \[x y 0\] , ta có:
\[\eqalign{
& {x \over {1 + x}} \ge {y \over {1 + y}} \cr &\Leftrightarrow x[1 + y] \ge y[1 + x] \cr
& \Leftrightarrow x + xy \ge y + xy \Leftrightarrow x \ge y \cr} \]
Điều này đúng với giả thiết.
Vậy ta được điều cần phải chứng minh.
Dấu = xảy ra khi x=y.
LG b
Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có: \[{{|a - b|} \over {1 + |a - b|}} \le {{|a|} \over {1 + |a|}} + {b \over {1 + |b|}}\]
Phương pháp giải:
Áp dụng bất đẳng thức ý a với x=|a|+|b|; y=|a - b|
Lời giải chi tiết:
Vì \[|a| + |b| |a b| \] nên theo câu a ta có:
\[{{|a - b|} \over {1 + |a - b|}} \le {{|a| + |b|} \over {1 + |a| + |b|}} \] \[= {{|a|} \over {1 + |a| + |b|}} + {{|b|} \over {1 + |a| + |b|}} \]
\[\le {{|a|} \over {1 + |a|}} + {{|b|} \over {1 + |b|}}\]
Dấu = xảy ra khi có ít nhất một số bằng 0 [ tức là a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = b = 0].